5.5 Metodi generali per la soluzione di problemi

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1 5.5 Metodi generali per la soluzione di problemi di PLI I problemi di PLI hanno caratteristiche molto diverse dai problemi di PL. In alcuni casi, la soluzione del problema lineare rilassato, ottenuto cioè eliminando i vincoli di interezza sulle variabili, è intera e quindi è ottima anche per il problema di PLI. In generale però la soluzione del problema rilassato, costituisce solo un approssimazione del valore ottimo del problema di PLI (una limitazione inferiore nel caso di problemi di minimo e superiore nel caso di problemi di massimo). In alcuni casi è possibile, a partire dalla soluzione del problema rilassato, determinare una soluzione intera ammissibile approssimando all intero più vicino. Più spesso, il procedimento di approssimazione genera una soluzione non ammissibile e quindi inutilizzabile. Consideriamo un problema di PLI del tipo max{c T x : Ax = b, x 0, x intero}. (5.24) È noto che in un problema di PL ottenuto da (5.24) rilassando il vincolo di interezza, se esiste una soluzione ottima, esiste una soluzione di base ammissibile ottima. Quindi una condizione sufficiente affinché sia possibile trovare una soluzione del problema di PLI risolvendo il rilassamento, è che tutte le SBA del rilassamento lineare siano intere. Alcune condizioni di questo genere si basano sulla nozione di totale unimodularità Proprietà di interezza e totale unimodularità Una matrice a componenti intere A (m n) di rango m si dice unimodulare se ogni sottomatrice di base di A ha determinante di valore 1, 1. Si dice invece totalmente unimodulare se ogni sottomatrice quadrata di A ha determinante in { 1, 0, 1}. Valgono i seguenti risultati che consentono di caratterizzare le proprietà di integralità dei poliedri [5, 3]. Teorema Sia A una matrice (m n) a componenti intere. Allora condizione necessaria e sufficiente affinché il poliedro P = {x IR n : Ax = b, x 0} abbia tutti i vertici interi, per ogni b intero, èchelamatriceasia unimodulare. Teorema Sia A una matrice (m n) a componenti intere. Allora condizione necessaria e sufficiente affinché il poliedro P = {x IR n : Ax b, x 0} 274

2 abbia tutti i vertici interi, per ogni b intero, è che la matrice Asia totalmente unimodulare. È quindi interessante poter individuare condizioni che garantiscano l unimodularità di una matrice a componenti intere A (m n). Una ovvia condizione necessaria per la totale unimodularità è che la matrice abbia tutti elementi a ij {0,1, 1}. Non èperòuna ( condizione ) sufficiente, 1 1 infatti basta scegliere banalmente una matrice del tipo con determinante pari a 2. Si può dare una condizione necessaria e sufficiente di totale 1 1 unimodularità sotto particolari ipotesi. Vale il seguente risultato [3, 5]: Teorema Sia A una matrice (m n) con elementi a ij {0,1, 1}e tale che ogni colonna abbia al più due elementi diversi da zero. Allora A è totalmente unimodulare se e solo se è possibile partizionare gli indici di riga in due sottoinsiemi Q 1 e Q 2 tali che: (i) se la colonna j contiene due elementi a ij 0ea kj 0dello stesso segno allora i Q 1 e k Q 2 ; (ii) se la colonna j contiene due elementi a ij 0ea kj 0di segno opposto allora o i, k Q 1 oppure i, k Q Esercizi svolti Esercizio Dire se la seguente matrice è totalmente unimodulare (dimostrando l affermazione): Soluzione. La condizione necessaria è verificata, poiché gli elementi sono tutti 0, 1. Inoltre ogni colonna di A ha al più due elementi non nulli, quindi sono verificate le ipotesi del Teorema Costruiamo la partizione degli indici di riga. Se la riga 1 Q 1 allora la riga 2 Q 2, ma la riga 3 non può starenéinq 1 per l elemento a 12 néinq 2 per l elemento a 13. Quindi la matrice non è totalmente unimodulare. 275

3 Esercizio Dire se la seguente matrice è totalmente unimodulare dimostrando l affermazione Soluzione. Sono verificate le ipotesi del Teorema Esiste una partizione degli indici di riga, Q 1 = {1, 2, 3}, Q 2 ={4,5,6}, che soddisfa le condizioni (i) (ii), quindi la matrice è totalmente unimodulare. Per la soluzione di problemi di PLI non esistono metodi universalmente efficienti. Molto spesso è necessario utilizzare algoritmi ad hoc che siano in grado di sfruttare la particolare struttura del problema. Esistono però dei metodi applicabili ad una larga classe di problemi di PLI, che qui descriviamo brevemente. Sono il metodo del Branch and Bound ed il metodo dei piani di taglio Algoritmo Branch and Bound Consideriamo un problema di PLI di massimizzazione max{z(x) =c T x: x S} con S = Q Z n finito e dove Q è un poliedro di IR n. Il metodo del Branch and Bound consiste essenzialmente di una fase di separazione (Branching) e di una fase di limitazione e eliminazione (Bounding). Sia x una soluzione ottima del problema rilassato max{z(x) =c T x: x Q}. Se x è intera, è anche soluzione ottima del problema di PLI. Supponiamo quindi che x non sia intera e indichiamo con x la soluzione ottima del problema di PLI (da determinare). Risulta ovviamente z( x) z(x ), cioè z( x) è una limitazione superiore (upper bound) al valore ottimo intero. Il metodo del Branch and Bound si basa sulla decomposizione successiva dell insieme ammissibile S del problema di PLI in una famiglia di sottoinsiemi S 1,...,S r tale che S i S j = 1 i<j r r S i = S i=1 276

4 (ovvero individuando una partizione di S) in modo tale che il punto x non appartenga a nessun S i. Si cerca cioè di eliminare la soluzione x senza escludere nessun altra soluzione in S. Si considerano quindi separatamente i problemi di ottimizzazione (P ) i =max{z(x)=c T x: x S i } con S i = Q i Z n finito e dove Q i sono poliedri di IR n. Sia x i la soluzione ottima del rilassamento lineare del problema (P ) i ; il valore U i = c T x i costituisce un upper bound per il valore ottimo della soluzione di (P ) i. Si definisce inoltre un valore di ottimo corrente ẑ il valore della funzione obiettivo in corrispondenza ad una soluzione ammissibile ˆx. Nel caso in cui non sia possibile individuare facilmente una soluzione ammissibile si pone l ottimo corrente ẑ =. SerisultaU i z(ˆx), cioè se l upper bound è non superiore al valore di ottimo corrente, allora il problema (P ) i può essere eliminato perché la sua soluzione non può produrre un miglioramento della funzione obiettivo. Se invece U i >z(ˆx), il problema (P ) i è un possibile candidato per individuare la soluzione ottima. Riportiamo una schematica descrizione della strategia di separazione e di soluzione che utilizziamo negli esercizi. Metodo del Branch and Bound Inizializzazione. Si calcola la soluzione ottima non intera x del problema rilassato, il cui valore c T x = U 0 costituisce un upper bound per il valore ottimo. Si determina inoltre una soluzione ammissibile intera ˆx a cui corrisponde il valore di ottimo corrente z(ˆx) =c Tˆx. Nel caso in cui non sia possibile individuare facilmente una soluzione ammissibile si pone l ottimo corrente z(ˆx)=. Sia {(P ) 1,...,(P) m } la lista dei problemi candidati e siano U 1,...,U m gli upper bound corrispondenti alle soluzioni x 1,...,x m. Iterazione generica dell algoritmo. Si seleziona un problema (P ) i. Esame del sottoproblema (P ) i. Si possono presentare i seguenti casi. (a) Risulta U i z(ˆx); il problema può essere eliminato dalla lista dei candidati ed è definito chiuso. (b) Risulta U i >z(ˆx). Inoltre (i) La soluzione x i del problema rilassato è intera, quindi anche ottima per il problema (P) i. Si aggiorna l ottimo corrente z(ˆx)=c T x i.il problema viene eliminato dalla lista dei candidati. 277

5 (ii) La soluzione x i non è intera. In questo caso si passa alla Fase di Separazione. (c) L insieme Q i è vuoto. In questo caso viene eliminato dalla lista dei candidati (Si assegna convenzionalmente il valore U i = ). Strategia di Separazione. Sia (x i ) h una componente frazionaria della soluzione del problema (P ) i. Si può suddividere il problema (P ) i in due sottoproblemi (P ) i1 e(p) i2 definiti dall insieme ammissibile S i1 = {x S i : (x i ) h (x i ) h } S i2 = {x S i : (x i ) h (x i ) h +1} Si determinano le soluzioni dei rilassamenti dei problemi (P ) i1 e(p) i2 eivalori U i1 e U i2, corrispondenti agli upper bounds. Si aggiungono questi problemi alla lista dei candidati. L algoritmo termina quando la lista dei candidati èvuota. Il problema del knapsack binario. Dato un problema di knapsack max{c T x : rilassamento continuo è a T x b, x {0,1} n },ilsuo max{c T x : a T x b, 0 x 1}. Per determinare la soluzione del problema rilassato si può procedere come segue (vedi anche Esercizi e ): (i) Si riordinano le variabili in modo che i rapporti peso ingombro siano ordinati in modo non crescente, cioè c 1 a 1 c 2 a 2... c n a n. (ii) Si determina l indice critico k per cui k a i b i=1 k 1 i=1 a i <b. (iii) La soluzione ottima è quindi x i =1, per i =1,...,k 1 x k = b k 1 i=1 a i, a k x i =0, per i = k +1,...,n 278

6 Osservazione Dato un problema di knapsack continuo limitato, possiamo sempre suppore che il coefficienti a i e c i per i =1,...,n siano non negativi. Infatti negli altri casi è possibile ricondursi a questa situazione come descritto nel seguito. 1) L i-esimo coefficiente della funzione obiettivo è negativo, ed il corrispondente coefficiente nel vincolo è positivo c i < 0, a i >0. In questo caso si può fissare la variabile x i =0. 2) L i-esimo coefficiente della funzione obiettivo è positivo, ed il corrispondente coefficiente nel vincolo è negativo c i > 0, a i < 0. In questo caso si può fissare la variabile x i =1. 3) Entrambi i coefficienti c i < 0, a i < 0. In questo caso si può effettuare una sostituzione della variabile x i in x i =1 x i. Si ottiene un problema di knapsack con coefficienti tutti positivi Esercizi svolti Esercizio Sia dato il seguente problema di Programmazione Lineare Intera max z =5x 1 +8x 2 x 1 +x 2 6, (P ) 5x 1 +9x 2 45 x 1,x 2 0, x 1,x 2 interi Sia x 1 = 9 4, x 2 = 15 4 la soluzione ottima del problema rilassato, con valore ottimo della funzione obiettivo z = (i) Si effettui una operazione di separazione rispetto alla variabile x 2 generando due sottoproblemi (P ) 1, (P ) 2. (ii) La soluzione ottima del rilassamento del problema (P ) 1 è mentre per il problema (P ) 2 si ha x 1 =3; x 2 =3; z=39 x 1 =1,8; x 2 =4; z=41. Utilizzando il metodo del branch and bound dire se è possibile chiudere qualche problema della lista dei candidati e indicare le eventuali operazioni di separazione. 279

7 Soluzione. (i) La soluzione ottima di (P) non è intera. Si separa rispetto alla variabile x 2.Siha x 2 = 3 e quindi si ottengono i due sottoproblemi: (P ) 1 max z =5x 1 +8x 2 x 1 +x 2 6, 5x 1 +9x 2 45 x 2 3 x 1,x 2 0, x 1,x 2 interi (P ) 2 max z =5x 1 +8x 2 x 1 +x 2 6, 5x 1 +9x 2 45 x 2 4 x 1 0, x 1,x 2 interi (ii) Per rispondere al secondo quesito, è necessario individuare una soluzione ammissibile per il problema (P) ed un valore di ottimo corrente. Un valore ammissibile si ottiene considerando la parte intera inferiore della soluzione ottima; in particolare si ha ˆx 1 =2,ˆx 2 =3,con valore dell ottimo corrente z(ˆx) =34.La soluzione del problema (P ) 1 è intera con valore ottimo z >z(ˆx). Si aggiorna l ottimo corrente che vale z( x) = 39. Il problema (P ) 2 non ha soluzione intera. Risulta z >z( x), cioè ilvalore dell upper bound è maggiore del ottimo corrente, quindi (P ) 2 non può essere chiuso. Si deve ulteriormente separare rispetto alla variabile x 1. Si generano quindi due problemi (P ) 3 e(p) 4 inserendo i vincoli x 1 1, x 1 2. (P ) 3 max z =5x 1 +8x 2 x 1 +x 2 6, 5x 1 +9x 2 45 x 2 4 x 1 1 x 1 0, x 1,x 2 interi (P ) 4 La lista dei problemi candidati è {(P ) 3, (P ) 4 }. max z =5x 1 +8x 2 x 1 +x 2 6, 5x 1 +9x 2 45 x 2 4 x 1 2 x 1 0, x 1,x 2 interi Esercizio Sia dato il seguente problema di Programmazione Lineare Intera min z = x 1 +3x 2 2x 1 3x 2 2, x 1 +x 2 2 (P ) x 2 2, x 1,x 2 0, x 1,x 2 interi Sia x 1 = 8 5, x 2 = 2 5 la soluzione ottima del problema rilassato, con valore ottimo della funzione obiettivo z = (i) Elencare tutti i possibili modi di separare il problema; si generi la lista di problemi candidati. 280

8 (ii) Dire se è possibile chiudere qualche problema della lista dei candidati. Soluzione. (i) Poiché nella soluzione ottima sono frazionarie entrambe le componenti, si può separare il problema sia rispetto a x 1 (ottenendo (P ) 1 e(p) 2 ) che rispetto a x 2 (ottenendo (P ) 3 e(p) 4 ). Risulta x 1 =1, x 2 =0e si ottengono i sottoproblemi: (P ) 1 (P) 3 min x 1 +3x 2 2x 1 3x 2 2 x 1 +x 2 2 x 2 2 x 1 1 x 1,x 2 0 min x 1 +3x 2 2x 1 3x 2 2 x 1 +x 2 2 x 2 2 x 2 =0 x 1 0, (P) 2 (P) 4 min x 1 +3x 2 2x 1 3x 2 2 x 1 +x 2 2 x 2 2 x 1 2 x 1,x 2 0 min x 1 +3x 2 2x 1 3x 2 2 x 1 +x 2 2 x 2 2 x 2 1 x 1 0 La lista dei problemi candidati è costituita da {(P ) 1, (P ) 2, (P ) 3, (P ) 4 }. (ii) Osserviamo che il problema (P )è di minimizzazione, quindi si deve fare riferimento a lower bound per il valore ottimo. Per stabilire se è possibile chiudere qualche problema è necessario individuare una soluzione ammissibile per (P ) e quindi il valore dell ottimo corrente (che costituisce in questo caso un upper bound alla soluzione ottima). Osserviamo inoltre che, in questo caso, una soluzione ammissibile non si può trovare approssimando all intero inferiore la soluzione x. Infatti, il punto (1, 0) non è ammissibile. Una possibile soluzione ammissibile èˆx=(1,1) e si ha z(ˆx) = 4. Per la soluzione ottima dei sottoproblemi utilizziamo il metodo grafico. Il problema (P ) 1 è raffigurato in Figura 5.2 dove l insieme ammissibile è evidenziato in grigio e la curva di livello della funzione obiettivo corrispondente al valore ottimo è tratteggiata. (P ) 1 ha soluzione ottima rilassata intera x 1 =(1,1) con valore ottimo della funzione obiettivo pari a z(x 1 )=4.Quindi può essere chiuso. Il problema (P ) 2 ha soluzione ottima frazionaria x 2 =(2,2/3) con valore ottimo della funzione obiettivo z(x 2 ) = 4. Il problema (P ) 2 è rappresentato in Figura 5.3 dove l insieme ammissibile è evidenziato in grigio e la curva di livello della funzione obiettivo corrispondente al valore ottimo 281

9 x 2 (0,2) (0,1) (1, 1) x 1 (1,0) (2,0) Figura 5.2: Soluzione del Problema (P ) 1 dell Esercizio è tratteggiata. Anche il problema (P ) 2 può essere chiuso. Il problema (P ) 3 ha regione ammissibile vuota, quindi può essere chiuso. Il problema (P ) 4 ha soluzione ottima rilassata intera x 4 =(1,1) con valore ottimo della funzione obiettivo pari a z(x 4 ) = 4 (vedi Figura 5.4) e quindi può essere chiuso. Quindi si può concludere che la soluzione ottima è(1,1) con valore 4. Esercizio Risolvere con il metodo del Branch and Bound il seguente problema di knapsack binario: max 4x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 3x 1 +x 2 +2x 3 +7x 4 9 x i {0,1}, i =1,2,3,4. Soluzione. Si deve risolvere il problema di knapsack continuo (vedi Esercizio ). Si riordinano le variabili in modo decrescente rispetto al rapporto peso-ingombro c k /a k (rinominandole con y); il problema rilassato è: max 2y 1 +3y 2 +4y 3 +y 4 y 1 +2y 2 +3y 3 +7y y i 1, i =1,2,3,4. (P) Una soluzione del rilassamento lineare è: y 1 = y 2 = y 3 =1, y 4 = = 3 7,

10 x 2 (0,2) ( 2, 2/ 3) x 1 (1,0) (2,0) Figura 5.3: Soluzione del Problema (P ) 2 dell Esercizio con valore ottimo della funzione obiettivo è U 0 = 66 7 =9,43. Una soluzione ammissibile intera, ottenuta approssimando all intero inferiore, èŷ=(1, 1, 1, 0) ed il valore dell ottimo corrente è z(ŷ)= 9. Si separa rispetto alla variabile y 4 e si ottengono i due sottoproblemi: (P 1 ) max 2y 1 +3y 2 +4y 3 y 1 +2y 2 +3y 3 9 y 4 =0 y i {0,1}, i =1,2,3. (P 2 ) max 2y 1 +3y 2 +4y 3 +1 y 1 +2y 2 +3y 3 2 y 4 =1 y i {0,1}, i =1,2,3. La soluzione del rilassamento del problema (P 1 )èy 1 =(1, 1, 1) con valore della funzione obiettivo c T y 1 =9.La soluzione del problema (P 2 ) rilassato è y 2 1 =(1, 2, 0) con valore della funzione obiettivo ct y 2 =4,5. Consideriamo il problema (P 1 ). La soluzione è intera con lo stesso valore dell ottimo corrente. Quindi il problema (P 1 ) si può chiudere. Per il problema (P 2 )risultac T y 2 =4,5<z(ŷ) = 9, quindi si può chiudere perché dominato dall ottimo corrente. La soluzione ottima è y =(1, 1, 1, 0) con valore z(y ) = 9. Riportandosi alle variabili originarie si ha x =(1, 1, 1, 0). Esercizio Risolvere il seguente problema di Knapsack binario: max 3y 1 +2y 2 +y 3 +3y 4 +y 5 y 1 +y 2 +2y 3 +4y 4 +3y 5 5 y i {0,1}, i =1,...,5 283

11 x 2 (0,2) (0,1) (1, 1) x 1 (2,0) Figura 5.4: Soluzione del Problema (P ) 4 dell Esercizio Soluzione. Analogo all esercizio precedente. Si riordinano le variabili in ordine decrescente del rapporto peso/ingombro (riniminandole con x). Si ottiene il problema rilassato: max 3x 1 +2x 2 +3x 4 +x 3 +x 5 x 1 +x 2 +4x 4 +2x 3 +3x 5 5 (P 0 ) 0 x i 1, i =1,...,5 Una soluzione del problema rilassato è x 1 = x 2 =1, x 4 = 3 4,x 3=x 5 =0, con valore dell upper bound U 0 =7,25. Una soluzione ammissibile non ottima èˆx=(11000),a cui corrisponde un valore di ottimo corrente ẑ = z(ˆx)=5. Si separa rispetto alla variabile x 4 ottenendo due sottoproblemi (P 1 ) (P 2 ) max 3x 1 +2x 2 +x 3 +x 5 x 1 +x 2 +2x 3 +3x 5 5 x 4 =0 x i {0,1}, i =1,...,5 max 3x 1 +2x 2 +3+x 3 +x 5 x 1 +x 2 +2x 3 +3x 5 1 x 4 =1 x i {0,1}, i =1,...,5 Il rilassamento del problema P 1 ha soluzione ottima x 1 =(11101/3), con un valore di upper bound U 1 =6,3.Il rilassamento del problema P 2 ha soluzione ottima intera x 2 =(10010),con un valore ottimo U 2 =6. 284

12 Si sceglie di esaminare P 2 ; si aggiorna l ottimo corrente ẑ = 6 e si chiude P 2. Il valore di upper bound di P 1 è superiore all ottimo corrente, ma, osservando che nessuna soluzione intera può fornire un valore superiore a 6, si può chiudere anche P 1. Una soluzione ottima è dunque: x =(10010)divalorez =6. Esercizio Risolvere il seguente problema di Knapsack 0-1 utilizzando il metodo Branch and Bound: max x 1 +3x 2 +2x 3 +4x 4 x 1 +4x 2 +3x 3 7x 4 1 x i {0,1}, i =1,...,4 Soluzione. Poiché la variabile x 4 compare con segno positivo nella funzione obiettivo e con segno negativo nel vincolo, è possibile fissare la variabile x 4 al valore 1 e procedere nella soluzione del problema di knapsack che ne deriva: max x 1 +3x 2 +2x 3 +4 x 1 +4x 2 +3x 3 8 x i {0,1}, i =1,...,3 La soluzione ottima si ottiene banalmente ed è(1, 1, 1, 1) con valore ottimo pari a Metodo dei piani di taglio Consideriamo un problema di PLI di massimizzazione con insieme ammissibile finito del tipo max{c T x : Ax = b, x 0, x intero}. Ricordiamo che dato un poliedro P, si dice che una disequazione a T x β è valida per P se P {x IR n : a T x β }. La procedura di Chvátal-Gomory si basa sulla considerazione seguente [5]. Se una disequazione a T x β è valida per un poliedro P, allora la disequazione n a i x i β i=1 è soddisfatta da tutti i vettori x P Z n (anche se può non essere più valida per P). Sulla base di questa osservazione, data una soluzione ottima (non intera) x del rilassamento lineare del problema di PLI si può generare una disequazione a T x a 0 soddisfatta da tutte le soluzioni ammissibili intere e tale che risulti 285