Problemi di programmazione lineare

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1 Problemi di programmazione lineare Un importante classe di problemi la cui formalizzazione fa ricorso a disequazioni lineari in due incognite è quella dei problemi di programmazione lineare. La caratteristica di questi problemi è la seguente: in essi viene richiesto di trovare la migliore distribuzione di un certo numero di risorse secondo un determinato criterio di ottimizzazione che può consistere, per esempio, nel minimizzare un costo o nel massimizzare un profitto. Esaminiamo subito un esempio. PROBLEMA 1 Massimizzare un utile Un impresa artigianale produce armadi di legno di due tipi: classico e lusso. La quantità e la qualità di materia impiegata per costruire i due tipi di armadi è la stessa, ma diverso è il tipo di lavorazione. I tempi di produzione sulle macchine sono rispettivamente di 2 ore per il tipo classico e di 5 ore per il tipo di lusso. La rifinitura, eseguita a mano da operai specializzati, richiede 2 ore per il tipo classico e 1 ora per il tipo di lusso. Per un ciclo di lavorazione sono disponibili 400 ore di lavoro macchina e 200 ore di lavoro di operai specializzati; inoltre, in ogni ciclo di lavorazione, si possono produrre al massimo 110 armadi. L utile è di 50 euro per un armadio del tipo classico e di 100 euro per un armadio del tipo di lusso. Quanti armadi del tipo classico e quanti di lusso devono essere prodotti in un ciclo di lavorazione per realizzare il massimo utile? FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Dati Tipo armadio COSTRUIAMO UN MODELLO Indichiamo con x e y, rispettivamente, il numero degli armadi classici e il numero degli armadi di lusso prodotti in un ciclo di produzione. Naturalmente, dovrà essere x 2 N e y 2 N. Formalizziamo anzitutto i vincoli sul ciclo di produzione. La produzione complessiva di armadi in un ciclo non può essere superiore a 110 armadi, quindi dovrà essere: x þ y 110 Si hanno a disposizione al massimo 400 ore di lavoro macchina, quindi deve essere: 2x þ 5y 400 tempo macchina per armadi classici Tempo di produzione macchina tempo macchina per armadi lusso Tempo di rifinitura Utile Classico 2 ore 2 ore 50 euro Lusso 5 ore 1 ora 100 euro Vincoli sul ciclo di produzione: non più di 110 armadi; al massimo 400 ore di lavoro macchina; al massimo 200 ore di lavoro di operai specializzati. Obiettivo Il ciclo di produzione che massimizza l utile. 1/9

2 Si hanno a disposizione al massimo 200 ore di lavoro di operai specializzati, quindi deve essere: 2x þ 1y 200 tempo rifinitura tempo rifinitura per armadi classici per armadi lusso Complessivamente, allora, x e y devono soddisfare il sistema: 8 >< x þ y 110 2x þ 5y 400 [1] >: 2x þ y 200 Ogni coppia ordinata ðx, yþ, con x 2 N e y 2 N, che soddisfa questo sistema, rappresenta un possibile programma per un ciclo di produzione. Ora esprimiamo l utile in funzione di x e y. Dalla vendita di un armadio classico si ricavano 50 euro di utile e dalla vendita di uno di lusso 100 euro: quindi, se in un ciclo di produzione si producono x armadi classici e y di lusso, si ottiene un utile U, espresso dalla formula: U ¼ 50x þ 100y L utile U è una funzione di x e y, detta funzione obiettivo. Il modello del nostro problema diventa allora il seguente: fra tutti i possibili programmi di produzione (rappresentati dalle soluzioni del sistema [1]), individuare quello che rende massima la funzione obiettivo. RISOLVIAMO IL MODELLO Possiamo avere un immagine geometrica utile dei possibili programmi di produzione rappresentando graficamente, nel piano cartesiano, le soluzioni del sistema [1]. Otteniamo il poligono convesso colorato nella figura qui sotto y x + y = 110 A O 2x + y = 200 B x + 5y = 400 Le coordinate dei vertici del poligono, facilmente deducibili dalla figura, si possono ottenere intersecando opportunamente le rette cui appartengono i lati del poligono stesso. L insieme dei possibili programmi di produzione è rappresentato dai punti, a coordinate intere, interni al poligono o sul suo bordo. Anche per determinare le coordinate ðx, yþ del punto (a coordinate intere) per cui è massimo l utile: U ¼ 50x þ 100y [2] è opportuno giovarsi di un immagine geometrica. Risolviamo l equazione [2] rispetto a y; otteniamo: y ¼ 1 2 x þ U 100 C D x [3] Al variare di U, questa equazione rappresenta delle rette parallele alla retta y ¼ 1 2 x. Affinché un utile U sia ottenibile in corrispondenza di un possibile programma di produzione, la retta corrispondente deve intersecare il poligono ABCDO in qualche punto. 2/9

3 Dunque cercare l utile massimo equivale a cercare il massimo valore di U per cui la retta di equazione [3] interseca tale poligono. Nel grafico qui sotto abbiamo tracciato le rette, parallele a y ¼ 1 x, passanti per i vertici di ABCDO. I valori di U crescono, man mano che le rette traslano nella direzione indi- 2 cata dalla freccia (sai giustificare perché?). y O A B U = 8500 C D x U cresce Se ne deduce che il più grande valore di U per cui la retta di equazione [3] interseca il poligono ABCDO è quello che corrisponde alla retta passante per il vertice Bð50, 60Þ. Per determinare tale valore di U, sostituiamo le coordinate di B nell equazione [3] e risolviamo l equazione nell incognita U che si ottiene. Otteniamo: 60 ¼ þ U 100 U ¼ 8500 RISPONDIAMO Il massimo utile, uguale a 8500 euro, corrisponde al programma che prevede, per ogni ciclo di produzione, 50 armadi di tipo classico e 60 di tipo lusso. Facciamo ora alcune osservazioni. Con il supporto dell esempio precedente, possiamo comprendere meglio il significato dell espressione «programmazione lineare»: il sostantivo «programmazione» si riferisce al fatto che la soluzione di un problema di programmazione fornisce un programma ottimo da seguire; l aggettivo «lineare» si riferisce alla caratteristica essenziale del problema, che è di imporre vincoli fra le risorse espressi in forma di disequazioni lineari e di assegnare un criterio di ottimizzazione espresso in forma di equazione lineare. Quando, come nel problema precedente, ci sono soltanto due risorse in gioco, i possibili programmi si possono rappresentare come punti del piano eivincoli come semipiani. Escludendo i casi in cui l intersezione è vuota o illimitata, il sistema di disequazioni individua un poligono convesso, chiamato regione ammissibile, i cui punti costituiscono tutti i programmi possibili. Fra questi programmi, un problema di programmazione lineare richiede di scegliere quello migliore, secondo il criterio assegnato. Nel problema precedente abbiamo trovato che il programma ottimo corrisponde a un vertice della regione ammissibile. Questo fatto non è casuale; in generale si può provare infatti che vale il seguente teorema. Teorema di programmazione lineare La regione ammissibile di ogni problema di programmazione lineare è convessa e l ottimo (massimo o minimo), se esiste, viene raggiunto in corrispondenza di uno dei vertici della regione ammissibile. Le osservazioni fatte, combinate con il teorema precedente, ci consentono di delineare uno schema generale per risolvere i problemi di programmazione lineare. 3/9

4 SINTESI schema logico per risolvere un problema di programmazione lineare 1. Familiarizzazione con il problema Identificare: a. i dati sulle risorse (che può essere utile riassumere in una tabella); b. i vincoli sulle risorse. 2. Costruzione del modello a. Si scelgono le incognite. b. Si traducono i vincoli a cui sono sottoposte le incognite in un sistema di disequazioni. c. Si scrive la funzione obiettivo, da rendere massima o minima all interno della regione ammissibile. 3. Risoluzione del modello a. Si disegna la regione ammissibile, rappresentata dalle soluzioni del sistema che rappresenta i vincoli, determinandone in particolare i vertici. b. Si ricerca in corrispondenza di quale vertice della regione ammissibile si ottiene l ottimo. 4. Risposta Si interpreta il risultato ottenuto e si risponde al problema. Applichiamo questo schema alla risoluzione del prossimo problema. PROBLEMA 2 Minimizzare un costo Una casa automobilistica deve inviare almeno 200 auto in due magazzini, A e B. Il magazzino A può ricevere al massimo 160 auto e il magazzino B al massimo 120. Il trasporto di un auto al magazzino A costa 50 euro e il trasporto al magazzino B costa 60 euro. Inoltre, per inviare un auto al magazzino A è sufficiente 1 operaio, mentre per inviare un auto al magazzino B sono necessari 2 operai. Complessivamente, l invio dell auto ai due magazzini, non deve richiedere più di 340 operai. Quante auto devono essere mandate a ciascun magazzino per minimizzare i costi? Qual è il costo minimo? FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Lasciamo a te il compito di individuare i dati e i vincoli. COSTRUIAMO UN MODELLO Indichiamo con x il numero di auto da inviare al magazzino A e con y il numero di auto da inviare al magazzino B. Dovrà essere x 2 N e y 2 N. Inoltre x e y sono soggette ai seguenti vincoli: 8 x 160 >< y 120 x þ y 200 >: x þ 2y 340 La funzione obiettivo C, da rendere minima, è: C ¼ 50x þ 60y 4/9

5 RISOLVIAMO IL MODELLO Rappresentiamo il sistema e poi calcoliamo il valore del costo C in corrispondenza dei vertici del quadrilatero ottenuto y A (80, 120) B (100, 120) D (160, 40) C (160, 90) O x Vertice Costo ðx, yþ C ¼ 50x þ 60y A ð80, 120Þ C ¼ þ ¼ B ð100, 120Þ C ¼ þ ¼ C ð160, 90Þ C ¼ þ ¼ D ð160, 40Þ C ¼ þ ¼ Dalla tabella si vede che il minimo costo viene raggiunto in corrispondenza del vertice D (160, 40). RISPONDIAMO Per minimizzare il costo, occorre inviare 160 auto al magazzino A e 40 al magazzino B. Il costo minimo è uguale a euro. Attenzione! Spesso le variabili dei problemi di programmazione lineare possono assumere solo valori interi: per esempio, nei problemi che abbiamo considerato in questo approfondimento. Non sempre però si è «fortunati» come negli esempi esaminati in cui, trattando le variabili come se potessero assumere valori reali, si trova un ottimo corrispondente a un vertice di coordinate intere. Se si trovasse un ottimo in un vertice di coordinate non intere non basta considerare il punto a coordinate intere più vicino all ottimo: succede infatti, a volte, che piccole variazioni facciano saltare l ottimo da un vertice all altro (alcuni esempi si possono trovare negli esercizi); in questi casi occorre quindi esaminare attentamente la situazione, tenendo presente che l ottimo potrebbe trovarsi in qualsiasi punto, a coordinate intere, appartenente alla frontiera della regione ammissibile. Prova tu Una ditta produce due tipi di oggetti: A e B. La produzione di un oggetto del tipo A necessita di 6 unità di materia prima e di un tempo di lavoro di 20 minuti. La produzione di un oggetto del tipo B necessita di 10 unità di materia prima e di un tempo di lavoro di 10 minuti. Per ogni ciclo di produzione la ditta ha a disposizione 108 unità di materia prima e un tempo di lavoro di 3 ore e 40 minuti. Sapendo che ogni oggetto del tipo A fornisce un profitto di 15 euro, mentre ogni oggetto del tipo B fornisce un profitto di 20 euro, stabilisci quanti oggetti del tipo A e quanti del tipo B bisogna produrre in ogni ciclo di lavorazione per ottenere il massimo profitto. [8 oggetti del tipo A e 6 del tipo B] ESERCIZI a p. 7 5/9

6 MATEMATICA NELLA REALTÀ La programmazione lineare La programmazione lineare è un settore della matematica relativamente recente, che ha avuto origine in seguito a problemi di natura tecnica emersi durante la seconda guerra mondiale. Dopo le prime applicazioni belliche, i primi a utilizzare metodi di programmazione lineare furono le raffinerie di petrolio. Oggi metodi di programmazione lineare vengono utilizzati da svariati tipi di industrie e anche da compagnie aeree e telefoniche. I problemi che, nella realtà, vengono risolti con metodi di programmazione lineare sono ben più complessi dei «modelli giocattolo» che abbiamo considerato in questo paragrafo: nella pratica ci si può imbattere in problemi di programmazione che coinvolgono migliaia di variabili e di vincoli. La soluzione di problemi così complessi è oggi possibile grazie ai computer e allo sviluppo di efficienti algoritmi: il più utilizzato nell ambito della programmazione lineare è il cosiddetto metodo del simplesso, ideato negli anni quaranta da George Dantzig, Leonid Kantorovich e Tjalling Koopmans, per il quale gli ultimi due hanno ottenuto, nel 1975, il premio Nobel per l economia. Il metodo del simplesso, per la sua efficienza pratica, è divenuto uno degli algoritmi più usati nella storia della matematica applicata. Nel 1984, Narendera Karmarkar, un matematico dei Laboratori Bell, scoprì un algoritmo alternativo al metodo del simplesso, in molti casi più veloce. Il nuovo metodo fu applicato dagli scienziati dei laboratori Bell a un problema che non aveva precedenti in quanto a complessità: decidere quale fosse il metodo più economico di instradare telefonate nell immensa rete telefonica degli Stati Uniti: un problema difficilissimo da risolvere, ma estremamente «appetibile», in quanto riuscire a trovare soluzioni ottimali per instradare le telefonate poteva far risparmiare centinaia di milioni di dollari! Lavorando a questo problema, gli scienziati furono condotti a un problema di programmazione lineare con circa variabili, che i computer risolsero, utilizzando l algoritmo di Karmarkar, in 10 ore di ore di lavoro (si stima che il metodo del simplesso avrebbe impiegato, invece, svariate settimane). La ricerca I laboratori Bell, negli USA, sono stati una fucina continua di idee e invenzioni per tutto il ventesimo secolo. Molte delle scoperte che hanno permesso la realizzazione delle moderne tecnologie (radio, televisori, computer, lettori di CD, telefoni cellulari, ecc.), sono state fatte proprio ai laboratori Bell. 6/9

7 Esercizi Þ 1 ESERCIZIO GUIDATO Una ditta produce due composti chimici X e Y. La produzione di 1 unità del composto X richiede un tempo di lavorazione di 30 minuti e di 8 unità di materia prima, la produzione di 1 unità del composto Y richiede un tempo di lavorazione di 20 minuti e 10 unità di materia prima. Giornalmente la ditta può disporre di 1500 unità di materia prima e di 60 ore di tempo di lavoro. Inoltre la vendita di 1 unità del composto X realizza un utile di 20 euro e la vendita di 1 unità del composto Y realizza un utile di 15 euro. Trova la produzione giornaliera che garantisce il massimo utile. Individua i dati e l obiettivo. Indica con x le unità del composto X e con y le unità del composto Y da produrre in un giorno. I vincoli a cui sono sottoposti x e y sono i seguenti: 8 < x 0, y 0 8x þ 10y :::::::::: [*] : 30x þ 20y :::::::::: La funzione obiettivo, da rendere massima, è: U ¼ 20x þ 15y Disegna nella figura qui sotto la regione ammissibile, cioè la regione rappresentata dal sistema [*]: otterrai un quadrilatero con un vertice nell origine. Determina le coordinate dei vertici del quadrilatero e completa poi la tabella a fianco, determinando i valori della funzione U in corrispondenza delle coordinate dei vertici di tale quadrilatero. 160 y O x Vertice (x, y) (0, 0) (...,...) (...,...) (...,...) Rispondi: il massimo utile si ottiene in corrispondenza del programma di produzione che prevede, giornalmente, la produzione di... Þ 2 Un pasto per certi animali deve prevedere almeno 34 grammi di proteine e 20 grammi di grassi. Questi elementi nutritivi provengono da un cibo A, che, per ogni unità, costa 16 centesimi e fornisce 2 grammi di proteine e 4 grammi di grassi, e da un cibo B che, per ogni unità, costa 10 centesimi e fornisce 7 grammi di proteine e 2 grammi di grassi. Per quanto riguarda il cibo B, non è possibile acquistarne meno di 2 unità. Quante unità di cibo A e di cibo B occorre acquistare per poter servire un pasto che segua i criteri elencati e che costi il meno possibile? [3 unità del cibo A e 4 del cibo B] Þ 3 In un ufficio si devono comprare nuovi armadi. La scelta è fra armadi del tipo A e armadi del tipo B. Gli armadi del tipo A costano 45 euro ciascuno, occupano 6 metri quadrati di pavimento e hanno un volume di 30 metri cubi. Gli armadi del tipo B costano 120 euro ciascuno, occupano 8 metri quadrati di pavimento e hanno un volume di 45 metri cubi. Per l acquisto degli armadi si hanno a disposizione al massimo 720 euro; inoltre, non si vogliono occupare più di 72 metri quadrati di pavimento. Quanti armadi di ciascun tipo si devono comprare, per massimizzare il loro volume complessivo, rispettando i limiti di budget e di spazio imposti? [8 armadi del tipo A e 3 del tipo B] Utile U ¼ 20x þ 15y U ¼ 20 0 þ 15 0 ¼ 0 U ¼ 20 ::::: þ 15 ::::: ¼ ::::: U ¼ 20 ::::: þ 15 ::::: ¼ ::::: U ¼ 20 ::::: þ 15 ::::: ¼ ::::: 7/9

8 Þ 4 Una ditta produce due tipi di tessuti A e B. La produzione di 1 metro del tessuto A necessita di 5 unità di materia prima e di un tempo di lavoro di 30 minuti. La produzione di un metro del tessuto B necessita di 10 unità di materia prima e di un tempo di lavorazione di 10 minuti. Per ogni ciclo di produzione la ditta ha a disposizione 70 unità di materia prima e un tempo di lavoro di 3 ore e 20 minuti. Sapendo che ogni metro del tessuto A fornisce un profitto di 20 euro, mentre ogni metro del tessuto B fornisce un profitto di 30 euro, stabilisci quanti metri del tessuto A e quanti metri del tessuto B bisogna produrre in ogni ciclo di lavorazione per ottenere il massimo profitto. [5,2 metri del tessuto A e 4,4 metri del tessuto B] Þ 5 Il signor Rossi deve assumere ogni giorno compresse contenenti vitamina C e zinco nelle seguenti quantità: vitamina C: almeno 400 unità al giorno, ma non più di 800; zinco: almeno 16 unità al giorno, ma non più di 60. In commercio esistono due tipi di compresse: tipo A, che contiene 100 unità di vitamina C e 6 unità di zinco, e che costa 50 centesimi per ogni compressa; tipo B, che contiene 200 unità di vitamina C e 4 unità di zinco e che costa 1 euro per ogni compressa. Il medico del signor Rossi vuole prescrivere la miglior combinazione possibile di compresse, in modo da soddisfare i vincoli indicati e minimizzare la spesa relativa all acquisto delle compresse. Quale combinazione deve prescrivere? [Può prescrivere, indifferentemente, o 2 compresse del tipo A e 1 del tipo B al giorno oppure 4 compresse del tipo A al giorno] Þ 6 Si vuole costruire una dieta costituita di 2 alimenti A e B. L alimento A fornisce, ogni 100 g di prodotto, 400 calorie e 20 g di proteine. L alimento B fornisce, ogni 100 g di prodotto, 200 calorie e 30 g di proteine. L alimento A costa 25 euro al kg e l alimento B costa 10 euro al kg. Si vuole che la dieta fornisca almeno calorie al giorno e non più di 80 g di proteine. Stabilisci come deve essere impostata la dieta per minimizzare i costi. [362,5 grammi del cibo A e 25 grammi del cibo B] Þ 7 Una casa automobilistica deve inviare almeno 200 auto in due magazzini, A e B. Il magazzino A può ricevere al massimo 160 auto e il magazzino B al massimo 110. Il trasporto di un auto al magazzino A costa 60 euro e il trasporto al magazzino B costa 50 euro. Inoltre, per inviare un auto al magazzino A è sufficiente 1 operaio, mentre per inviare un auto al magazzino B sono necessari 2 operai. Complessivamente, l invio dell auto ai due magazzini, non deve richiedere più di 340 operai. Quante auto devono essere mandate a ciascun magazzino per minimizzare i costi? Qual è il costo minimo? [90 al magazzino A e 110 al magazzino B] Þ 8 Una ditta di calzature ha 260 paia di scarpe nel magazzino I e 320 paia di scarpe nel magazzino II. Due rivenditori, situati uno a Milano e l altro a Torino, ordinano uno 250 paia di scarpe e l altro 300 paia di scarpe. Le spese di spedizione per inviare un paio di scarpe ai due negozi, da ciascuno dei due magazzini, sono indicate nella tabella qui sotto. Quante paia di scarpe bisogna spedire da ciascun magazzino, per minimizzare i costi di spedizione? Milano Torino Magazzino I 5 euro 4 euro Magazzino II 6 euro 8 euro [250 paia dal magazzino I al negozio di Milano; 260 scarpe dal magazzino I al negozio di Torino e 40 paia di scarpe dal magazzino II al negozio di Torino] Þ 9 Un artigiano produce ogni giorno anelli e bracciali. La produzione di un anello necessita di 5 grammi di oro e di un tempo di lavorazione di 1 ora e 30 minuti. La produzione di un bracciale necessita di 10 grammi di oro e di un tempo di lavorazione di 30 minuti. Giornalmente l artigiano ha a disposizione 70 grammi di oro e 10 ore di tempo lavoro. Sapendo che per ogni anello guadagna 20 euro, mentre per ogni bracciale 30 euro, stabilisci il miglior programma di produzione giornaliera. [Siano x e y, rispettivamente, il numero di anelli e di bracciali che l artigiano produce in una giornata. Trattando inizialmente il problema come se x e y potessero assumere valori reali si trova che il programma ottimo corrisponde alla scelta seguente: x ¼ ¼ 5,2, y ¼ ¼ 4,4; il programma ottimo corrispondente al caso in cui 5 5 x e y sono interi si ha, invece, per x ¼ 4, y ¼ 5. Nota che in questo caso arrotondando a meno dell unità il programma ottimo trovato nel caso non intero, non si ottiene il programma ottimo del caso intero!] 8/9

9 Þ 10 Si vuole programmare la coltivazione di due specie ortofrutticole. La coltivazione di un ettaro di terreno della specie A per un anno comporta costi pari a 300 euro; la coltivazione di un ettaro di terreno della specie B per un anno comporta costi pari a 600 euro. Si vuole che i costi complessivi in un anno non siano superiori a euro. La superficie coltivata non può essere superiore a 100 ettari; inoltre si vogliono coltivare almeno 20 ettari di terreno con la specie A. Determina la produzione che permette di ottenere il massimo guadagno in ciascuno dei seguenti due casi: a. la specie A fornisce un guadagno di 100 euro per ettaro, la specie B di 300 euro per ettaro; b. la specie A fornisce un guadagno di 100 euro per ettaro, la specie B di 150 euro per ettaro. Supponi che un ettaro di terreno possa essere coltivato anche solo in parte e non necessariamente con una sola specie. [a. Il programma ottimo corrisponde a coltivare 20 ettari con la specie A e circa 56,6 ettari con la specie B; b. Il programma ottimo corrisponde a coltivare circa 66,7 ettari con la specie A e circa 33,3 ettari con la specie B] Þ 11 Discuti il problema precedente nel caso in cui ogni ettaro di terreno debba essere coltivato completamente con una sola specie. [Siano x gli ettari coltivati con la specie A e y quelli coltivati con la specie B. Il fatto che un ettaro di terreno possa essere coltivato completamente e con una sola specie impone a x e y di assumere valori interi. Nel caso a. il programma ottimo corrisponde a coltivare 21 ettari con la specie A e 56 con la specie B (in questo caso, approssimando per eccesso a meno dell unità il programma ottimo ottenuto nel caso non intero, si ottiene il programma x ¼ 20, y ¼ 57, che è da scartare perché non è un programma possibile in base ai vincoli, mentre, approssimando per difetto, si ottiene il programma x ¼ 20, y ¼ 56 che realizza un utile di euro contro un utile di euro fornito dal programma x ¼ 21, y ¼ 56). Nel caso b. il programma ottimo corrisponde a coltivare 67 ettari con la specie A e 33 con la specie B (in questo caso, arrotondando il programma ottimo nel caso non intero a meno dell unità si ottiene il programma ottimo del caso intero)] Þ 12 Un coltivatore usa una combinazione di due tipi di fertilizzanti, ciascuno contenente differenti percentuali di fosfati e nitrati come indicato nella tabella qui sotto. Fosfati per confezione Fertilizzante A 1800 g 900 g Fertilizzante B 2500 g 2000 g Nitrati per confezione Il coltivatore vuole concimare un terreno con almeno 12 kg di fosfati e 8 kg di nitrati. Una confezione di fertilizzante A costa 6 euro, una confezione di fertilizzante B costa 12 euro. Determina quante confezioni di fertilizzante A e quante confezioni di fertilizzante B bisogna utilizzare per minimizzare il costo. [Siano x e y, rispettivamente, il numero di confezioni utilizzate di fertilizzante A e B. Sex e y potessero assumere valori frazionari il minimo si avrebbe per x ¼ e y ¼ 8. Il problema con x e y interi dà luogo 3 a una spesa minima, uguale a 54 euro, in ciascuno dei seguenti casi: x ¼ 3, y ¼ 3; x ¼ 5, y ¼ 2; x ¼ 7, y ¼ 1; x ¼ 9, y ¼ 0] 9/9