La programmazione lineare

Transcript

1 La programmazione lineare Se un problema economico si traduce in un problema di scelta in condizioni di certezza e con effetti immediati siamo in presenza di un problema di Programmazione lineare. Abbiamo quindi una funzione lineare chiamata funzione obiettivo della quale bisogna determinare il massimo o il minimo ed un insieme di vincoli tecnici e di segno. L insieme dei vincoli definiscono una regione ammissibile che, se le variabili sono solo e, può avere la forma di un poligono. È quindi obiettivo della programmazione lineare trovare, tra le soluzioni che soddisfino i vincoli, la soluzione a cui corrisponde il costo minimo (se la funzione obiettivo esprime un costo) o massimo (se la funzione obiettivo esprime un ricavo). Se la regione ammissibile è un poligono allora il massimo ed il minimo della funzione obiettivo si trovano in corrispondenza dei vertici della regione ammissibile Se le variabili sono due ( e ), si può risolvere il problema di programmazione lineare con il metodo grafico descritto dal seguente algoritmo: Inizio Si individua la funzione obiettivo z = f(;) che è nella forma z = a + b + c Si costruisce il sistema formato dai vincoli tecnici e dai vincoli di segno Si risolve il sistema dei vincoli con il metodo geometrico determinando la regione ammissibile Si determinano le coordinate dei vertici della regione ammissibile Si determina il ma o il min della funzione obiettivo che si trovano in corrispondenza dei vertici della regione ammissibile Fine

2 L algoritmo appena descritto si giustifica perché la funzione obiettivo nella forma z = a + b + c può essere scritta a b z c che può essere interpretata, al variare del parametro z, come l equazione di un fascio di rette parallele. Se poi z = c allora l equazione a b z c diventa a + b = che è quella retta del fascio passante per l origine degli assi. La linea di livello corrispondente a z = c è detta retta guida. Immaginiamo che la generica retta del fascio passi per i vertici della regione ammissibile, così facendo, si ottengono in corrispondenza dei vertici i valori Z A,ZB,ZC,... del parametro z. Tali valori (che si ottengono sostituendo le coordinate dei vertici nella funzione obiettivo) coincidono rispettivamente con f ( A), f ( B ), f (C ),... che sono i valori che la funzione z = f (, ) assume nei vertici dell insieme ammissibile. Si consideri ora il punto H ( a;b ), le cui coordinate sono proprio i coefficienti a e b della funzione obiettivo, ed il vettore infatti la retta ha. Il vettore le rette sono perpendicolari infatti ha la direzione perpendicolare a quella delle rette del fascio; b m =, inoltre il coefficiente angolare del fascio di rette è a m' m ). a m b ' (si osservi che Il vettore indica quindi in quale direzione cresce la funzione obiettivo in quanto f ( A), f ( B ), f (C ),..., che la funzione assume nei vertici dell insieme ammissibile, crescono nello stesso verso del vettore. Utilizzando questa proprietà si può già dal grafico individuare quali sono i vertici corrispondenti ai massimi e ai minimi. Seguendo il verso di, il valore di z calcolato nel primo vertice sarà il minimo obiettivo, il valore di z calcolato nell ultimo vertice sarà il massimo della funzione obiettivo. della funzione

3 Di seguito alcuni esempi di regioni ammissibili e di massimi e minimi: Notare che alcune aree ammissibili possono essere delimitate da linee spezzate aperte ad esempio nei grafici,4,5,6:. Minimo in A e massimo in D. Minimo in D e massimo in A. Minimo in A e nessun massimo 4. Massimo in A e nessun minimo 5. Minimo in D e infiniti massimi in AB 6. Massimo in D e infiniti minimi in AB

4 Esempio di problema di programmazione lineare Massimizzare e minimizzare la funzione obiettivo z (cercare il minimo ed il massimo) soggetta ai seguenti vincoli: Soluzione Per determinare la regione ammissibile risolviamo il suddetto sistema di disequazioni. A questo scopo, in riferimento ai primi tre vincoli, studiamo le rette associate alle tre disequazioni: Y a 6 Y b - A (;) C (;) D ( ; ) B (6;) 4

5 Ricerca della soluzione La soluzione del sistema di disequazioni è la parte di piano delimitata dal triangolo Δ ABC i cui vertici hanno le seguenti coordinate: A ( ; ) ; B ( 6; ) ; C ( ; ) Il vettore perpendicolare alle linee di livello è individuato da H ( ; ) La linea guida è + = Impongo il passaggio delle linee di livello per i vertici A,B,C e calcolo il valore che assume la funzione obiettivo nei vertici: Conclusione: in A ( ; ) si ha che z () 6 5 in B ( 6; ) si ha che z 6 (5) 6 6 in C ( ; ) si ha che z () Il massimo della funzione obiettivo è z = in B ( 6; ) Il minimo della funzione obiettivo è z = in C ( ; ) 5

6 Esercizi proposti Dati i seguenti modelli matematici, che descrivono problemi economici di programmazione lineare, calcolare i valori che massimizzano o minimizzano la funzione obiettivo ed il valore di quest ultima.. massimizzare la funzione obiettivo z = + con i vincoli tecnici e di segno [z=4 in (;)]. minimizzare la funzione obiettivo z = + con i vincoli tecnici e di segno [z= in (;)] 8. massimizzare la funzione obiettivo z = 5 + con i vincoli tecnici e di segno [z= in (;4)] 4. minimizzare e massimizzare la funzione obiettivo z = con i vincoli tecnici e di segno 8 6 [ma z=48 in (;8) ; min z= in (4;)] 5. minimizzare e massimizzare la funzione obiettivo z 5 con i vincoli tecnici e di segno 6 [ma z=8 in (6;) ; min z= - in (;)] 6. minimizzare e massimizzare la funzione obiettivo z = con i vincoli tecnici e di segno [ma z=68 in (5;9) ; min z=7 in (;)] 6

7 7 7. massimizzare la funzione obiettivo z + = con i vincoli tecnici e di segno [z=8 in ) ; ( ] 8. minimizzare la funzione obiettivo z con i vincoli tecnici e di segno [z= - in (;)] 9. minimizzare e massimizzare la funzione obiettivo 4 + = z con i vincoli tecnici e di segno [ma z= in (;) ; min z= - in (;)]. minimizzare e massimizzare la funzione obiettivo z + = con i vincoli tecnici e di segno 6 4 [ma z= in (;4) ; min z= in (;)]. minimizzare la funzione obiettivo z + = con i vincoli tecnici e di segno [ma z=7 in (9;) ; min z=8 in (;8)]. minimizzare la funzione obiettivo z + = con i vincoli tecnici e di segno 4 [ma z= in (;) ; min z= -4 in (; -)]. minimizzare e massimizzare la funzione obiettivo z + = con i vincoli tecnici e di segno 4 [ma z=6 in (;) ; min z= in (;)]

8 4. minimizzare e massimizzare la funzione obiettivo z con i vincoli tecnici e di segno 4 [ma z= in (;) ; min z= -5 in (;4)] 5. minimizzare e massimizzare la funzione obiettivo z = con i vincoli tecnici e di segno [ma z=6 in (;) ; min z=8 in (;)] Esempio di problema programmazione lineare Un industria alimentare vuole preparare due diversi tipi di confetture di frutta ed ha a disposizione settimanalmente 5q di pesche e 9q di albicocche. Per ottenere un barattolo di confettura del tipo occorrono kg di pesche e kg di albicocche, invece per ottenere un barattolo di confettura del tipo occorrono kg di pesche e kg di albicocche. Per semplicità si tralascia di considerare la percentuale di zucchero da impiegare nelle confetture. Supponendo che il profitto sia di,5 per ogni barattolo di confettura del tipo e di 4 per ogni barattolo di confettura del secondo tipo, determinare quanti barattoli di confetture del tipo e quanti del tipo conviene confezionare affinché il profitto sia massimo. Soluzione Indicando con: z il profitto totale, il numero dei barattoli del tipo, il numero dei barattoli del tipo, e si può riassumere schematicamente il problema con la seguente tabella: tipo tipo Disponibilità settimanali Pesche kg kg 5 q (=5 kg) Albicocche Profitto kg,5 kg 4 9 q (=9 kg) 8

9 Modello matematico Impostiamo la funzione obiettivo: z = 5, + 4 che è soggetta ai vincoli che si ricavano facilmente dalla tabella: Ricerca della soluzione 5 9 Risolviamo graficamente il sistema di disequazioni e determiniamo la regione ammissibile: Dai primi due vincoli tecnici ricaviamo le seguenti equazioni: 5 5 Y 5 9 Y A (;5) C (;) D (9;) B (5;) 9

10 Per determinare il punto di equilibrio economico, imposto il seguente sistema: 5 Risolviamo il sistema applicando il metodo di sostituzione: Proseguendo nella risoluzione della seconda equazione del sistema otteniamo: = 6 Concludiamo la risoluzione del sistema determiniamo anche il valore della variabile sostituendo in una delle due equazioni del sistema = = +5 La soluzione del sistema di disequazioni lineari è il poligono OCPB che ha per vertici i seguenti punti: O ( ; ) ; C ( ; ) ; P ( ; ) ; B ( 5; ) La linea di livello corrispondente alla retta z = è la retta guida, = Il vettore H ( 5, ; 4 ) perpendicolare alla retta guida (che indica la crescenza delle linee di livello) è Imponendo il passaggio delle linee di livello per i vertici del poligono si ottiene: per O ( ; ) Z = per C ( ; ) Z 4 per P ( ; ) Z,5 4 5 per B ( 5; ) Z, La funzione obiettivo ha il massimo in P con Z = 5 Conclusione Il massimo profitto è di 5 settimanali e si ottiene preparando barattoli di confettura del tipo e barattoli di confettura del tipo.

11 Esercizi proposti. Un azienda deve produrre un certo bene in quantità di almeno unità al giorno. La produzione richiede l impiego di due materie prime A e B e può essere realizzata con due diversi processi. Il primo processo per produrre unità del bene utilizza unità di A e unità di B, mentre il secondo processo utilizza unità di A e unità di B. Sono disponibili giornalmente 8 unità di A e unità di B. Sapendo cha la produzione di una unità di tale bene con il primo processo ha un costo di 6 per l azienda, e con il secondo processo ha un costo di 4. Pianificare una produzione giornaliera in modo che i costi siano minimi. [= ; =8 ; Zmin = 44 ]. Un impresa artigianale produce due tipi di manufatti i cui profitti lordi unitari sono: p =, p =4. L impresa dispone giornalmente di 4 ore-macchina e di 5 kg di materie prime, ogni manufatto del primo tipo richiede ore-macchina e kg di materia prima; ogni manufatto del secondo tipo richiede 7 ore-macchina e sempre kg di materie prime. Determinare quali quantità di ciascun manufatto occorre produrre giornalmente perché il profitto lordo sia massimo. [=4 ; =8 ; Zma=84 ]. Un industria vuole commerciare un prodotto dietetico che contiene due sostanze S e S che forniscono una giusta quantità di vitamine B e B 6, vuole fare una miscela delle due sostanze che fornisca la giusta quantità di vitamine con il minimo costo. La prima sostanza costa,5 per ogni hg e contiene mg di B e,8 mg di B 6 ogni hg. La seconda sostanza costa,5 per ogni hg e contiene,6 mg di B e,9 mg di B 6. Il contenuto minimo delle due vitamine deve essere 9 mg di B e mg di B 6. [=5 ; =/ ; Zmin=4,8 ] 4. Una fabbrica produce due tipi A e B di contenitori per gli alimenti il cui prezzo di vendita per unità è rispettivamente di 5 e di 7. La richiesta di mercato esige che del tipo A siano prodotte almeno unità al giorno. Determinare il massimo ricavo sapendo che la fabbrica può produrre al massimo unità giornaliere globalmente dei due tipi, di cui al massimo unità di tipo A e al massimo 5 unità di tipo B. [=7 ; =5 ; Zma=7 ] 5. Un autotrasportatore deve immagazzinare in un deposito, che ha uno spazio utile complessivo di 45 m, due tipi di merce A e B il cui costo di trasporto è rispettivamente di e 7 per collo. La merce del tipo A ha un ingombro per collo di,6 m, quella del tipo B ha un ingombro di,4 m. Sapendo che nel deposito si possono immagazzinare al più 8 colli, determinare la

12 ripartizione dei colli che consente il massimo ricavo. [=65 ; =5 ; Zma=77 ] 6. Un azienda per la fabbricazione di due articoli A e B, richiede un lavoro normale di 5 minuti per A e di 8 minuti per B ed un lavoro macchina di e 6 minuti rispettivamente. I tempi giornalieri disponibili di lavorazione sono 9 ore per il lavoro manuale e di 4 ore di lavoro di macchine. Determinare il programma di lavorazione giornaliera che permetta di conseguire l utile massimo nell ipotesi che per l articolo A l azienda ricavi un utile di 5 e per l articolo B un utile di [= ; = ; Zma=66] 7. Una compagnia aerea intende ristrutturare l interno di un aereo con posti al fine di creare due categorie di posti: prima classe e classe turistica. Ciascun passeggero di prima classe potrà portare un bagaglio non superiore a kg, mentre a quelli di seconda classe sarà consentito un bagaglio non superiore a kg. L aereo, oltre ai passeggeri, può trasportare un carico massimo di 6 q. Il costo di un biglietto di prima classe è fissato in 5, quello di classe turistica è di 8. Determinare una distribuzione ottimale dei posti che consenta, a pieno carico dell aereo, di realizzare il massimo introito. [=4 ; =8 ; Zma=4] 8. Una fabbrica di giocattoli produce due tipi di bambole. Per la produzione di una bambola del tipo occorre un tempo doppio rispetto a quello di una bambola del tipo. Inoltre la direzione impone un tempo massimo per fabbricare bambole al giorno se fossero tutte del tipo. La fornitura di plastica è sufficiente per produrre complessivamente 5 bambole al giorno, ma la fornitura di stoffa per il tipo permette di confezionare solo 6 bambole al giorno. Il profitto derivante dalla vendita è di per una bambola del tipo e di 5 per una bambola del tipo. Determinare la produzione giornaliera di bambole dei due tipi che permetta di ottenere il massimo profitto. [= ; =5 ; Zma= 55] 9. Un autotrasportatore può trasportare merci di due tipi denominate rispettivamente con M ed M. La merce M occupa un volume pari a,4 m e la merce M invece pari a,6 m. Il furgone ha una capacità massima di m e può trasportare al massimo 4 q. Dal trasporto della merce M si ricavano 8 al q., mentre dal trasporto della merce M il ricavo è pari a al q.. Inoltre l autotrasportatore non effettua trasporti per carichi inferiori a 6 q. Trovare quanti pezzi di M e M rendono massimo il profitto dell autotrasportatore. [= ; = ; = ; = ; Zma=4]

13 . Per produrre due articoli A e A, un azienda usa i materiali M e M per diverse lavorazioni. Per l articolo A occorrono ore di lavoro, kg del materiale M e kg del materiale M. Per l articolo A occorrono 4 ore di lavoro, kg del materiale M e 6 kg del materiale M. L azienda può disporre mensilmente di 5 ore lavorative, q del materiale M e 6 q del materiale M. Dalla vendita dell articolo A si può guadagnare 9, invece dalla vendita di A il guadagno è. Se tutta la produzione mensile fosse venduta, quanti articoli A e A conviene produrre per ottenere il massimo guadagno? [= ; = 5 ; Zma=]