SCHEDA DI LAVORO N.1 LABORATORIO PREMESSA

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1 SCHEDA DI LAVORO N.1 LABORATORIO Problemi di modellizzazione PREMESSA La soluzione di semplici problemi di programmazione lineare permette di affrontare e approfondire il concetto di ottimizzazione nell ambito delle scelte strategiche per ottenere un risultato o per l utilizzo ottimale delle risorse. L utilizzo di metodi elementari di tipo grafico ne consente l approccio col del metodo delle coordinate e induce una riflessione sull efficacia del metodi della Geometria analitica,che permette di risolvere problemi di geometria con metodi algebrici, e viceversa, affrontare questioni di algebra o di analisi con metodi geometrici TESTO DELLA TRACCIA La dieta Un medico prescrive a Silvia, per un breve periodo di tempo, una dieta ristretta a pochi alimenti (cereali, legumi e pesce) il cui complessivo apporto calorico giornaliero non deve superare le 1200 kcal, e nella quale il consumo di proteine deve essere compreso tra 75 e 120 grammi al giorno. Nella tabella sottostante sono descritte alcune caratteristiche nutrizionali medie, riferite a 100 g di alimento. Alimenti Proteine (in g /hg) Grassi (in g/hg) Calorie (in Kcal /hg) A( cereali e legumi) B(pesce)

2 Silvia, che studia matematica, pensa subito a un modello che le permetta di fare alcune previsioni sul regime alimentare che deve seguire. Per prima cosa introduce le due variabili reali e positive x e y che rappresentano, rispettivamente, la quantità giornaliera (in etti) dell alimento A e la quantità giornaliera (in etti) dell alimento B ; esprime poi in linguaggio algebrico i vincoli assegnati all apporto calorico e al consumo di proteine. 1. Fornisci un interpretazione geometrica del sistema dei vincoli considerando le due variabili x e y come le coordinate di un punto in un piano cartesiano e rappresenta graficamente le soluzioni. 2. Silvia decide di iniziare la dieta scegliendo per l alimento A :caffè d orzo, fiocchi di cereali, legumi misti, pane per l alimento B : filetti di sogliola e merluzzo nelle seguenti quantità Colazione : 40 grammi caffè d orzo e 30 grammi di fiocchi di cereali Pranzo: 80 grammi di legumi, 150 grammi di sogliola e 50 grammi di pane Cena : 200 grammi di merluzzo e 50 grammi di pane Il menù è compatibile con i vincoli imposti dalla dieta? Mantenendo invariata la quantità di pesce, di quanto può aumentare la quantità dell alimento A? 3. Seguendo i consigli del medico Silvia vuole controllare il consumo dei grassi. Qual è la quantità di grassi consumata nel menu del primo giorno? 4.Determina la quantità minima e la quantità massima di grassi previsti nel suddetto regime alimentare e illustra il procedimento seguito.

3 ARGOMENTI PRESENTI NELLA TRACCIA Sistemi di equazioni o disequazioni lineari in due incognite Fasci di rette Metodo delle cordinate nel piano e nello spazio Risoluzioni grafiche Concetto di variabili decisionali,di funzione obiettivo e di vincoli FINALITA 1) Potenziare l abilità di calcolo di rappresentazione grafica 2) Approfondire il concetto di ottimizzazione 3) Stimolo all introduzione di elementi di Ricerca Operativa 4) Stabilire legami tra concetti matematici e contesto reale 5) Utilizzare strumenti di calcolo e di rappresentazione grafica 6) Valutare il risultato atteso, la coerenza della procedura, ATTIVITA, FARE MATEMATICA 1) Argomenti da approfondire : Funzione lineare in due variabili e curve di livello GUIDA ALLA SOLUZIONE PER LO STUDENTE ALTRE TRACCE IN ANALOGIA 1) Nuova traccia 2) Analogie CONSIDERAZIONI

4 Valutazione della traccia: significatività, punto focale, legame con la realtà SOLUZIONE Costruzione del modello matematico Variabili decisionali: Vincoli x : quantità giornaliera(numero di etti) dell alimento A y : quantità giornaliera (numero di etti) dell alimento B Interpretazione geometrica del sistema dei vincoli Si considerano le due variabili x e y come le coordinate, in un piano cartesiano. Le soluzioni del sistema dei vincoli rappresenta una regione D del piano xy detta regione ammissibile o dominio d interesse. D è l intersezione dei semipiani individuati dalle singole disequazioni e coincide con il poligono ABCDE

5 Figura 1 2. Il menù scelto da Silvia prevede una quantità di alimento A pari a 2,5 etti e una quantità di elemento B pari a 3,5 etti. Il punto V(2,5;3,5) è interno alla regione D, come si può verificare sia graficamente che analiticamente, pertanto il menù è compatibile coi vincoli imposti dalla dieta.(figura2) Mantenendo costante la quantità dell alimento B, osserviamo che il punto di coordinate (x:y) rimane all interno della regione ammissibile se varia sul segmento PQ, dove P e Q sono le intersezioni della retta di equazione con le rette di equazione 3x+2y=12 e 12x+18y=75, rispettivamente pertanto deve essere. (Figura3) L alimento A può aumentare massimo di 33 g.

6 Figura 2 Figura3 3. Quantità di grassi Sostituendo le coordinate del punto V si trova la quantità di grassi consumata nel menu del primo giorno ammonta 14,5 grammi 4.Si deve trovare il massimo e il minimo della funzione ammissibile. entro la regione è una funzione di due variabili definita in D. Scritta nella forma rappresenta,in un riferimento cartesiano Oxyz, un piano π. Il valore massimo o minimo della funzione obiettivo corrisponde al punto di π avente massima o minima quota e tale che la sua proiezione sul piano xy appartenga a D. Le linee di livello della superficie piana che corrisponde alla funzione obiettivo costituiscono un fascio di rette parallele, proiezioni ortogonali,sul piano xy, delle rette ottenute intersecando il piano π con un fascio di piani di equazione z=costante=k

7 Punto di minima quota Punto di massima quota Fascio di rette

8 3x+2y=k La retta che passa per corrisponde al minimo valore La retta che passa per corrisponde al massimo valore La dieta prevede pertanto un consumo di grassi compreso tra 8,33 grammi e 17,14 grammi circa.