Problemi di localizzazione di servizi (Facility Location Problems)

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2 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 1 Problemi di localizzazione di servizi (Facility Location Problems) Dato un insieme di clienti richiedenti una data domanda di merce e dato un insieme di possibili siti per la costruzione di servizi (depositi), determinare l insieme di siti che soddisfi le domande con costo minimo. Classe di problemi molto generale, che raggruppa diversi possibili sottoproblemi. Problema strategico, che, a differenza del routing, non deve essere risolto quotidianamente ma solo in determinate occasioni. Si accettano quindi tempi di esecuzione più elevati. Normalmente si considerano due tipologie di costi: -) Costi di costruzione del deposito; -) Costi di servizio dai clienti al deposito. Nei problemi reali è necessario tenere in considerazione tutta una serie di vincoli aggiuntivi: -) Problematiche territoriali; -) Esigenze aziendali (ad esempio disponibilità di manodopera); -)...

3 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 2 Esempi di possibili applicazioni: -) Costruzione di depositi intermedi nei processi di trasporto: Magazzini intermedi per grande distribuzione; Prodotti petroliferi;... -) Costruzione di depositi rivolti a una clientela (nota che in questo caso i costi di servizio cliente-deposito non sono, solitamente, costi interni all azienda): Supermercati; Banche; Stazioni di servizio;... -) Hub per flotte aeree nazionali/internazionali; -) Punti di snodo in reti di telecomunicazioni; -) Discariche o inceneritori;... I problemi di localizzazione possono comparire in due fasi: -) Quando un azienda si posiziona in una nuova area geografica. -) Quando un azienda vuole valutare il rendimento di una struttura esistente o ipotizzata: Ad esempio, per sapere l evetuale risparmio sui costi dato da un deposito esistente, si considera la differenza tra le soluzioni ottime del problema, con e senza il deposito; lo stesso avviene per la costruzione di un nuovo deposito.

4 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 3 Esistono varie tipologie di problemi, derivanti da diverse assunzioni sui costi e sugli assegnamenti dei clienti ai depositi: Uncapacitated Facility Location Problem: I depositi hanno una capacità produttiva supposta infinita; (Anche un solo deposito può soddisfare le richieste di tutti i clienti) Presenti costi di costruzione e di servizio. Capacitated Facility Location Problem: Ogni deposito j ha una capacità produttiva massima Q j ; La domanda di un singolo cliente deve essere soddisfatta interamente da un singolo deposito. Capacitated Facility Location Problem con integrazione tra depositi: Ogni deposito j ha una capacità produttiva massima Q j ; La domanda di un singolo cliente può essere soddisfatta da più depositi. P-Median Problem: Tutti i depositi hanno stesso costo di costruzione; Devo scegliere esattamente P siti. Nel seguito affronteremo il Capacitated Facility Location Problem senza integrazione tra depositi.

5 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 4 Notazione Definizioni: N = {1,..., n} = insieme dei clienti, M = {1,..., m} = insieme dei possibili siti di costruzione di un deposito, V = N M = insieme dei vertici del grafo, q i = domanda associata al cliente i, i N, Q j = capacità associata al deposito j, j M, d j = costo attivazione del deposito j, j M, c ij = costo di servizio dal cliente i al deposito j, i N, j M. Assunzioni: Domande positive: q i > 0, i N, Capacità positive: Q j > 0, j M, Le domande possono essere soddisfatte almeno da un deposito: j M : Q j q i, i N, La domanda totale può essere soddisfatta: i N q i j M Q j, Tutti i costi sono positivi: d j 0, j M, c ij 0, i N, j M.

6 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 5 Formulazione a due indici Per ogni sito di possibile costruzione di un deposito, si definisce la variabile decsionale: { 1 se il deposito j è costruito, y j = 0 altrimenti j M. Per ogni lato {i, j}, si definisce la variabile decisionale: { 1 se il cliente i è servito dal deposito j, x ij = 0 altrimenti j M, i N. La formulazione a due indici risulta essere la seguente: z(ti) = Min d j y j + c ij x ij (1) j M j M i N s.t. x ij = 1, i N (2) j M q i x ij Q j y j, j M (3) i N y j {0, 1}, j M (4) x ij {0, 1}, i N, j M (5)

7 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 6 La funzione obiettivo (1) tiene conto sia dei costi di attivazione dei depositi che dei costi di servizio cliente-deposito. I vincoli (2) impongono che ogni cliente sia assegnato esattamente ad un deposito. I vincoli (3) impongono che la somma delle domande associate ad un deposito non ecceda la data capacità. La formulazione deriva strettamente da quella sviluppata per il Bin Packing Problem (BPP). Si può notare infatti che il Facility Location può essere trasformato in un BPP semplicemente imponendo: d j = 1, j M, c ij = 0, i N, j M. La formulazione (TI) può essere resa più forte inserendo i seguenti vincoli: x ij y j, i N, j M. (6)

8 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 7 Supponiamo ad esempio che per un dato deposito j si abbia Q j = 2 e y j = 1, e che per una coppia di clienti i 1, i 2 si abbia q i1 = q i2 = 1. I vincoli (2) e (6) risultano: xi2,j* xi1,j*<=1 xi2,j*<=1 xi1,j*+xi2,j*<=2 xi1,j* I vincoli (2) sono sufficienti ad esprimere la soluzione ottimale nella programmazione lineare intera. I vincoli (6) aiutano però nella programmazione lineare (avvicinando il politopo alla sua chiusura convessa). Nel caso y j = 1/2, si ha: xi2,j* xi1,j*<=1/2 xi2,j*<=1/2 xi1,j*+xi2,j*<=1 xi1,j* Il miglioramento del rilassamento lineare è controbilanciato dal numero elevato (ma pur sempre polinomiale) di vincoli da inserire (nm).

9 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 8 Formulazione Set Partitioning Definizioni: P j = insieme dei cluster possibili associati al deposito j (insieme di clienti la cui capacità non eccede Q j ), j M, R = P 1 P 2 P m = insieme di tutti i possibili cluster. Sia [a lj ] una matrice tale che: l R, i N. a li = { 1 se il cluster l contiene i; 0 altrimenti Sia c l il costo di un cluster calcolato come: c l = d j + i N a ij c ij l R (supponendo che j sia il deposito associato al cluster l). Definiamo la variabile decisionale y l come: l R. y l = { 1 se il cluster l è scelto; 0 altrimenti

10 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 9 La formulazione di Set Partitioning risulta essere la seguente: z(sp) = Min l R c l y l (7) s.t. a li y l = 1, i N (8) l R y l 1, j M (9) l P j y l {0, 1}, l R (10) La formulazione di Set Covering risulta coincidente con la precedente, ad eccezione dei vincoli (8), sostituiti da: a li y l 1, i N (11) l R La due formulazioni sono equivalenti nel caso in cui: c ij > 0, i N, j M.

11 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 10 Algoritmo euristico basato sull Assegnamento Generalizzato 0. Inizializzazione: z = 1. for t = 1 to t max do: 1.1 Seleziona, secondo un dato criterio, un sottinsieme J M di siti e costruisci i rispettivi depositi 1.2 Assegna i clienti ai depositi risolvendo il seguente problema di assegnamento generalizzato (GAP): Assegna i clienti in N ai depositi in J risolvendo il GAP ottenuto dalla formulazione TI: sostituendo l insieme M con J, rimovendo i vincoli (6) (se inseriti), ponendo y j = 1 j J, ponendo y j = 0 j / J. La formulazione del GAP risulta essere: z(ti) = Min c ij x ij (+ d j ) j J i N j J s.t. x ij = 1, i N j J q i x ij Q j, j J i N x ij {0, 1}, 1.3 Applica metodi di ricerca locale 1.4 Sia z(t) la soluzione ottenuta Se z(t) < z allora z := z(t) 1.5 Se z = LB resituisci z 2. Resituisci z i N, j M

12 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 11 Il GAP può essere risolto in modo euristico o in modo esatto. I criteri per scegliere l insieme dei nodi iniziale J si possono basare su varie intuizioni: -) Random; -) Ordina i siti di costruzione j M per costi d j crescenti; Seleziona i primi J siti. -) Per ogni sito j: Ordina i clienti i per valori crescenti di c ij ; Sia M l insieme massimale dei primi clienti per cui i M q i Q j ; Sia C j = i M c ij ; Ordina i siti di costruzione j M per d j + C j crescenti; Seleziona i primi J siti. -) Ordina i siti di costruzione j M per αd j + β C j crescenti; Seleziona i primi J siti. Dato un insieme di partenza J, si può creare facilmente una mossa che porti ad un nuovo insieme J (ad esempio scambiando un j J con un h / J). Si può quindi pensare ad una tabu list e creare un algoritmo Tabu Search.

13 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 12 Rilassamenti Facility Location Problem con integrazione tra depositi: se nella formulazione a due indici si rilassano in modo lineare i vincoli di interezza (5) sulle variabili x si ottiene: z(lb1) = Min j M d j y j + j M c ij x ij i N s.t. j M x ij = 1, i N q i x ij Q j y j, i N y j {0, 1}, j M j M 0 x ij 1, i N, j M LB1 rappresenta il Facility Location Problem con integrazione tra depositi. La domanda dei clienti può essere suddivisa tra più depositi. La risoluzione di LB1 è difficile per la presenza delle variabili intere y.

14 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 13 Uncapacitated Facility Location Problem: se nella formulazione a due indici si suppone di avere Q j = (o semplicemente Q j q i ), i N j M, i vincoli di tipo (3) possono essere eliminati. In questo caso si ottiene: z(lb2) = Min j M d j y j + j M c ij x ij i N s.t. j M x ij = 1, i N x ij y j, y j {0, 1}, x ij {0, 1}, i N, j M j M i N, j M Nota che i vincoli x ij y j sono indispensabili in conseguenza dell eliminazione dei vincoli (3). Nota inoltre che, date le variabili y j, le variabili x ij sono facilmente determinabili: ogni cliente è assegnato al deposito più vicino tra quelli costruiti: { 1 se yj = 1 e c x ij = ij c ih, h M : y h = 1; 0 altrimenti La risoluzione di LB2 è difficile per la presenza delle variabili intere y.

15 9. Problemi di Localizzazione di Servizi 14 Branch and Bound Sia i rilassamenti che gli euristici possono essere inseriti ai vari nodi di un albero decisionale di tipo branch and bound: y1=0 y1=1 Fase 1 y2=0 y2=1 x11=0 x11=1 Fase 2 Nella prima fase sono fissati i siti di costruzione e nella seconda sono fissati gli assegnamenti cliente-deposito.