Problemi di Flusso: Il modello del Trasporto

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1 Problemi di Flusso: Il modello del rasporto Andrea Scozzari a.a April 27, 2015 Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

2 Problemi su Reti I modelli su grafi o reti sono dei particolari modelli di PL che possiedono caratteristiche più vantaggiose rispetto ai modelli di PL generali: 1. consentono di fornire un interpretazione grafica al problema considerato 2. possono essere risolti con algoritmi specifici più efficienti di quelli disponibili per la PL 3. sotto opportune ipotesi garantiscono l interezza delle soluzioni ottime Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

3 Problemi su Reti Nei modelli su rete si associano a tutti gli agli archi (i, j) della rete delle variabili decisionali x ij che possono essere interpretate fisicamente come la quantità di flusso che si intende inviare dal vertice i al vertice j (caso x ij R), oppure se debba esserci un legame fra il vertice i e il vertice j (caso x ij =0 o 1) (flusso booleano). Nei problemi economici o finanziari i nodi o vertici di una rete possono rappresentare periodi temporali o siti, mentre le variabili x ij possono essere interpretate come rappresentanti un flusso (monetario, di materiali, ecc.) fra un nodo ed un altro. Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

4 Problemi su Reti Oltre alle variabili decisionali x ij, agli archi (i, j) vengono spesso associate: 1. limitazioni o capacità massime u ij e/o minime l ij per i flussi che li possono percorrere 2. costi (o profitti) unitari c ij di percorrenza per i flussi x ij. Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

5 Problemi su Reti Si può inoltre supporre che nei nodi vi siano forniture o cessioni di flusso indicate da un valore b i < 0 (fornitura o aumento di flusso) o b i > 0 (cessione o diminuzione di flusso). (Si noti che i segni sono puramente convenzionali ed in alcuni testi viene adottata la convenzione inversa). Se b i = 0 il nodo i è detto nodo di trasferimento. Definizione Un vertice i tale che b i < 0 viene anche detto nodo sorgente, mentre un vertice i tale che b i > 0 viene anche detto nodo pozzo. Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

6 Problemi su Reti Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

7 Problemi su Reti Definizione Un cammino è una successione (ordinata) di vertici e archi o spigoli Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

8 Il problema del trasporto costituisce uno dei più interessanti problemi di programmazione lineare, esso è definito nel seguente modo: Sia dato un insieme n di depositi, dove il generico deposito i = 1, 2,..., n possiede una generica quantità a i di bene che deve essere trasportata ad m mercati. La richiesta del bene in ciascuno dei mercati j = 1, 2,..., m si indica con b j e sia inoltre c ij il costo unitario di trasporto tra il deposito i ed il mercato j. Problema: L obiettivo del problema è determinare per ciascun deposito i = 1, 2,..., n la quantità di bene da trasportare ai vari mercati in modo tale che: (i) sia soddisfatta la richiesta di ciascun mercato j = 1, 2,..., m; (ii) siano rispettati i vincoli sulla disponibilità di ciascun deposito i = 1, 2,..., n, e con l obiettivo di minimizzare il costo totale del trasporto da tutti i depositi a tutti i mercati. Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

9 Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

10 Sia: x ij : = la quantità (incognita) che deve essere trasportata dal deposito i al mercato j, i = 1, 2,..., n e j = 1, 2,..., m La funzione obiettivo che rappresenta il costo totale del trasporto (da minimizzare!): n c ij x ij Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

11 VINCOLI 1. la quantità che esce da un singolo deposito i e che viene spedita a tutti i mercati j deve essere non superiore alla disponibilità a i del bene giacente nel deposito i, i = 1, 2,..., n: x ij a i i = 1, 2,..., n 2. il totale delle spedizioni che arrivano al singolo mercato j deve soddisfare la richiesta del mercato j, j = 1, 2,..., m: n x ij b j j = 1, 2,..., m 3. Non si possono trasportare quantità negative di beni x ij 0 i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., m Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

12 In forma matriciale min c x Ax b x 0 Dove: A R (m+n) mn, x R nm b R (m+n) c R nm Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

13 eorema Condizione necessaria e sufficiente affinché il problema abbia almeno una soluzione ammissibile è: n a i ovvero che la disponibilità (offerta) totale sia maggiore od uguale alla richiesta (domanda) totale. Se in un problema di trasporto la condizione del teorema non è soddisfatta con uguaglianza, il problema si dice non bilanciato. b j Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

14 Bilanciato Definizione un problema di trasporto si dice bilanciato se: n a i = È sempre possibile bilanciare un problema del trasporto. Se vi è un eccesso di offerta, ossia n a i > m b j allora si aggiunge un mercato fittizio (o un deposito fittizio) m + 1 b j Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

15 Bilanciato Se vi è un eccesso di domanda, ossia n a i < m b j allora si aggiunge un deposito fittizio n + 1 Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

16 In un problema di trasporto bilanciato vale: eorema Condizione necessaria e sufficiente affinché il problema abbia almeno una soluzione ammissibile è: n a i = b j NOA In un problema bilanciato i vincoli di offerta e di domanda si formulano con l uguaglianza. Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

17 Dimostrazione Necessità(Ipotesi: modello ammette soluzione ammissibile). Dato il modello del trasporto, dove i vincoli di offerta e domanda sono espressi con l uguaglianza, si sommino tali vincoli ed otteniamo n x ij = n x ij = Sottraendo membro a membro otteniamo n a i b j n a i b j = 0 Per cui vale la condizione Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

18 Dimostrazione Sufficienza(Ipotesi: La condizione è vera). Mostriamo che la soluzione x ij = a i b j Sicuramente vale x ij 0, i, j. Per i vincoli si ha x ij = a i b j = a i, con = n a i = m b j è soluzione ammissibile. b j = a i = a i Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

19 Dimostrazione Sufficienza(Ipotesi: La condizione è vera). Mostriamo che la soluzione x ij = a i b j Sicuramente vale x ij 0, i, j. Per i vincoli si ha x ij = a i b j = a i, con = n a i = m b j è soluzione ammissibile. b j = a i = a i i = 1,..., n Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

20 Dimostrazione Sufficienza(Ipotesi: La condizione è vera). Mostriamo che la soluzione x ij = a i b j Sicuramente vale x ij 0, i, j. Per i vincoli si ha x ij = a i b j = a i, con = n a i = m b j è soluzione ammissibile. b j = a i = a i i = 1,..., n n x ij = n a i b j = b j n a i = b j = b j Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

21 Dimostrazione Sufficienza(Ipotesi: La condizione è vera). Mostriamo che la soluzione x ij = a i b j Sicuramente vale x ij 0, i, j. Per i vincoli si ha x ij = a i b j = a i, con = n a i = m b j è soluzione ammissibile. b j = a i = a i i = 1,..., n n x ij = n a i b j = b j n a i = b j = b j j = 1,..., m Per cui esiste almeno una soluzione ammissibile Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

22 In un problema di trasporto le variabili x ij dovrebbero più opportunemente essere modellate introducendo eventualmente limitazioni inferiori o superiori al trasporto di una quantità di merce sull arco (i, j), ma soprattutto, indicando quantità fisiche di merci le variabili x ij dovrebbero assumere solo valori interi ovvero: l ij x ij u ij intere i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

23 Per un problema di Programmazione Lineare con vincoli di interezza sulle variabili, l algoritmo del simplesso fallisce! Quando è possibile in questi casi utilizzare comunque l algoritmo del simplesso? Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

24 Per un problema di Programmazione Lineare con vincoli di interezza sulle variabili, l algoritmo del simplesso fallisce! Quando è possibile in questi casi utilizzare comunque l algoritmo del simplesso? Definizione Una matrice A con elementi interi di dimensione m n con m n si dice Unimodulare se per ogni sua sottomatrice m m B, vale: det(b) { 1, 0, 1} Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

25 eorema Sia data una matrice A Unimodulare ed un vettore b di numeri interi. Allora il poliedro P = {x R n Ax = b, x 0} ha solo vertici interi. Definizione Una matrice intera A di dimensione m n si dice otalmente Unimodulare se per ogni sua sottomatrice quadrata B (di qualunque ordine), vale: det(b) { 1, 0, 1} Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

26 eorema Assumiamo un problema di minimo in forma generale, sia data una matrice A otalmente Unimodulare ed un vettore b intero. Allora il poliedro P = {x R n Ax b, x 0} ha solo vertici interi. eorema La matrice A del sistema dei vincoli di un problema di rasporto è otalmente Unimodulare. Dal teorema, se il vettore dei termini noti del sistema (offerte e domande) sono interi, allora il poliedro che rappresenta l insieme delle soluzioni ammissibili del problema del trasporto ha vertici interi. Pertanto, per il problema del trasporto, è ancora possibile applicare l algoritmo del simplesso! Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

27 La Dualità: Modello del rasporto Consideriamo il generico problema del trasporto bilanciato min n c ij x ij x ij = a i n x ij = b j x ij 0 i = 1, 2,..., n j = 1, 2,..., m i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., m Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

28 La Dualità: Modello del rasporto Supponiamo che una compagnia di trasporti si proponga di effettuare al posto dell azienda stessa il trasporto delle merci. Pertanto, l azienda dovrà valutare la convenienza di affidare o esternalizzare il servizio del trasporto. Siano u i e v j, rispettivamente, il costo unitario per prelevare una unità di bene al deposito i e il costo unitario per trasportare tale bene alla destinazione (mercato) j a seconda della richiesta del mercato j. Affinchè l azienda trovi conveniente la soluzione di affidare alla compagnia il trasporto delle merci deve risultare per l azienza: u i + v j c ij i = 1,..., n j = 1,..., m Contestualmente la compagnia di trasporto vuole definire un insieme di prezzi u i e v j in modo tale da massimizzare il suo profitto, ossia: max n a i u i + b j v j Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25

29 La Dualità: Modello del rasporto Dal punto di vista della compagnia di trasporti il problema diventa: max n a i u i + m b j v j u i + v j c ij i = 1,..., n j = 1,..., m Che è proprio la formulazione duale del problema del trasporto. NOA le variabili del problema sono libere. Dato che stiamo massimizzando non sarebbe, comunque, conveniente assegnare ad una variabile un valore (prezzo) negativo. Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, / 25