Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili

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1 Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili Modelli per la Logistica Distributiva: Single Commodity Minimum Cost Flow Problem Multi Commodity Minimum Cost Flow Problem Fixed Charge Network Design Problem

2 Problemi di Trasporto Trasporto: elemento di costo più importante per molte aziende. Il trasporto merci assorbe da 1/3 ai 2/3 dei costi logistici totali.

3 Problemi di Trasporto Un efficiente e poco costoso sistema di trasporto contribuisce ad una: maggiore competizione di mercato (attivazione dei mercati secondari, effetto di stabilizzazione dei prezzi, ecc.), maggiori economia di scala nella produzione (disaccoppiamento dei mercati dai siti di produzione), prezzi ridotti per i beni (non solo per la maggiore competizione, ma anche perché il trasporto è una componente di costo che determina il prezzo).

4 Problemi di Trasporto: Attori Shippers: da cui parte la domanda di flusso di merci Carriers: su cui transita il flusso di merci (vettori di trasporto: treni aerei, ecc)domanda di merci Istituzioni: che determinano l infrastruttura su cui viaggia il flusso

5 Problemi di Trasporto Classificazione a seconda del numero e del tipo dei vettori (o modi di trasporto di base) impiegati: Autocarro, Treno, Nave, Aereo, Condotta (pipeline) Classificazione a seconda della distanza: Trasporto a lunga distanza problemi di trasporto a breve distanza Classificazione in base alla componente temporale: Problemi statici Problemi dinamici

6 Statici vs dinamici Problemi statici: adatti quando le decisioni da prendere non cambiano in base al tempo Problemi dinamici: la componente temporale è presa esplicitamente in considerazione.

7 Statici vs dinamici

8 Problemi di Trasporto I problemi di trasporto sono associati ad altri problemi decisionali quali: localizzazione dei centri logistici allocazione della domanda gestione delle scorte Una molteplicità di problemi decisionali: composizione delle flotte turni dei veicoli e del personale determinazione delle rotte assegnazione dei carichi e loro composizione posizionamento dei veicoli vuoti 8

9 Problemi di Trasporto a lunga distanza I problemi di trasporto a lunga distanza (long-haul, 9 intercity freight transportation) Spostamenti che variano da alcune centinaia a diverse migliaia di chilometri Trasporti tra facilities diverse della catena logistica Viaggi diretti (one-to-many) da pochi a molti realizzati in proprio dalle ditte produttrici Viaggi indiretti (many-to-many) da molti a molti spedizionieri con molteplicità di clienti servizio in linea (orario prestabilito) o su richiesta (allocazione dinamica dei mezzi) In questo contesto si utilizzano modelli decisionali per la progettazione della rete di collegamento (Network Design, ND) Modelli (lineari) di flusso: Min Cost Flow Prob.,, Fixed Charge Network Design Problem

10 Problemi di Trasporto a breve distanza I problemi di trasporto a breve distanza (short-haul, local freight transportation) Spostamenti hanno origine nell ambito della stessa città o regione Può riguardare il prelievo di merci destinate ad essere consolidate in un terminale e trasportate a lunga distanza Arco temporale giornaliero Problematiche caratteristiche distribuzione (delivery) raccolta (pick-up) distribuzione e raccolta combinata (pick-up and Delivery) domanda variabile (giornaliera) allocazione dinamica dei veicoli 10

11 Problemi di Trasporto a lunga Distanza

12 Trasporto a lunga Distanza Si vogliono definire in maniera ottimale i collegamenti tra i nodi logistici. - Single Commodity Minimum Cost Flow Problem - Multi Commodity Minimum Cost Flow Problem - Fixed-Charge Network Design Problem

13 Single Commodity MCF Problem Consideriamo un grafo orientato G=(V,E) rappresentante una rete di trasporto. L obiettivo è quello di far viaggiare ( fluire ), al minimo costo, determinate quantità di merce (unità di flusso) dai nodi di offerta a quelli di domanda (eventualmente passando per dei nodi di passaggio) Abbiamo: Una quantità b i >0 per i nodi offerta, <0 per i nodi domanda, =0 per i nodi di passaggio (quantità di offerta/domanda) Un costo c ij 0 per ogni arco (costo per il trasporto di una unità di merce)

14 Single Commodity MCF Problem Flusso 5-4=1 Soluzione 1 Costo: (6*5)+(4*1)+(3*2)=40 5 Flusso Soluzione 2 Costo: (1*5)+(2*5)+(1*4)+(3*3)=28 Flusso 5 Flusso 5 5 Flusso Flusso Flusso 1+2=3

15 Single Commodity MCF Problem Modelliamo il problema Consideriamo una variabile x ij 0 per ogni arco (i,j), rappresentante la quantità di flusso che attraverserà l arco nella soluzione

16 Single Commodity MCF Problem Rappresentiamo il grafo mediante una matrice di incidenza nodo-arco A; per ogni nodo v ed arco e, la corrispondente entrata A ve varrà: 1 se e esce da v (v è la coda di e) -1 se e entra in v (v è la testa di e) 0 altrimenti A (1,2) (1,3) (2,5) (3,2) (3,4) (4,1) (4,2) (4,5)

17 Parametri : insieme dei nodi origine : insieme dei nodi destinazione : insieme dei nodi di passaggio, : offerta di prodotto del vertice i, : domanda di prodotto del vertice i, (, ) : capacità dell arco (i,j) [ovvero massimo flusso totale ammissibile sull arco] ( ), (, ) : costo di trasporto del flusso sull arco (i,j) Variabili, (, ) : flusso di prodotto sull arco (i,j)

18 Single Commodity MCF Problem ( ), :, :,, O =, 0,, 0, Se la funzione dei costi è lineare: ( ),,

19 Multi Commodity MCF Problem

20 Parametri Variabili

21 Multi Commodity MCF Problem ( ) :,, = :,, O(), () 0, (),,,, Se la funzione dei costi è lineare: 0,, ( ),,

22 Fixed-Charge Network Design Problem (FCND) Generalizzazione dei modelli per l ottimizzazione di Flussi su Rete (Problemi di Flusso a Costo Minimo) dove si deve definire: - quali archi devono essere utilizzati - come trasportare i prodotti sugli archi selezionati Problema: Ricerca di un sottoinsieme di archi tale da garantire il soddisfacimento a costo minimo delle domande e delle offerte nel rispetto dei vincoli di capacità e di altre restrizioni.

23 Parametri Variabili

24 Formulazione Generale, k,,, 0,, k 0,1,

25 Possibili vincoli aggiuntivi Vincoli di Budget: Si ha a disposizione un massimo capitale H per definire i collegamenti ed h è il costo per il collegamento tra i e j:, h

26 Linear FCND - Se i costi sono lineari: +,,, +, Casi applicativi: Il collegamento tra una coppia di nodi è realizzato attraverso un mezzo di trasporto proprio (o preso in affitto) - esiste costo fisso indipendente dalla quantità trasportata - il costo di trasporto è nullo per il prodotto k-simo - si hanno vincoli di capacità determinati dai parametri e Il collegamento tra una coppia di nodi è realizzato in outsourcing: - costo fisso = 0 indipendente dalla quantità trasportata - il costo di trasporto 0 ( si paga per il servizio che dipende dalla quantità della merce) - NON si hanno vincoli di capacità: = + e = +

27 Relazioni con altri modelli - Se tutte le variabili = 1:,,,, Flusso a costo minimo multi-prodotto

28 Linear FCND: se rilassiamo qualche vincolo. Rilassiamo il vincolo di interezza sulle variabili di design,,, k,,, 0,, k 0 1, Una qualunque soluzione ottima è tale che i vincoli di capacità sono soddisfatti all uguaglianza (perche?)

29 Linear FCND: se rilassiamo qualche vincolo. Quindi possiamo trasformare il problema nel seguente modo: Quindi: =, =, 0 1, 0, Ed il problema diventa:

30 Linear FCND: se rilassiamo qualche vincolo.,,,, 0,, k Flusso a costo minimo multi-prodotto, la cui soluzione ottima fornisce un lower bound alla soluzione ottima del problema originario.

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