(i punti frontiera del dominio appartengono al dominio stesso). Esempio. Determina i massimi e i minimi della funzione y x 2x

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1 PROGRAMMAZIONE LINEARE I problemi di programmazione lineare sono particolari problemi nei quali si devono determinare i massimi o i minimi vincolati di una funzione in due o più variabili. Definizione. Un problema di massimi o minimi vincolati si dice di programmazione lineare (PL) se il suo modello matematico ha le seguenti caratteristiche: La funzione della quale si devono determinare i massimi o i minimi assoluti è in due o più variabili ed è di primo grado; I vincoli sono costituiti da disequazioni o equazioni di primo grado; Le variabili sono sempre positive o nulle (vincoli di segno sempre presenti). N.B. In un problema di PL i vincoli hanno sempre i predicati: " " oppure " " oppure " " (i punti frontiera del dominio appartengono al dominio stesso). Esempio. Determina i massimi e i minimi della funzione y x 2x 50 con i vincoli: x1, x2 R x1 0 x2 0 x1 2x2 6 x1 x In questo esempio: le variabili sono 2; la funzione e i vincoli sono di primo grado; i primi 2 vincoli sono di segno e i rimanenti sono tecnici. La prima condizione ci dice che il problema è nel continuo. PROBLEMI DI PL IN DUE VARIABILI NEL CONTINUO Il problema di PL più semplice è quello in due variabili. In questo caso il problema si risolve facilmente. Facciamo alcune considerazioni preliminari. Data la funzione z=ax+by+c, di primo grado nelle variabili x e y, il suo dominio è RxR, il grafico tridimensionale è un piano e le linee di livello formano un fascio di rette parallele (fascio improprio di rette). La funzione definita su tutto RxR non possiede massimi e minimi. Se restringiamo il dominio della funzione (mediante vincoli) allora la funzione potrebbe avere dei massimi o dei minimi vincolati. In particolare, se il dominio (definito dai vincoli) dovesse risultare chiuso, allora per il teorema di Weierstrass la funzione lineare z=ax+by+c avrebbe almeno un massimo e almeno un minimo assoluti. NB. Il il teorema di Weierstrass dimostra che: una funzione reale definita e continua su un dominio chiuso (sottoinsieme di RxR) ammette almeno un massimo assoluto e almeno un minimo assoluto. In un problema di PL, il dominio della funzione da ottimizzare è definito dai vincoli tutti di primo grado. Vediamo come sarà fatto questo dominio. Esercizio1. Determina il dominio definito dai seguenti vincoli: x, y R x 0 y 0 x y 2 0 x y 5 0 Pag. 1/5

2 Esercizio 2. Determina il dominio definito dai seguenti vincoli: x, y R x 0 y 0 x y 2 0 x 2y 6 0 In entrambi gli esercizi, il dominio è l intersezione di tanti semipiani aventi come frontiera la retta associata al vincolo. Nel primo caso il dominio è costituito da un poligono chiuso (i lati costituiscono la frontiera e appartengono al dominio) mentre nel secondo caso il dominio (illimitato) è una poligonale aperta (o troncone). Gli esercizi che hai svolto trovano una generalizzazione nel seguente teorema. Teorema sul dominio. In un problema di PL in due variabili reali (continuo) il dominio è sempre costituito da un poligono convesso 1 chiuso o da una poligonale convessa aperta. Un problema di PL definito sul dominio del primo esercizio, per il teorema di Weierstrass, avrebbe sicuramente almeno una soluzione, mentre il secondo problema potrebbe anche non avere soluzione (occorre provare a risolverlo per scoprire se esistono oppure no i massimi e/o i minimi assoluti). Affrontiamo ora la seconda parte di un problema di PL: dopo aver determinato il dominio, si devono trovare gli eventuali massimi o minimi assoluti (a seconda del problema) della funzione obiettivo da ottimizzare. Una funzione lineare è derivabile in tutti i punti del dominio, ma non possiede punti stazionari (le derivate prime sono due numeri diversi da zero), quindi non esistono massimi e minimi relativi. Osservando l andamento delle linee di livello si comprende che eventuali massimi o minimi assoluti si troveranno necessariamente nei vertici del poligono o della poligonale che costituisce il dominio. Queste considerazioni trovano una loro sistemazione nel seguente teorema. Teorema sui massimi e minimi. In un problema di PL in due variabili reali, i massimi e i minimi assoluti della funzione obiettivo, se esistono, si trovano nei vertici del poligono (o della poligonale) che costituisce la frontiera del dominio. Se il dominio è chiuso (poligono) allora il problema di PL avrà sicuramente almeno una soluzione (teorema di W.), se il dominio è illimitato (quindi aperto) allora la funzione potrebbe non possedere il massimo o il minimo assoluti. N.B. Un problema di PL potrebbe avere anche infinite soluzioni (vedere gli esercizi). Come si affronta un problema di PL in due variabili? Se il dominio è un poligono chiuso, è sufficiente determinare le coordinate dei vertici del poligono e i valori della funzione nei punti trovati. A seconda del problema si sceglierà il punto di massimo o quello di minimo. Un metodo più generale, utilizzabile anche nel caso di domini illimitati e che evita di calcolare tutti i vertici della poligonale del dominio, è Il metodo geometrico. Descriviamo la procedura da seguire mentre svolgiamo un esercizio. 1 Una figura piana si dice convessa se ogni segmento di estremi una qualsiasi coppia di punti appartenenti alla figura è sottoinsieme della figura stessa. Pag. 2/5

3 Esercizio 3. Determinare i massimi e i minimi assoluti del seguente problema di PL: z 60x 63y 65 x, y R 3x y 3 x 5 y 4 x 0 y 0 1. Si rappresenta, sul piano cartesiano, il dominio definito dai vincoli (tale dominio è detto anche area ammissibile); al momento si può evitare di calcolare le coordinate dei vertici, vedi punto Si rappresenta la linea di livello z=c (dove c è il termine noto della funzione obiettivo z=ax+by+c), cioè si rappresenta la linea di livello ax+by=0. Questa è sempre una retta passante per l origine degli assi cartesiani e di coefficiente angolare a/b. 3. Si rappresenta il punto H di coordinate (a; b); dove a e b sono i coefficienti di x e y nella funzione obiettivo. 4. Si rappresenta il vettore (segmento orientato) OH. Il vettore OH e le linee di livello saranno sempre perpendicolari!!! Infatti il coefficiente angolare di OH è b/a, che è l antireciproco di quello delle linee di livello. 5. L andamento delle linee di livello, in generale, ci permette di individuare, tra i vertici, i massimi e i minimi della funzione, o (dettaglio importante) ci permette di affermare che il problema non ammette soluzione (può succedere nel caso di una poligonale aperta). 6. Per ultimo si calcolano (se non è stato fatto all inizio) le coordinate dei vertici che individuano i massimi e/o i minimi assoluti e i corrispondenti valori della funzione e si individua la soluzione del problema. Alcune osservazioni prima di svolgere gli esercizi Se dal grafico e dall andamento delle linee di livello non è possibile individuare con certezza il vertice che rappresenta il massimo/minimo cercato, allora si deve calcolare il valore della funzione nei punti più probabili a essere il massimo/minimo, per individuare quello corretto. Se i due vertici di un stesso lato del poligono che determina il dominio fossero entrambi massimi assoluti, cosa potresti dedurre? Tutti i punti del lato sarebbero massimi o minimi e il problema avrebbe infinite soluzioni (se il problema è nel continuo). Se il problema è nel discreto allora le variabili x e y potranno assumere solo valori interi non negativi (naturali). Si svolge l esercizio come se il problema fosse nel continuo, trovata la soluzione questa sarà accettabile solo se i valori x e y saranno entrambi numeri interi. In caso contrario sarà necessario individuare i punti del dominio vicini al punto trovato, ma con coordinate intere. Sicalcolerà la funzione in tali punti per individuare il max/min del problema. Pag. 3/5

4 Svolgere i seguenti esercizi. 1. Determinare i massimi e i minimi assoluti della funzione z 3x y 2, con i vincoli: x, y R x 0 y 0 x y 4 2x 3y 12 x y 9 2x y 13 3x y Determinare i massimi e i minimi della funzione z 100x 120y 200, con i vincoli: x, y R x 0 y 0 7x 5y 1500 x y 600 x y 0 3. Determinare massimo e minimo della funzione z=x+y+3, soggetta ai seguenti vincoli: x, y R x 0 y 0 2x y 2 0 x y 2 0 x 3y Ad una pelletteria vengono forniti mensilmente non più di 80 m 2 di pelle e non più di 100 m 2 di tessuto plastificato per produrre borse e zaini. Per confezionare una borsa occorrono 0,4 m 2 di pelle e 0,05 m 2 di tessuto per gli inserti. Per confezionare uno zaino occorrono 0,2 m 2 di pelle e 0,8 m 2 di tessuto. Per realizzare una borsa, inoltre, occorrono 3 ore di lavorazione, mentre per fare uno zaino ne occorrono 4 e il monte ore mensile non può superare le 800. Sapendo che su ogni borsa si ha un guadagno di 30 e su uno zaino il guadagno è di 20, determinare come si deve organizzare la produzione per avere il massimo guadagno. (il problema è nel discreto!!!). 5. Un industria dolciaria produce due tipi di cioccolato fondente per le pasticcerie: 100 grammi di cioccolato della miglior qualità contengono 60 grammi di cacao, 25 di burro di cacao e 15 di zucchero; 100 grammi di cioccolato di minor quantità contengono 40 grammi di cacao, 20 di margarina, 30 di zucchero e 10 di burro di cacao. Per un ciclo di lavorazione si dispone al massimo di kg 30 di cacao, kg 10 di zucchero, kg 2,5 di burro di cacao e kg 2,5 di margarina. L utile che l azienda realizza dalla vendita del cioccolato del primo tipo è di 0,6 l etto, mentre dalla vendita del secondo tipo è di 0,45 l etto. Sapendo che la produzione del primo tipo non può superare 1/3 di quella del secondo, determinare la combinazione produttiva che consente il massimo guadagno. Pag. 4/5

5 6. Un industria ha in lavorazione due prodotti P1 e P2. Per ogni unità di P1 occorrono due ore di lavoro macchina e due ore e mezzo di lavoro manuale; per ogni unità di P2 occorrono un ora di lavoro macchina e tre ore di lavoro manuale. Ogni ora di lavoro macchina costa 15 e ogni ora di lavoro manuale costa 16. Per un dato periodo di lavorazione sono disponibili 430 ore macchina e 660 ore di lavoro manuale. Sapendo che per richiesta di mercato le quantità del prodotto P1 non devono essere inferiori a quelle del prodotto P2 e che i prezzi di vendita sono rispettivamente di 90 per ogni unità di P1 e di 88 per ogni unità di P2, determinare la combinazione produttiva più conveniente. 7. Un impresa produce due tipi di armadi che devono essere lavorati a macchina, rifiniti e montati manualmente. Per il primo prodotto sono necessarie 2 ore di lavorazione a macchina, 1 ora per la rifinitura e 3 ore per il montaggio; esso viene venduto a Per il secondo prodotto sono necessarie 3 ore per la lavorazione, 2 ore per la rifinitura e 2 ore per il montaggio; il prezzo di vendita è in questo caso di Il costo orario delle macchine con cui vengono lavorati gli armadi è di 100 e il costo orario manuale è di 70. Tenendo presente che in una settimana non si possono superare 450 ore per la lavorazione, 280 ore per la rifinitura e 480 ore per il montaggio, determinate quante unità di ciascun tipo di armadio conviene produrre per realizzare il massimo profitto. 8. Un azienda produce utensili di due tipi utilizzando plastica e legno. Per costruire un utensile del primo tipo sono necessari 600 g di plastica e 700 g di legno; esso dà ricavo di 38. Per costruire un utensile del secondo tipo sono necessari 400 g di plastica e 800 g di legno, con un ricavo di 43. La disponibilità settimanale è di 120 kg di plastica e 150 kg di legno. Sapendo che il costo della plastica è di 1,5 per ogni hg e quello del legno di 2,4 per ogni hg, quale deve essere la produzione settimanale dei due utensili affinché il profitto sia massimo? (suggerimento: tutto in hg) 9. Un artigiano ha progettato due tipi di giocattoli, che indichiamo con A e B, per la cui costruzione sono necessarie due fasi successive: la prima di tipo manuale, la seconda di rifinitura, per la quale è necessario l utilizzo di una macchina. Il giocattolo A richiede 20 minuti di lavoro manuale e 15 minuti di rifinitura, fornendo un ricavo di 70. Il giocattolo B richiede 25 minuti di lavoro manuale e 1 ora di rifinitura, fornendo un ricavo di 145. Il costo orario della manodopera è quantificato in 16 all ora e il costo orario della macchina in 20. Vogliamo stabilire quanti giocattoli di ciascun tipo conviene produrre giornalmente per avere il massimo profitto, sapendo che le ore di lavoro manuale non possono essere maggiori di 15, mentre il numero di ore dedicato alla rifinitura non può superare le Una azienda tessile produce due tipi A e B di tessuti misti di lana, terital e rayon che vende rispettivamente a 13 e 12 al metro. I filati costano: 900 al quintale la lana, 600 al quintale il terital, 400 al quintale il rayon. La produzione del tipo A consuma 400 grammi di lana, 500 grammi di terital e 300 grammi di rayon per ogni metro di tessuto. La produzione del tipo B consuma 500 grammi di lana, 200 grammi di terital e 880 grammi di rayon per ogni metro di tessuto. La disponibilità dei tre filati è limitata a 100 chilogrammi per la lana, a 100 chilogrammi per il terital e a 120 chilogrammi per il rayon. Determinare quanti metri di ciascun filato A e B si dovranno produrre per ottenere il massimo guadagno. 11. Una azienda alimentare artigianale produce due tipi di pasta di qualità diversa utilizzando tre tipi di farina. Per ogni kg di pasta del tipo A occorrono 200 g di farina di tipo F1, 300 g di farina di tipo F2 e 400 g di farina di tipo F3, mentre per ogni kg di pasta del tipo B occorrono 300 g di farina di tipo F1, 250 g di farina del tipo F2 e 350 g di farina di tipo F3. La disponibilità di farina, settimanalmente, è di 20 quintali per il tipo F1, di 25 per il tipo F2 e di 30 quintali per il tipo F3. Ogni quintale di farina del tipo F1 costa 12, ogni quintale del tipo F2 costa 16 e ogni quintale del tipo F3 costa 18 e ogni kg di pasta del tipo A viene venduto a 0,8 e ogni kg del tipo B viene venduto a 0,6. Sapendo inoltre che i costi fissi settimanali sostenuti dalla azienda ammontano a 2.000, determinare la combinazione produttiva settimanale più conveniente. Pag. 5/5