Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 16/06/2014 Andrea Scozzari

Transcript

1 Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 16/06/2014 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un agenzia finanziaria deve investire di euro di un suo cliente in fondi di investimento. Il mercato offre cinque tipi di fondi che sono riassunti nella tabella seguente Nome Tipologia Rating Rendita alla maturazione A Privato 2 4.5% B Pubblico 3 5.4% C Stato 1 5.1% D Stato 4 4.4% E Privato 5 4.1% I fondi pubblici e dello stato sono tassati al 50% alla fine del periodo (maturazione). Il cliente chiede di riservare almeno il 40% del capitale a fondi pubblici o dello stato. Inoltre il cliente esige che al massimo uno tra i fondi di investimento C e D sia attivato, e nel caso in cui si acquistino fondi di tipo C o D, la spesa non deve essere superiore a euro ciascuno. Infine, si vuole che il valore medio dell investimento non deve superare un rating complessivo di 1.4. Si vuole massimizzare la rendita dell investimento. Si introducano le variabili: x A, x B, x C, x D, x E che rappresentano le quantità (in euro) investite nei fondi A, B, C, D e E. Si introducano anche le variabili binarie y C e y D, che valgono 0 se non si investe nei fondi C e D ed 1 altrimenti. Funzione Obiettivo (nota: i fondi pubblici e dello stato hanno una rendita alla maturazione dimezzata): max 0.045x A x B x C x D x E Vincolo di Budget: x A + x B + x C + x D + x E Vincolo sull investimento nei titoli pubblici e di stato: x B + x C + x D Vincolo sul valore medio dell investimento: 2x A + 3x B + x C + 4x D + 5x E 1.4(x A + x B + x C + x D + x E ) x C 50000y C x D 50000y D

2 y C + y D 1 x A, x B, x C, x D, x E 0 y C, y D {0,1} Esercizio n.2 Risolvere il seguente problema di PL con l algoritmo del simplesso x 1 =10/3, x 2 =2/3 Z*=-22/3 min -2x 1 - x 2 x 1-2x 2 2-3x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 4 x 1, x 2 0 Esercizio n.3 Determinare il duale del seguente problema di PL. Risolvere sia il primale che il duale per via geometrica. max x 1 + x 2 -x 1 + x 2 1 4x 1 + x 2 0 x 1 libera, x 2 0 Duale: min u 1 -u 1 + 4u 2 = 1 u 1 + u 2 1 u 1, u 2 0 Soluzione ottima Primale: x 1 = -1/5, x 2 = 4/5, Z*=3/5 Soluzione ottima Duale: u 1 = 3/5, u 2 = 2/5, W*=3/5

3 Esercizio n.4 Enunciare il teorema degli scarti complementari e verificare, se possibile, il teorema per l Esercizio n.3 TEOREMA: Sia x una soluzione ammissibile per il primale (P) ed u una soluzione ammissibile per il duale (D), allora x ed u sono soluzioni ottime rispettivamente per il primale e per il duale se e solo se sono verificate le seguenti condizioni di ortogonalità: u(b - Ax) = 0 (ua - c)x = 0 Tali condizioni sono verificate per i problemi Primale e Duale dell esercizio precedente.

4 Ricerca Operativa (Compito B) Appello del 16/06/2014 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un agenzia finanziaria deve investire di euro di un suo cliente in fondi di investimento. Il mercato offre cinque tipi di fondi che sono riassunti nella tabella seguente Nome Tipologia Rating Rendita alla maturazione A Privato 2 4.5% B Pubblico 3 5.4% C Stato 1 5.1% D Stato 4 4.4% E Privato 5 4.1% I fondi pubblici e dello stato sono tassati al 50% alla fine del periodo (maturazione). Il cliente chiede di riservare almeno il 40% del capitale a fondi pubblici o dello stato. Inoltre il cliente esige che al massimo uno tra i fondi di investimento C e D sia attivato, e nel caso in cui si acquistino fondi di tipo C o D, la spesa non deve essere superiore a euro ciascuno. Infine, si vuole che il valore medio dell investimento non deve superare un rating complessivo di 1.4. Si vuole massimizzare la rendita dell investimento. Si introducano le variabili: x A, x B, x C, x D, x E che rappresentano le quantità (in euro) investite nei fondi A, B, C, D e E. Si introducano anche le variabili binarie y C e y D, che valgono 0 se non si investe nei fondi C e D ed 1 altrimenti. Funzione Obiettivo (nota: i fondi pubblici e dello stato hanno una rendita alla maturazione dimezzata): max 0.045x A x B x C x D x E Vincolo di Budget: x A + x B + x C + x D + x E Vincolo sull investimento nei titoli pubblici e di stato: x B + x C + x D Vincolo sul valore medio dell investimento: 2x A + 3x B + x C + 4x D + 5x E 1.4(x A + x B + x C + x D + x E ) x C 50000y C x D 50000y D

5 y C + y D 1 x A, x B, x C, x D, x E 0 y C, y D {0,1} Esercizio n.2 Risolvere il seguente problema di PL con l algoritmo del simplesso x 1 =3, x 2 =2 Z*=-8 min -2x 1 - x 2 x 1 3 x 2 2 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0 Esercizio n.3 Determinare il duale del seguente problema di PL. Risolvere sia il primale che il duale per via geometrica. Duale: min -u 1 + u 2 + 2u 3 u 2-2u 3 1 -u 1 - u 2 + u 3 1 u 1, u 2, u 3 0 max x 1 + x 2 -x 2-1 x 1 - x 2 1-2x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0 Soluzione ottima Primale: Ottimo illimitato Soluzione Duale: Per il teorema di dualità in forma debole il problema duale è inammissibile

6 Esercizio n.4 Enunciare il teorema degli scarti complementari e verificare, se possibile, il teorema per l Esercizio n.3 TEOREMA: Sia x una soluzione ammissibile per il primale (P) ed u una soluzione ammissibile per il duale (D), allora x ed u sono soluzioni ottime rispettivamente per il primale e per il duale se e solo se sono verificate le seguenti condizioni di ortogonalità: u(b - Ax) = 0 (ua - c)x = 0 Tali condizioni non possono essere verificate per i problemi Primale e Duale dell esercizio precedente.