Problemi di Flusso e Applicazioni

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1 Problemi di Flusso e Applicazioni Andrea Scozzari a.a May 20, 2014 Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso e Applicazioni May 20, / 5

2 Flussi Multiprodotto I problemi presi in considerazione fino ad ora avevano la caratteristica di considerare un singolo prodotto (commodity) che doveva essere trasportato da un singolo o un insieme di nodi sorgenti (depositi) ad un insieme di nodi pozzo (mercati). In molte situazioni reali, all interno di una rete sono presenti più prodotti contemporaneamente. Poichè i flussi relativi ai vari prodotti non sono indipendenti tra loro, non è possibile risolvere separatamente ciascun problema single-commodity, ma si necessita di un modello che tenga in consideratione tutti i prodotti simultaneamente. Si parla di problema di flusso di costo minimo multi-commodity Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso May 2, / 7

3 Flussi Multiprodotto Sia k, con k = 1, 2,..., K, il generico bene che transita per la rete G = (V, A). Le quantità associate a ciascun nodo i e a ciascun arco (i, j) sono: x k ij quantità di flusso di bene k che passa sull arco (i, j) c k ij costo unitario del flusso x k ij che passa sull arco (i, j) b k i domanda o offerta al nodo i del bene k U ij capacità massima complessiva sull arco (i, j) uij k, l ij k capacità massima e minima sull arco (i, j) per ogni bene k misura dell ingombro sull arco (i, j) per il bene k p k Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso May 2, / 7

4 Flussi Multiprodotto Ipotesi: 1. Assenza di congestione sugli archi: Il costo su ogni arco è lineare per ogni unità di flusso per ciascun bene. Nelle applicazioni reali questo può non essere vero perchè i beni possono interagire in modo tale che all aumentare del flusso di un bene su un arco il costo di quel bene aumenta con un andamento non lineare man mano che ci si avvicina alla saturazione dell arco. 2. Indivisibilità dei beni: Nel trasporto di un insieme di beni è in generale necessario introdurre un vincolo di interezza sulle singole merci o beni (flussi) trasportati. Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso May 2, / 7

5 Flussi Multiprodotto Modello: min K k=1 (i,j) A j P(i) j S(i) c k ij x k ij xji k xij k = bi k i V, k = 1,..., K K p k xij k U ij k=1 (i, j) A l k ij x ij u k ij (i, j) A, k = 1,..., K La matrice dei coefficienti NON è Totalmente Unimodulare Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso May 2, / 7

6 Modello del Trasporto intero: Esempio Si consideri un problema di trasporto con n origini possibili ed m destinazioni assegnate. Il problema consiste nel trasportare la merce alle destinazioni stabilendo però quali tra le n origini rendere operanti. Quando si decide di localizzare una origine c è un costo di avviamento del deposito. Il problema consiste nel trovare un compromesso che minimizzi il costo totale del trasporto e dell avviamento delle origini. z PLI = max n i=1 m c ij x ij + n j=1 i=1 F i y i m j=1 x ij a i y i i = 1,..., n (1) n i=1 x ij b j j = 1,..., m x 0, y i {0, 1} i = 1,..., n Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso May 2, / 7

7 Modello del Trasporto intero: Esempio y i è una variabile binaria che stabilisce se il deposito i sarà avviato o meno. a i > 1 rappresenta la capacità di ciascuna possibile origine. Si noti che il rilassamento continuo del problema si ottiene ponendo 0 y i 1 i = 1,..., n La matrice A dei coefficienti del problema NON è totalmente unimodulare, pertanto i vertici del poliedro P non sono tutti necessariamente a componenti intere. Andrea Scozzari (a.a ) Problemi di Flusso May 2, / 7

8 Esercizio di Formulazione Una agenzia vuole lanciare un nuovo prodotto sul mercato rivolto principalmente ad un pubblico femminile. Da alcune indagini risulta: 1. L audience (media) per uno spot televisivo nell ora di punta è di persone e nel resto della giornata di persone 2. L audience (media) per uno spot radiofonico è di persone (non c è distinzione tra ore di punta e ore normali) 3. L audience (media) per uno spot su una pagina di giornale è di persone Si stima che il pubblico femminile sia, per ciascun canale di comunicazione, pari a e per la TV, per la radio e per il giornale. Andrea Scozzari (a.a ) Esercitazione May 30, / 8

9 Esercizio di Formulazione I costi per la pubblicità sono: euro per ogni spot televisivo nell ora di punta e euro per ogni spot televisivo nel resto della giornata euro per il primo spot radiofonico e euro per i successivi euro per ogni spot pubblicato in una pagina di giornale Andrea Scozzari (a.a ) Esercitazione May 30, / 8

10 Esercizio di Formulazione Devono essere rispettati i seguenti vincoli 1. si possono acquistare al massimo 2 spot televisivi 2. si possono acquistare al massimo 6 spot radiofonici 3. si possono acquistare non meno di 5 pagine e non più di 15 pagine di giornale Il budget a disposizione è di euro Si vuole raggiungere un pubblico femminile di almeno 2 milioni di persone Problema: Determinare quanti spot acquistare su i vari media in modo da massimizzare l impatto della campagna pubblicitaria Andrea Scozzari (a.a ) Esercitazione May 30, / 8

11 Esercizio di Formulazione Variabili 1. x 1 0 numero di spot televisivi acquistati nelle ore di punta 2. x 2 0 numero di spot televisivi acquistati nelle ore normali 3. x 3 0 numero di spot radiofonici acquistati 4. x 4 0 numero di pagine di giornale acquistate 5. y {0, 1} e tale che y = 0 se non viene acquistato nessuno spot radiofonico, y = 1 altrimenti Andrea Scozzari (a.a ) Esercitazione May 30, / 8

12 Esercizio di Formulazione Funzione obiettivo max x x x x 4 Vincoli vincolo sul pubblico femminile: x x x x vincolo di budget 75000x x x y x Andrea Scozzari (a.a ) Esercitazione May 30, / 8

13 Esercizio di Formulazione Vincoli Numero massimo di spot televisivi nelle ore di punta x 1 2 Numero massimo di spot televisivi nelle ore normali Numero massimo di spot radiofonici x 2 2 x 3 6y Numero minimo e massimo di pagine acquistabili sul giornale 5 x 4 15 x i Z +, i = 1, 2, 3, 4 y {0, 1} Andrea Scozzari (a.a ) Esercitazione May 30, / 8