Programmazione Lineare Intera. Programmazione Lineare Intera p. 1/4

Transcript

1 Programmazione Lineare Intera Programmazione Lineare Intera p. 1/4

2 Programmazione Lineare Intera Problema di PLI in forma standard: max cx Ax = b x 0, x I n I insieme degli interi. Regione ammissibile: Z a = {x I n : Ax = b, x 0}, Insieme delle sue soluzioni ottime: Z ott = {x Z a : cx cx x Z a }. Programmazione Lineare Intera p. 2/4

3 Rilassamento lineare Il rilassamento lineare di un problema di PLI è il problema di PL ottenuto dal problema di PLI omettendo la richiesta che le variabili siano intere, e quindi max cx Ax = b x 0 S a e S ott denotano rispettivamente la regione ammissibile e l insieme delle soluzioni ottime del rilassamento lineare del problema di PLI. Programmazione Lineare Intera p. 3/4

4 Esempio Problema di PLI: Rilassamento lineare: max x 1 + x 2 x 1 + 2x 2 4 2x 1 + x 2 4 x 1,x 2 0, x 1,x 2 I. max x 1 + x 2 x 1 + 2x 2 4 2x 1 + x 2 4 x 1,x 2 0. Programmazione Lineare Intera p. 4/4

5 Relazioni tra i due problemi Si ha che: Z a S a e i due problemi hanno la stessa funzione obiettivo cx quindi: Se S a =, allora Z a =. Se {x k } tale che x k Z a per ogni k e cx k + k +, (obiettivo del problema di PLI illimitato), allora é illimitato anche l obiettivo del suo rilassamento lineare. Programmazione Lineare Intera p. 5/4

6 Continua Se S ott e Z ott, allora dato x S ott e z Z ott, si ha z Z ott z Z a z S a cz cx cioè il valore ottimo del problema di PLI non puó essere superiore al valore ottimo del suo rilassamento lineare. Se S ott contiene un punto x a coordinate tutte intere, allora x Z ott e i valori ottimi dei due problemi coincidono. Infatti: x S ott cx cx x S a cx cx x Z a x a coordinate intere x Z a Programmazione Lineare Intera p. 6/4

7 Esempio max x 2 x 1 + 2x 2 4 2x 1 + x 2 4 x 1,x 2 0, x 1,x 2 I. Programmazione Lineare Intera p. 7/4

8 Altri casi possibili Z a = ma S ott Z a = ma l obiettivo del rilassamento lineare é illimitato Se A,b e c contengono solo valori razionali, allora Z ott implica S ott. Se vi sono coefficienti irrazionali allora puó accadere che Z ott ma il rilassamento lineare ha obiettivo illimitato. Programmazione Lineare Intera p. 8/4

9 Esempi max x 2 x x x 2 2 x 1,x 2 0, x 1,x 2 I. Programmazione Lineare Intera p. 9/4

10 Esempi max x 2 x x x 1,x 2 0, x 1,x 2 I. max x 2 x 2 = 2x 1 x 1,x 2 0, x 1,x 2 I. Programmazione Lineare Intera p. 10/4

11 Un importante osservazione I problemi di PL sono in generale molto piú semplici e rapidi da risolvere dei problemi di PLI In particolare il rilassamento lineare di un problema di PLI é tipicamente molto piú facile da risolvere del problema di PLI stesso. Programmazione Lineare Intera p. 11/4

12 Metodi di risoluzione Perché non risolvere il rilassamento lineare e poi arrotondare a valori interi gli eventuali valori non interi nella soluzione ottima del rilassamento lineare? Tale procedura é accettabile solo se i valori delle variabili sono elevati. In tal caso infatti l arrotondamento introduce un errore relativo del tutto trascurabile. É del tutto inaccettabile quando le variabili assumono valori piccoli (in particolare con le variabili binarie che assumono solo i valori 0 e 1) Programmazione Lineare Intera p. 12/4

13 Problema di PLI in forma standard Si adottano le stesse regole già viste per i problemi di PL ma occorre prestare attenzione ad un ulteriore aspetto. Un esempio: max x 2 x x x 1,x 2 0, x 1,x 2 I. Programmazione Lineare Intera p. 13/4

14 Continua Con un problema di PL potremmo trasformarlo in forma standard con l aggiunta di due variabili y 1 e y 2 : max x 2 x 1 + y 1 = 1 2 x 2 + y 2 = 1 2 x 1,x 2,y 1,y 2 0, x 1,x 2 I. Ma: ci ritroviamo con un problema in cui alcune variabili (x 1 e x 2 ) possono assumere solo valori interi e altre possono assumere anche valori non interi. Infatti, ad esempio, se scelgo x 1 = x 2 = 0, valori ammissibili per il nostro problema di PLI, il corrispondente valore di y 1 e y 2 è pari a 1/2. Programmazione Lineare Intera p. 14/4

15 Il rimedio Per fare in modo che anche le nuove variabili possano assumere solo valori interi quando quelle originarie hanno valori interi, è sufficiente: trasformare i vincoli in modo tale che in essi compaiano solo coefficienti e termini noti interi. Programmazione Lineare Intera p. 15/4

16 Nell esempio Nel nostro esempio basta moltiplicare entrambi i vincoli per 2: max x 2 2x 1 1 2x 2 1 x 1,x 2 0, x 1,x 2 I. e solo a questo punto aggiungere le due variabili y 1 e y 2 : max x 2 2x 1 + y 1 = 1 2x 2 + y 2 = 1 x 1,x 2,y 1,y 2 0, x 1,x 2,y 1,y 2 I. Programmazione Lineare Intera p. 16/4

17 Taglio valido Sia x una soluzione ottima del rilassamento lineare, che si suppone abbia almeno una coordinata non intera (se tutte le sue coordinate fossero intere allora x Z ott ). Definizione 1 Una disequazione wx v si definisce taglio valido per il problema di PLI se non é soddisfatta da x ma é soddisfatta da tutti i punti nella regione ammissibile del problema di PLI, ovvero wx > v, wx v x Z a Programmazione Lineare Intera p. 17/4

18 Algoritmi di taglio Inizializzazione Si risolva il rilassamento lineare max cx a i x = b i x j 0 i = 1,...,m j = 1,...,n Se: S a =, allora STOP con Z a = ; esiste una soluzione ottima, indicata con x 1. Se x 1 ha coordinate tutte intere, allora STOP: x 1 Z ott. Altrimenti si ponga k = 1 e si vada al Passo 1. Programmazione Lineare Intera p. 18/4

19 Continua Passo 1 Si generi un taglio valido, ovvero una disequazione w k x v k tale che w k x k > v k w k x v k x Z a Programmazione Lineare Intera p. 19/4

20 Continua Passo 2 Si aggiunga il nuovo taglio valido ai vincoli originari del problema e ai tagli validi generati in precedenza e si risolva il problema di PL max cx a i x = b i w r x v r x j 0 i = 1,...,m r = 1,...,k j = 1,...,n Se: il problema ha regione ammissibile vuota, allora STOP: Z a =. Altrimenti sia x (k+1) la sua soluzione ottima. Se x (k+1) ha coordinate tutte intere, allora STOP: x (k+1) Z ott. Altrimenti si ponga k = k + 1 e si ritorni Programmazione Lineare Intera p. 20/4 al Passo 1.

21 Nota bene Il problema di PL con l aggiunta dei tagli non é in forma standard. Basta la semplice aggiunta di una variabile y r 0 in ciascuno dei tagli per portarlo alla forma standard: max cx a i x = b i w r x + y r = v r x j 0 y r 0 i = 1,...,m r = 1,...,k j = 1,...,n r = 1,...,k Programmazione Lineare Intera p. 21/4

22 Tagli di Gomory Sia data la base ottima B = {x i1,...,x im } per il rilassamento lineare del problema di PLI con la seguente riformulazione rispetto a tale base é la seguente: max γ 0 + n m j=1 γ jx im+j x i1 = β 1 + n m j=1 α 1jx im+j x ik = β k + n m j=1 α kjx im+j x im = β m + n m j=1 α mjx im+j x 1,...,x n 0 Programmazione Lineare Intera p. 22/4

23 Ipotesi Si suppone che almeno uno dei valori β r, r = 1,...,m, sia non intero (se fossero tutti interi la soluzione di base associata a B sarebbe non solo ottima per il rilassamento lineare ma anche per il problema di PLI). Programmazione Lineare Intera p. 23/4

24 Esempio max 5 6 x x 4 5x 1 + 6x 3 8x 4 = 12 5x x x 4 = 150 x 1,x 2,x 3,x 4 0, x 1,x 2,x 3,x 4 I. Programmazione Lineare Intera p. 24/4

25 Rilassamento lineare Base ottima B = {x 1,x 2 } max 2 x 3 3x 4 x 1 = x x 4 x 2 = x x 4 x 1,x 2,x 3,x 4 0 Programmazione Lineare Intera p. 25/4

26 Il taglio di Gomory Sia β k un valore non intero. Equazione relativa a x ik (equazione generatrice del taglio): x ik = β k + α k1 x im+1 + α k2 x im α k,n m x in. Taglio di Gomory: dove f k + f k1 x im+1 + f k2 x im f k,n m x in 0 f kj, j = 1,...,n m, é la mantissa di α kj, cioé f k é la mantissa di β k, cioé f kj = α kj α kj 0, f k = β k β k > 0. Programmazione Lineare Intera p. 26/4

27 Esempio Equazione generatrice del taglio: x 1 = x x 4 Mantissa di 12 5 : = = 2 5 Mantissa di 6 5 : = = 1 5 Programmazione Lineare Intera p. 27/4

28 Continua Mantissa di 8 5 : Taglio di Gomory: = 8 5 ( 2) = x x 4 0 Programmazione Lineare Intera p. 28/4

29 Continua Per mantenere il formato standard, possiamo aggiungere una nuova variabile y 1 e riscrivere il taglio attraverso la seguente coppia di vincoli: y 1 = f k + f k1 x im+1 + f k2 x im f k,n m x in y 1 0. Programmazione Lineare Intera p. 29/4

30 Nell esempio x x 4 0 y 1 = x x 4 y 1 0 Programmazione Lineare Intera p. 30/4

31 Il taglio di Gomory è valido La soluzione ottima del rilassamento lineare non soddisfa il taglio. Nella soluzione ottima del rilassamento lineare si ha: x im+1 = = x in = 0 quindi, in corrispondenza della soluzione ottima del rilassamento lineare si ha: y 1 = f k < 0. Programmazione Lineare Intera p. 31/4

32 Il taglio di Gomory è valido Generico punto in Z a : x i1,...,x in Sostituiamo le coordinate di tale punto nell equazione generatrice del taglio: e nel taglio di Gomory: x ik = β k + n m j=1 α kj x im+j y 1 = f k + n m j=1 f kj x im+j Programmazione Lineare Intera p. 32/4

33 Continua Si vuole dimostrare che il valore di y 1 é 0 e cioé che la generica soluzione ammissibile in Z a soddisfa il taglio. Ma prima dimostriamo che: in corrispondenza di ogni punto in Z a, il valore di y 1 é intero Sommo membro a membro le due equazioni: x ik = β k + n m j=1 α kj x im+j e: y 1 = f k + n m f kj x im+j j=1 Programmazione Lineare Intera p. 33/4

34 Continua Dalla somma ho: y 1 + x ik = (β k f k ) + n m (α kj + f kj )x im+j j=1 Quindi: f k + β k = β k f kj + α kj = α kj y 1 = β k x ik n m α kj x im+j j=1 Programmazione Lineare Intera p. 34/4

35 Continua y 1 0 in corrispondenza di punti in Z a Quindi: y 1 + f k = n m j=1 y 1 + f k 0 f kj x im+j }{{}}{{} 0 0 e, per la interezza di y 1 e f k < 1, abbiamo che deve essere y 1 0. Programmazione Lineare Intera p. 35/4

36 Osservazione 1 Abbiamo dimostrato che la nuova variabile che viene introdotta (la y 1 ) assume sempre valori interi in corrispondenza di ogni punto di Z a. Quindi con l aggiunta del taglio posso riscrivere il mio problema di PLI in questo modo: max cx a i x = b i y 1 = f k + n m j=1 f kjx im+j x j 0, x j I y 1 0, y 1 I i = 1,...,m j = 1,...,n Programmazione Lineare Intera p. 36/4

37 Nell esempio max 5 6 x x 4 5x 1 + 6x 3 8x 4 = 12 5x x x 4 = 150 y 1 = x x 4 x 1,x 2,x 3,x 4,y 1 0, x 1,x 2,x 3,x 4,y 1 I. Programmazione Lineare Intera p. 37/4

38 Continua Quindi: dal momento che il nuovo problema con l aggiunta del taglio é ancora un problema di PLI (tutte la variabili, compresa la nuova, y 1, sono vincolate ad essere intere) possiamo iterare la procedura, cioé se dopo l aggiunta del primo taglio la risoluzione del nuovo rilassamento lineare non ha coordinate tutte intere, possiamo generare un nuovo taglio utilizzando la stessa regola di generazione. Programmazione Lineare Intera p. 38/4

39 Osservazione 2 Il rilassamento lineare del problema di PLI dopo l aggiunta del taglio non deve essere risolto da zero. Infatti, possiamo prendere la coppia di vincoli y 1 = f k + n m j=1 f kj x im+j y 1 0, che esprime il taglio ed aggiungerla alla riformulazione rispetto alla base ottima B del rilassamento lineare prima dell introduzione del taglio. Programmazione Lineare Intera p. 39/4

40 Continua max γ 0 + n m j=1 γ jx im+j x i1 = β 1 + n m j=1 α 1jx im+j x ik = β k + n m j=1 α kjx im+j x im = β m + n m j=1 α mjx im+j y 1 = f k + n m j=1 f kjx im+j x 1,...,x n,y 1 0 Programmazione Lineare Intera p. 40/4

41 Continua Questa è giá la riformulazione del nuovo rilassamento lineare rispetto alla base B {y 1 }. Tale base è non ammissibile per il primale (y 1 = f k < 0) ammissibile per il duale Programmazione Lineare Intera p. 41/4

42 Nell esempio Base B {y 1 } = {x 1,x 2,y 1 } ammissibile per il duale max 2 x 3 3x 4 x 1 = x x 4 x 2 = x x 4 y 1 = x x 4 x 1,x 2,x 3,x 4,y 1 0. Programmazione Lineare Intera p. 42/4

43 Continua Applicando il simplesso duale si arriva in una iterazione alla base ottima {x 1,x 2,x 3 }: max 0 5y 1 x 4 x 1 = 0 6y 1 + 4x 4 x 2 = 5 y 1 + 3x 4 x 3 = 2 + 5y 1 2x 4 x 1,x 2,x 3,x 4,y 1 0 Soluzione ottima del rilassamento lineare e del problema di PLI: x 1 = 0 x 2 = 5 x 3 = 2 x 4 = 0 Valore ottimo del rilassamento lineare e del problema di PLI = 0 Programmazione Lineare Intera p. 43/4

44 Osservazione 3 Se ad ogni iterazione il taglio di Gomory viene realizzato a partire dalla prima equazione con un termine noto β k non intero, allora l algoritmo termina in un numero finito di iterazioni. Programmazione Lineare Intera p. 44/4