Problemi di scelta ESEMPI

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Problemi di scelta ESEMPI"

Transcript

1 ESEMPI Risolvere i seguenti problemi 1. Una ditta deve effettuare delle spedizioni di un certo tipo di merce. Ha la possibilità di scegliere una o l altra delle due tariffe seguenti: a) lire al quintale più una quota fissa di lire; b) lire al quintale più una quota fissa di lire. Quale tariffa è più conveniente? Si indica con x il numero di quintali di merce da spedire e con il costo corrispondente. Per la tariffa a) si ha la seguente funzione di costo: (1) = x Per la tariffa b) si ha, invece: (2) = x La (1) e la (2) rappresentano il modello matematico della spesa che bisogna sostenere per qualunque quantitativo di merce. La (1) e la (2) sono due rette. Le ascisse rappresentano il peso e le ordinate, la corrispondente spesa. Si rappresentano graficamente qui a fianco le due Fig. 1 funzioni. Le due rette si intersecano nel punto A(80; ). (1) Le coordinate si ottengono, risolvendo il sistema: (2) A 0 80 x Dal grafico si nota che: La funzione della spesa può essere rappresentata nel modo seguente: = 2.500x = 1.800x per 0<x <80 le ordinate della (1) sono minori di quelle della (2); per x >80, invece, le ordinate della (2) sono minori di quelle della (1). 1

2 2.500x per 0 x 80 = 1.800x per x > 80 Il grafico della spesa è rappresentato dai tratti in rosso. La scelta della tariffa più conveniente può essere fatta, osservando attentamente il grafico. Si ha: per 0 x <80 è più conveniente la tariffa a); per x >80 è più conveniente la tariffa b); per x =80 la scelta è indifferente. Quindi, se si deve spedire un quantitativo di peso inferiore a 80 quintali, è da preferire la tariffa a); per un quantitativo di peso superiore a 80 quintali, invece, è da preferire la tariffa b); se si spediscono esattamente 80 quintali è indifferente la scelta. 2. Un utente può scegliere fra tre tariffe di luce elettrica: a) 150 lire al KWh (chilovattora) con un diritto fisso di lire al trimestre; b) 100 lire al KWh con diritto fisso di lire; c) 250 lire al KWh senza alcun diritto fisso. Qual è la tariffa più conveniente? Si indicano con x il numero di KWh che si possono consumare in un trimestre e con la corrispondente spesa che bisogna sostenere. Si trovano le seguenti funzioni: = 150 x tariffa a) = 100 x tariffa b) = 250 x tariffa c). Nella figura seguente sono rappresentate le tre funzioni Fig. 2 b a x c La prima e la terza si incontrano nel punto (80; ). La prima e la seconda, invece, si incontrano nel punto (100; ). Dal grafico si trae che: per un consumo inferiore a 80 KWh la c) è la tariffa più conveniente; per un consumo compreso fra 80 e 100 KWh la tariffa più conveniente è la a); per un consumo superiore a 100 KWh la tariffa da preferire è la b). per un consumo di 80 KWh esatti la scelta è indifferente fra la c) e la a); per un consumo di 100 KWh esatti la scelta è indifferente tra la a) e la c). 2

3 3. Una nave può effettuare un carico con due tipi di merce A e B. Il prezzo del trasporto è di lire ogni tonnellata di merce A è di lire per ogni tonnellata di merce B. Si sa che ogni tonnellata di merce A occupa un volume di 1 metro cubo, mentre ogni tonnellata di merce B occupa 1,5 metri cubi. La nave può trasportare un peso massimo di tonnellate e un volume massimo di metri cubi. Come bisogna distribuire il carico per realizzare il massimo guadagno? Indicando con x il numero di tonnellate di merce A, con quello di merce B e con z il guadagno, si ha la seguente funzione: z = x (1) x e si dicono variabili d azione e la (1) si chiama funzione obiettivo. Il problema consiste nel determinare i valori di x e che rendono massima la funzione obiettivo, che rappresenta il guadagno. Le variabili x e possono assumere soltanto valori compatibili con le condizioni seguenti: x + 1, (2) Le condizioni (2) costituiscono i vincoli del problema. La prima delle (2) dice che la somma dei pesi dev essere minore o uguale a tonnellate, che è la massima portata della nave. La seconda condizione afferma che la somma dei volumi occupati dai due quantitativi di merce dev essere minore o uguale alla massima portata volumetrica che è di metri cubi. Inoltre, le variabili d azione non devono essere negative. La scelta dei quantitativi di merce dei due tipi dev essere compatibile con i vincoli espressi dalle (2). Si possono rappresentare graficamente le relazioni (2). Dall intersezione dei due semipiani rappresentati dalle prime due relazioni bisogna considerare soltanto la parte compresa nel primo quadrante, tenuto conto del segno delle due variabili. Il grafico della (2) rappresenta il campo di scelta del problema. Si possono rappresentare graficamente le relazioni (2). Dall intersezione dei due semipiani rappresentati dalle prime due relazioni bisogna considerare soltanto la parte compresa nel primo quadrante, tenuto conto del C segno delle due variabili. Il grafico della (2) rappresenta il campo di scelta del problema. Il campo di scelta è rappresentato dal poligono L OMLC. La scelta dei valori delle due variabili è lecita se il punto corrispondente è interno al campo di scelta. Per ogni coppia di valori x,, la funzione obiettivo assume un certo valore. Il M massimo valore della funzione obiettivo si avrà x in corrispondenza della scelta espressa dalle coordinate di uno dei vertici del poligono fig. 3 OMLC. Per determinare le coordinate dei vertici del poligono OMLC si risolvono i seguenti sistemi: 3

4 + = = M + = = L + 1,5 = = C + 1,5 = = ( 5.000; 0) ( 3.000; 2.000) ( 0; 4.000) Si calcolano ora i valori della funzione obiettivo in tali vertici: Si ottiene: In 0(0; 0) z = =0; In M(5.000; 0) z = = ; In L(3.000; 2.000) z = = ; In C(0; 4.000) z = = Si può realizzare il massimo guadagno caricando la nave con tonnellate di merce A e tonnellate di merce B oppure caricando soltanto tonnellate di merce B. In entrambi i casi, il guadagno è di 120 milioni. Tuttavia, la scelta migliore è la seconda: così la nave sfrutta al massimo la sua capienza volumetrica con un carico inferiore come peso a quello della sua portata, che è di tonnellate. La nave, essendo più leggera, consumerà meno carburante. La funzione obiettivo è massima nei punti L(3.000; 2.000) e C(0; 4.000). Il massimo della funzione obiettivo è di 120 milioni. Con due alimenti P e Q si vuole costituire un preparato dietetico che abbia almeno calorie e almeno unità di vitamina C. Si sa che un kg di alimento P ha calorie, unità di vitamina C e costa 800 lire; un kg 4. di alimento Q, invece, contiene calorie, unità di vitamina C e costa 600 lire. Come dev essere costituita la dieta in modo che si abbia il minimo costo? I dati del problema vengono riassunti nella seguente tabella. P Q Calorie per kg Vitamina per kg Prezzo per kg Si indica con x il numero di kg di alimento P e con quello di alimento Q che si devono utilizzare per costituire la dieta con le caratteristiche prescritte. Se si indica con z il costo, si ha la seguente funzione obiettivo: z = 800 x I vincoli del problema sono: 1.500x x x x Per determinare il campo di scelta i vincoli vengono rappresentati in un piano cartesiano. Il campo di scelta è infinito e rappresentato dalla parte di piano del primo quadrante delimitata dalla 4

5 poligonale aperta di vertici L(2,5; 0), R(0,75; 0,875), e S(0; 2). 2 S 0,875 R L 0 0,75 2,5 Fig. 4 x Le coordinate dei punti R, L, S si ottengono risolvendo rispettivamente i sistemi: 3 x 3x 2 4 = + = 4 R( 0,75; 0,875) 2x + 4 = 5 7 = 8 5 2x + 4 = 5 x = = 2,5 2 L 3x + 2 = 4 S = 2 ( 0; 2). ( 2,5; 0) Si calcola ora il valore della funzione obiettivo nei vertici della poligonale: In L(2,5; 0), si ha: In R(0,75; 0,875), si ha: In S(0; 2), si ha: z = 800 2, = lire; z = 800 0, ,875 = 1.037,5 lire; z = = lire. Il costo minimo del preparato dietetico si ottiene mescolando 0,75kg di alimento P con 0,875kg di alimento Q. In altri termini, utilizzando 750 grammi di alimento P e 875 grammi di alimento Q, si ottiene il preparato dietetico prescritto al prezzo di 1.037,5 lire. Come si è visto, problemi di natura completamente diversa si possono risolvere mediante lo stesso modello matematico. Un problema di scelta si dice di programmazione lineare se la funzione obiettivo è di primo grado, come nei casi trattati. 5

SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE.Sistema di disequazioni in due incognite di primo grado Una disequazione di primo grado in due incognite: a b c nel piano cartesiano, rappresenta uno dei due

Dettagli

quindi, applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene l insieme delle soluzioni: x x da cui:

quindi, applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene l insieme delle soluzioni: x x da cui: ) Risolvi le seguenti equazioni e scrivi le soluzioni reali in ordine crescente, indicando se sono multiple e quante sono le eventuali soluzioni non reali: ( ) ( ) per risolvere questa equazione si applica

Dettagli

Risolvere lo stesso problema ipotizzando che le scarpe siano vendute a 40 il paio e che gli scarponi siano venduti a 90 il paio.

Risolvere lo stesso problema ipotizzando che le scarpe siano vendute a 40 il paio e che gli scarponi siano venduti a 90 il paio. Problema 1 Un'industria calzaturiera produce scarpe da tennis che vende a 40 il paio e scarponi da trekking che vende a 50 il paio. Ogni paio di scarpe richiede 6 minuti di lavorazione a macchina e 5 minuti

Dettagli

Geometria analitica di base (seconda parte)

Geometria analitica di base (seconda parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo

Dettagli

La programmazione lineare

La programmazione lineare La programmazione lineare Se un problema economico si traduce in un problema di scelta in condizioni di certezza e con effetti immediati siamo in presenza di un problema di Programmazione lineare. Abbiamo

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 421 E SEGUENTI

ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 421 E SEGUENTI ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 421 E SEGUENTI ESERCIZIO N. 6 PAG. 418 z 100 + 200 100 vincoli 3 2 + 20 0 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo Determino le coordinate dei

Dettagli

Esercizio 1. Soluzione Ponendo il numero dei giorni di noleggio = x e il costo del noleggio = y, con,, si ottiene:

Esercizio 1. Soluzione Ponendo il numero dei giorni di noleggio = x e il costo del noleggio = y, con,, si ottiene: Problemi di scelta ESERCIZI Esercizio 1 Per il noleggio di un furgone, due diverse società offrono le seguenti condizioni: a. la società A richiede 20 di costo fisso più 50 per ogni giorno di noleggio;

Dettagli

quindi, applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene l insieme delle soluzioni:

quindi, applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene l insieme delle soluzioni: ) Risolvi le seguenti equazioni e scrivi le soluzioni reali in ordine crescente, indicando se sono multiple e quante sono le eventuali soluzioni non reali: ( ) ( ) questa equazione equivale a ( ) ( ) quindi

Dettagli

Problema y = { x = 15. y =

Problema y = { x = 15. y = Problema 2 Indicando con x il numero di casse di tipo C 1 e con y il numero di casse di tipo C 2 che costituiscono il carico, la funzione da ottimizzare (in questo caso da massimizzare) è data da f(x,

Dettagli

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.

Dettagli

La Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi

La Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi La Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi Forma implicita Forma esplicita a x b y c 0 y m x q a c y x b b Esempio

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 417 E SEGUENTI. Esercizio n. 1 pag 417. vincoli

ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 417 E SEGUENTI. Esercizio n. 1 pag 417. vincoli ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 47 E SEGUENTI Esercizio n. pag 47 6 x x z vincoli 0 0 4 x x x x x x Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile, individuata

Dettagli

Disequazioni di 1 grado

Disequazioni di 1 grado Disequazioni di grado Disuguaglianze numeriche Esempio: < è una disuguaglianza numerica e si legge minore di Nota: posso anche scrivere ( maggiore di ) Esempio: (oppure < ) Proprietà delle disuguaglianze

Dettagli

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza

Dettagli

PROBLEMI DI SCELTA dipendenti da due variabili d azione

PROBLEMI DI SCELTA dipendenti da due variabili d azione prof. Guida PROBLEMI DI SCELTA dipendenti da due variabili d azione in un problema di programmazione lineare, si ricorda che la funzione obiettivo z=f(x,y)=ax+by+c assume il suo valore massimo (o minimo)

Dettagli

Esercizio assegnato in data 28 novembre

Esercizio assegnato in data 28 novembre Esercizio assegnato in data 28 novembre Un commerciante all ingrosso acquista articoli da regalo a 10 al pezzo. Su tutta la merce acquistata, ottiene uno sconto del 10% sul prezzo d acquisto, se ordina

Dettagli

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione

Dettagli

(i punti frontiera del dominio appartengono al dominio stesso). Esempio. Determina i massimi e i minimi della funzione y x 2x

(i punti frontiera del dominio appartengono al dominio stesso). Esempio. Determina i massimi e i minimi della funzione y x 2x PROGRAMMAZIONE LINEARE I problemi di programmazione lineare sono particolari problemi nei quali si devono determinare i massimi o i minimi vincolati di una funzione in due o più variabili. Definizione.

Dettagli

Esercizi svolti sulla parabola

Esercizi svolti sulla parabola Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 19 dicembre 011 Esercizi svolti sulla parabola Esercizio 1. Determinare l equazione della parabola avente fuoco in F(1, 1) e per direttrice

Dettagli

Appunti: il piano cartesiano. Distanza tra due punti

Appunti: il piano cartesiano. Distanza tra due punti ppunti: il piano cartesiano Distanza tra due punti Come determinare la distanza tra i punti ( ; ) e ( ; ): Se i due punti e hanno la stessa ascissa = allora (-3;1) (-3; 5) d()= d()= 1 5 4 4 Se i due punti

Dettagli

PROGRAMMAZIONE LINEARE

PROGRAMMAZIONE LINEARE PROGRAMMAZIONE LINEARE La programmazione lineare ha un ruolo fondamentale tra i metodi risolutivi per i problemi di ottimizzazione. Storicamente questo settore della matematica, che è strettamente connesso

Dettagli

Appunti di Matematica

Appunti di Matematica Appunti di Matematica Funzioni economiche problemi di ottimizzazione Massimo Pasquetto IPSEOA Angelo Berti classe 5AS 16-17 febbraio 2017 massimo pasquetto Appunti di Matematica 16-17 febbraio 2017 1 /

Dettagli

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE).

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,

Dettagli

Punti, linee e piani nello spazio

Punti, linee e piani nello spazio Punti, linee e piani nello spazio DEFINIZIONE. La geometria dello spazio o geometria dei solidi o ancora geometria solida è il settore della geometria che si occupa dei corpi a tre dimensioni (lunghezza,

Dettagli

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 010-011 ESERCIZI RELATIVI A SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO Esercizio 1: Fissato su una retta un sistema di riferimento

Dettagli

FUNZIONI E PROPORIZONALITA

FUNZIONI E PROPORIZONALITA FUNZIONI E PROPORIZONALITA una grandezza si dice COSTANTE se mantiene sempre lo stesso valore. Esempi: la capacità di un recipiente, l altezza di una torre, la lunghezza di una strada, una grandezza si

Dettagli

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 013-014 ESERCIZI RELATIVI A SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO Esercizio 1: Fissato su una retta un sistema di riferimento

Dettagli

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.

Dettagli

Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo?

Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo? Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo? Idea elementare: 1. fissare un quadratino come unità di misura 2. contare quante volte questo può essere riportato nella figura

Dettagli

Scuole italiane all estero - Bilingue italo-albanesi 2005

Scuole italiane all estero - Bilingue italo-albanesi 2005 www.matefilia.it Scuole italiane all estero - Bilingue italo-albanesi 25 1) Studiare e rappresentare graficamente in un piano cartesiano ortogonale XOY la funzione F(x) = x2 +1 4 x2. Verificare che le

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

Esercizi assegnati in data 7 novembre

Esercizi assegnati in data 7 novembre Esercizi assegnati in data 7 novembre Rappresentare sul piano cartesiano le seguenti rette e determinare le coordinate del punto d'intersezione di ciascuna coppia di rette: a: y=0.25x+1000 b: y=0.50x+800

Dettagli

La retta nel piano cartesiano è rappresentata da un'equazione di primo grado a due incognite del tipo : ax + by + c = 0 ( 1 ) Forma implicita

La retta nel piano cartesiano è rappresentata da un'equazione di primo grado a due incognite del tipo : ax + by + c = 0 ( 1 ) Forma implicita Prof. Marco La Fata La Retta nel piano Cartesiano La retta nel piano cartesiano è rappresentata da un'equazione di primo grado a due incognite del tipo : a + b + c = 0 ( ) Forma implicita Questa è in forma

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Conoscenze (tutti)

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Conoscenze (tutti) ELEMENTI DI GEMETRIA ANALITICA Conoscenze (tutti) 1. Completa. a. La formula matematica che mette in relazione il valore della x con il corrispondente valore della y si chiama... b. Le equazioni di primo

Dettagli

PROBLEMI DI SCELTA TRA PIU ALTERNATIVE. Prof.ssa Angela Donatiello 1

PROBLEMI DI SCELTA TRA PIU ALTERNATIVE. Prof.ssa Angela Donatiello 1 PROBLEMI DI SCELTA TRA PIU ALTERNATIVE Prof.ssa Angela Donatiello 1 Prof.ssa Angela Donatiello 2 Nei problemi ad una sola alternativa, lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x o q

Dettagli

LA RETTA

LA RETTA EQUAZIONE DEL Ogni equazione di I grado in due variabili x e y rappresenta nel piano cartesiano una retta, per cui si dice che a x + b y + c = 0 è l equazione di una retta in forma implicita. OSSERVAZIONE:

Dettagli

Esercizi sulla Programmazione Lineare. min. cx Ax b x 0

Esercizi sulla Programmazione Lineare. min. cx Ax b x 0 Soluzioni 4.-4. Fondamenti di Ricerca Operativa Prof. E. Amaldi Esercizi sulla Programmazione Lineare 4. Risoluzione grafica e forma standard. Si consideri il problema min x cx Ax b x dove x = (x, x )

Dettagli

MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO

MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO La Parabola Introduzione e definizione Prima di affrontare la parabola e la sua analisi matematica, appare opportuno definirla nelle sue caratteristiche essenziali. Anzitutto

Dettagli

B6. Sistemi di primo grado

B6. Sistemi di primo grado B6. Sistemi di primo grado Nelle equazioni l obiettivo è determinare il valore dell incognita che verifica l equazione. Tale valore, se c è, è detto soluzione. In un sistema di equazioni l obiettivo è

Dettagli

Disequazioni goniometriche

Disequazioni goniometriche Disequazioni goniometriche Si definiscono disequazioni goniometriche le disequazioni nelle quali l angolo incognito è espresso mediante funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente etc.). Per le disequazioni

Dettagli

Sistemi di 1 grado in due incognite

Sistemi di 1 grado in due incognite Sistemi di 1 grado in due incognite Problema In un cortile ci sono polli e conigli: in totale le teste sono 7 e zampe 18. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile? Soluzione Indichiamo con e con

Dettagli

Quadro riassuntivo di geometria analitica

Quadro riassuntivo di geometria analitica Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive

Dettagli

Soluzione grafica di problemi PM in 2 variabili

Soluzione grafica di problemi PM in 2 variabili Capitolo 4 Soluzione grafica di problemi PM in 2 variabili In questo paragrafo si vuole fornire una interpretazione geometrica di un problema di Programmazione matematica. In particolare, quando un problema

Dettagli

Matematica. 2. Funzioni, equazioni e disequazioni lineari e quadratiche. Giuseppe Vittucci Marzetti 1

Matematica. 2. Funzioni, equazioni e disequazioni lineari e quadratiche. Giuseppe Vittucci Marzetti 1 Matematica 2. e quadratiche Giuseppe Vittucci Marzetti 1 Corso di laurea in Scienze dell Organizzazione Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale Università degli Studi di Milano-Bicocca A.A. 2018-19

Dettagli

Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso. Cenni sulla programmazione lineare

Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso. Cenni sulla programmazione lineare Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso Cenni sulla programmazione lineare Illustriamo le idee di fondo della programmazione lineare, disciplina matematica

Dettagli

Tutti gli esercizi della verifica di Ottobre più altri

Tutti gli esercizi della verifica di Ottobre più altri 1) Nell equazione generica della retta y = mx + q, che cosa rappresenta q? 2) Scrivere l equazione della retta che passa per il punto A(0;4) e perpendicolare a quella di equazione y = 1 3 x 5 ; b. tracciare

Dettagli

Liceo Einstein Milano. Verifica di matematica 10 ottobre 2018

Liceo Einstein Milano. Verifica di matematica 10 ottobre 2018 Liceo Einstein Milano 3G 10 ottobre 2018 1) Risolvi i seguenti sistemi: 2) A) Nel trapezio rettangolo ABCD la base maggiore AB e la base minore CD misurano rispettivamente 15 e 12 e l altezza AD misura

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

LABORATORIO DI CIRCUITI ELETTRICI Nozioni generali e guida agli esperimenti. Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali

LABORATORIO DI CIRCUITI ELETTRICI Nozioni generali e guida agli esperimenti. Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali LABORATORIO DI CIRCUITI ELETTRICI Nozioni generali e guida agli esperimenti Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali Uno strumento molto utile per comunicare e leggere risultati sperimentali

Dettagli

1. La funzione f(x) deve avere uno zero in corrispondenza di x=3

1. La funzione f(x) deve avere uno zero in corrispondenza di x=3 PROBLEMA 1: Il porta scarpe da viaggio Un artigiano vuole realizzare contenitori da viaggio per scarpe e ipotizza contenitori con una base piana e un'altezza variabile sagomata che si adatti alla forma

Dettagli

Unità Didattica N 9 : La parabola

Unità Didattica N 9 : La parabola 0 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 9 La parabola Unità Didattica N 9 : La parabola ) La parabola ad asse verticale ) La parabola ad asse orizzontale 5) Intersezione di una parabola con una retta 6)

Dettagli

Equazioni lineari con due o più incognite

Equazioni lineari con due o più incognite Equazioni lineari con due o più incognite Siano date le uguaglianze: k 0; x + y = 6; 3a + b c = 8. La prima ha un termine incognito rappresentato dal simbolo letterale k; la seconda ha due termini incogniti

Dettagli

VALORE PIÙ CONVENIENTE DEL RENDIMENTO

VALORE PIÙ CONVENIENTE DEL RENDIMENTO VALORE PIÙ CONVENIENTE DEL RENDIENTO In una macchina elettrica ad un rendimento più elevato corrisponde un minor valore delle perdite e quindi un risparmio nelle spese di esercizio (in quanto minori risultano

Dettagli

Istituzioni di Matematica per Scienze Ambientali

Istituzioni di Matematica per Scienze Ambientali per Scienze Ambientali GEOMETRIA ANALITICA - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 5 - Novembre 2012 Coordinate La corrispondenza tra numeri reali e punti di una retta

Dettagli

SESSIONE SUPPLETIVA PROBLEMA 1

SESSIONE SUPPLETIVA PROBLEMA 1 www.matefilia.it SESSIONE SUPPLETIVA - 215 PROBLEMA 1 Sei stato incaricato di progettare una pista da ballo all esterno di un locale in costruzione in una zona balneare. Il progetto prevede, oltre alla

Dettagli

Sistemi di equazioni di secondo grado

Sistemi di equazioni di secondo grado 1 Sistemi di equazioni di secondo grado Risoluzione algebrica Riprendiamo alcune nozioni che abbiamo già trattato in seconda, parlando dei sistemi di equazioni di primo grado: Una soluzione di un'equazione

Dettagli

La domanda di mercato: surplus del consumatore; Elasticità della domanda

La domanda di mercato: surplus del consumatore; Elasticità della domanda La domanda di mercato: surplus del consumatore; Elasticità della domanda ELASTICITA ε L elasticità diretta della domanda rispetto al prezzo è una misura della reattività della domanda di un bene a variazioni

Dettagli

Esame di Qualifica (II Livello Europeo) Terzo Anno

Esame di Qualifica (II Livello Europeo) Terzo Anno Id orso ata.. Nome e ognome Tipo prova omanda 1 Matematica - Sessione 1 / a.f. 2010/2011 Esame di Qualifica (II Livello Europeo) Terzo nno M010431 omanda 2 M000359 Quale tra le seguenti uguaglianze è vera

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

8 Valore assoluto. 8.1 Definizione e proprietà

8 Valore assoluto. 8.1 Definizione e proprietà 8 Valore assoluto 8. Definizione e proprietà Si dice valore assoluto o modulo di un numero reale, e si indica con, il numero stesso se questo è positivo o nullo, altrimenti il suo opposto -, in simboli:

Dettagli

Appunti di Matematica 2 - Il piano cartesiano - Il piano cartesiano. Sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Appunti di Matematica 2 - Il piano cartesiano - Il piano cartesiano. Sistema di riferimento cartesiano ortogonale Il piano cartesiano Sistema di riferimento cartesiano ortogonale Fissare nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale significa fissare due rette perpendicolari orientate chiamate asse e asse

Dettagli

Soluzione grafica di problemi PM in 2 variabili

Soluzione grafica di problemi PM in 2 variabili Capitolo 4 Soluzione grafica di problemi PM in 2 variabili In questo paragrafo si vuole fornire una interpretazione geometrica di un problema di Programmazione matematica. In particolare, quando un problema

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA

GEOMETRIA ANALITICA GEOMETRIA ANALITICA matematica@blogscuola.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un

Dettagli

Disequazioni di primo grado

Disequazioni di primo grado Disequazioni di primo grado Disuguaglianze numeriche Esempio: è una disuguaglianza numerica e si legge minore di Nota: posso anche scrivere ( maggiore di ) Esempio: (oppure ) Proprietà delle disuguaglianze

Dettagli

Fondamenti di Business Analytics classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico

Fondamenti di Business Analytics classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico Fondamenti di Business Analytics 20486 classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico 2016-2017 Parte II. Decisioni in condizioni di certezza Lezione 7 Programmazione Lineare (PL): il problema Il punto

Dettagli

ALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008

ALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008 LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento

Dettagli

Problemi di Flusso: Il modello del Trasporto

Problemi di Flusso: Il modello del Trasporto Problemi di Flusso: Il modello del rasporto Andrea Scozzari a.a. 2014-2015 April 27, 2015 Andrea Scozzari (a.a. 2014-2015) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, 2015 1 / 25 Problemi su

Dettagli

ECONOMIA APPLICATA ALL INGEGNERIA (Docente: Prof. Ing. Donato Morea) Microeconomia Esercitazione n. 1 - I FONDAMENTI DI DOMANDA E DI OFFERTA

ECONOMIA APPLICATA ALL INGEGNERIA (Docente: Prof. Ing. Donato Morea) Microeconomia Esercitazione n. 1 - I FONDAMENTI DI DOMANDA E DI OFFERTA ESERCIZIO n. 1 - Equilibrio di mercato e spostamenti delle curve di domanda e di offerta La quantità domandata di un certo bene è descritta dalla seguente funzione: p (D) mentre la quantità offerta è descritta

Dettagli

F, viene allungata o compressa di un tratto s rispetto alla sua posizione di equilibrio.

F, viene allungata o compressa di un tratto s rispetto alla sua posizione di equilibrio. UNIÀ 4 L EQUILIBRIO DEI SOLIDI.. La forza elastica di una molla.. La costante elastica e la legge di Hooke. 3. La forza peso. 4. Le forze di attrito. 5. La forza di attrito statico. 6. La forza di attrito

Dettagli

COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D. Fila A

COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D. Fila A Esercizio 1 Determinare il dominio della seguente funzione: COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D Fila A (a) f (, ln( + 4 Esercizio Calcolare le derivate parziali delle

Dettagli

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico 018-019 Classe A Liceo Scientifico 19 dicembre 018 Prova di Matematica : Piano Cartesiano e retta 1. Tre diverse compagnie telefoniche applicano

Dettagli

Isometrie. Prima parte. Mauro Saita Versione provvisoria. Ottobre Definizioni e assiomi.

Isometrie. Prima parte. Mauro Saita Versione provvisoria. Ottobre Definizioni e assiomi. Isometrie. rima parte. Mauro Saita maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Ottobre 2011. Indice 1 Definizioni e assiomi 1 2 Isometrie 4 3 Simmetrie assiali. Rette ortogonali 5 3.1 Asse di un segmento.....................................

Dettagli

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0;

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0; La parabola è una particolare conica definita come è una curva aperta, nel senso che non può essere contenuta in alcuna superficie finita del piano; è simmetrica rispetto ad una retta, detta ASSE della

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

Funzione esponenziale

Funzione esponenziale Paolo Siviglia Funzione esponenziale Consideriamo le seguenti funzioni. e Come si vede, si tratta di potenze con esponente variabile. Espressioni di questo tipo sono denominate funzioni esponenziali. La

Dettagli

La dualità nella Programmazione Lineare

La dualità nella Programmazione Lineare Capitolo 3 La dualità nella Programmazione Lineare 3.1 Teoria della dualità Esercizio 3.1.1 Scrivere il problema duale del seguente problema di Programmazione Lineare: min x 1 x 2 + x 3 2x 1 +3x 2 3 x

Dettagli

Esercizi di Matematica. Studio di Funzioni

Esercizi di Matematica. Studio di Funzioni Esercizi di Matematica Studio di Funzioni CONSIDERAZIONI GENERALI Ad ogni funzione corrisponde un grafico, quindi studiare una funzione significa determinare il suo grafico. Per le conoscenze fin qui acquisite,

Dettagli

Anno 3 Rette e circonferenze

Anno 3 Rette e circonferenze Anno 3 Rette e circonferenze 1 Introduzione In questa lezione esamineremo le reciproche posizioni che possono sussistere tra retta e circonferenza o tra due circonferenze. Al termine della lezione sarai

Dettagli

Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni

Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni 1 Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni 1. Date le funzioni f 1 (x) = x/4 1, f 2 (x) = 3 x, f 3 (x) = x 4 2x, scrivere a parole le operazioni che, dato x in modo opportuno, permettono di calcolare

Dettagli

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale . I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei

Dettagli

I vertici e i lati di ogni poligono vengono detti rispettivamente vertici e spigoli del poliedro.

I vertici e i lati di ogni poligono vengono detti rispettivamente vertici e spigoli del poliedro. 1 I poliedri diagonale DEFINIZIONE. Un poliedro è la parte di spazio delimitata da poligoni posti su piani diversi in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi. I poligoni che delimitano il poliedro

Dettagli

Funzioni di secondo grado

Funzioni di secondo grado Definizione della funzione di secondo grado 1 Funzioni di secondo grado 1 Definizione della funzione di secondo grado f: R R, = a +b +c dove a, b, c ǫ R e a definisce una funzione di secondo grado. A seconda

Dettagli

Soluzione di Adriana Lanza

Soluzione di Adriana Lanza La dieta Un medico prescrive a Silvia, per un breve periodo di tempo, una dieta ristretta a pochi alimenti (cereali, legumi e pesce) il cui complessivo apporto calorico giornaliero non deve superare le

Dettagli

SCHEDA DI LAVORO N.1 LABORATORIO PREMESSA

SCHEDA DI LAVORO N.1 LABORATORIO PREMESSA SCHEDA DI LAVORO N.1 LABORATORIO Problemi di modellizzazione PREMESSA La soluzione di semplici problemi di programmazione lineare permette di affrontare e approfondire il concetto di ottimizzazione nell

Dettagli

Simulazione di prova scritta di MATEMATICA-FISICA - MIUR Assegnato un numero reale positivo, considerare le funzioni e così definite:

Simulazione di prova scritta di MATEMATICA-FISICA - MIUR Assegnato un numero reale positivo, considerare le funzioni e così definite: Simulazione di prova scritta di MATEMATICA-FISICA - MIUR - 2.4.2019 PROBLEMA 2 (soluzione a cura di L. Rossi) Assegnato un numero reale positivo, considerare le funzioni e così definite: = =. 1. Provare

Dettagli

Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini

Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 010/011 Prof. C. Perugini Esercitazione n.1 1 Obiettivi dell esercitazione Ripasso di matematica Non è una lezione di matematica! Ha lo scopo

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Coordinate Cartesiane

Coordinate Cartesiane - - Coordinate Cartesiane Su di una retta r consideriamo un punto, detto origine, un verso positivo indicato con una freccia ed un segmento unitario U. In questo caso la retta r dicesi asse delle ascisse

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

Maturità Scientifica PNI Sessione ordinaria

Maturità Scientifica PNI Sessione ordinaria Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 53 Problema Maturità Scientifica PNI Sessione ordinaria 00-00 Due numeri e hanno somma e quoziente uguali ad un numero reale a non nullo.

Dettagli

Piano cartesiano. O asse delle ascisse

Piano cartesiano. O asse delle ascisse Piano cartesiano E costituito da due rette orientate e perpendicolari tra di loro chiamate assi di riferimento. Il loro punto di intersezione O si chiama origine del riferimento. L asse orizzontale è detto

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Dettagli

c) Determina per quali valori di k il segmento BC ha misura 2. 3) Ricava l equazione della spezzata rappresentata in figura

c) Determina per quali valori di k il segmento BC ha misura 2. 3) Ricava l equazione della spezzata rappresentata in figura VERIFICHE TERZA C a.s. 2010 2011 1) Sono assegnati i punti A(0; 10) B(8; - 6) C(0; 0). Rappresentali. a) Verifica che il triangolo ABC è isoscele e calcola la sua area b) Tra i punti P che hanno ordinata

Dettagli

1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE

1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE 1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE Esempio 1 Risolvere senx = Soluzione. La misura dei due angoli positivi, minori di un angolo giro, che soddisfano l equazione data sono: 4 Tutte le soluzioni sono quindi date

Dettagli

Nome Cognome. Classe 3D 25 Febbraio Verifica di matematica

Nome Cognome. Classe 3D 25 Febbraio Verifica di matematica Nome Cognome. Classe D Febbraio Verifica di matematica ) Data l equazione: k 6 a) Scrivi per quali valori di k rappresenta un ellisse, precisando per quali valori è una circonferenza b) Scrivi per quali

Dettagli

Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice.

Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. LA PARABOLA Definizione: Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. Dimostrazione della parabola con

Dettagli

ALCUNI ESEMPI DI PROBLEMI TIPICI DI RICERCA OPERATIVA

ALCUNI ESEMPI DI PROBLEMI TIPICI DI RICERCA OPERATIVA ALCUNI ESEMPI DI PROBLEMI TIPICI DI RICERCA OPERATIVA nov 5 0.13 1 1A. Una fabbrica di detersivi può produrre giornalmente al massimo 70 Kg di detersivo, che rivende a 1.8 al Kg. Per la produzione sostiene

Dettagli

a rappresenta l intercetta o termine noto della retta, ossia il valore della y quando x = 0.

a rappresenta l intercetta o termine noto della retta, ossia il valore della y quando x = 0. Esercitazioni sulla prima parte delle lezioni di Micro Richiamo di Analisi Matematica La forma funzionale più semplice è la retta, la quale può essere genericamente descritta dalla seguente relazione:

Dettagli

Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo

Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo 24 febbraio 2010 1 Per altri materiali didattici o per contattarmi: Blog personale:

Dettagli