ALGORITMO DEL SIMPLESSO
|
|
- Erico Galli
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 ALGORITMO DEL SIMPLESSO ESERCITAZIONI DI RICERCA OPERATIVA 1 ESERCIZIO 1. Risolvere il seguente programma lineare (a) con il metodo del simplesso e (b) con il metodo grafico. (1) min x 1 x () (3) (4) (5) x 1 + x 5 3x 1 + x 9 x 4 x 1, x 0 ESERCIZIO. Risolvere il seguente programma lineare (a) con il metodo del simplesso e (b) con il metodo grafico. (6) max 3x 1 x (7) (8) (9) (10) x 1 x 1 x 1 + x 1 x 1 + x 0 x 1, x 0 ESERCIZIO 3. Risolvere il seguente programma lineare utilizzando l algoritmo del simplesso. (11) max 3x 1 x + x 3 (1) (13) (14) (15) x 1 + x 6 x + x 3 4 x 1 x 3 3 x 1, x, x 3 0 ESERCIZIO 4. Risolvere il seguente programma lineare per mezzo dell algoritmo del simplesso. (16) min x 1 3x 1
2 ESERCITAZIONI DI RICERCA OPERATIVA 1 (17) (18) (19) (0) x 1 + x 4 x 1 3 x 3 x 1, x 0 ESERCIZIO 5. Risolvere il seguente programma lineare per mezzo dell algoritmo del simplesso. (1) max x 1 x () x 1 + x 1 (3) x 1 + x (4) x 1, x 0
3 ALGORITMO DEL SIMPLESSO 3 Soluzioni 1. (a) Prima di applicare il metodo del simplesso è indispensabile porre il programma lineare in forma standard. Per ottenere questo è necessario, in questo caso, trasformare (1) (5) in un programma di minimo cambiando il segno della funzione obiettivo (1) e scrivere i vincoli () (4) come uguaglianze utilizzando opportune variabili di slack x 3, x 4, x 5. (1 ) ( ) (3 ) (4 ) (5 ) max x 1 + x x 1 + x + x 3 = 5 3x 1 + x + x 4 = 9 x + x 5 = 4 Grazie alla presenza delle variabili di slack, è immediatamente identificabile sul sistema dei vincoli una base ammissibile iniziale B 0 = {x 3, x 4, x 5 }. max z = 0 +x 1 +x x 3 = 5 x 1 x x 4 = 9 3x 1 x x 5 = 4 x B 0 = {x 3, x 4, x 5 } La presenza di costi ridotti γ 1, γ > 0 indica che la soluzione ammissibile di base associata a B 0 non è ottima; la variabile x 1, che presenta costo ridotto massimo, è idonea ad entrare in base. La variabile uscente è scelta con il criterio dei rapporti minimi, quindi { 5 min 1, 9 } = indica che la variabile uscente è x 4. Effettuando l operazione di cardine si ottiene la riformulazione rispetto alla nuova base B 1. max z = 6 3 x x x 3 = x 4 3 x x 1 = x x x 5 = 4 x B 1 = B 0 {x 1 } \ {x 4 } = {x 3, x 1, x 5 } Poiché γ > 0 la soluzione associata a B 1 non è ottima, e si prosegue facendo entrare in base x. La variabile uscente è in questo caso x 3, alla quale corrisponde il minimo tra i rapporti /3, 3 1/3, 4 1. Si ottiene quindi, effettuando l operazione di cardine, la seguente riformulazione. max z = 7 1 x 4 1 x 3 x = x 4 3 x 3 x 1 = 1 x x 3 x 5 = 1 1 x x 3 B = B 1 {x } \ {x 3 } = {x, x 1, x 5 } La soluzione associata alla base B è ottima, poiché sulla riformulazione γ 4, γ 3 0.
4 4 ESERCITAZIONI DI RICERCA OPERATIVA 1 r x 5 4 x = 4 3 A(, 3) 1 S a x 1 3x 1 + x = 9 x 1 + x = 5 Figura 1. Risoluzione per via grafica dell esercizio 1. (b) Essendo (1) (5) un programma in due sole variabili, è agevole utilizzare il metodo grafico. La Figura 1 rappresenta graficamente l insieme S a delle soluzioni ammissibili di (1) (5); la retta tratteggiata r è una isocosto e la direzione di crescita è quella indicata dal vettore (, 1). L ottimo è quindi localizzato nel punto A di coordinate x 1 =, x = 3. Si noti il percorso seguito sulla frontiera di S a dalle iterazioni del simplesso, attraverso i vertici (0, 0) (3, 0) (, 3) A.. Trasformando (6) (10) in forma standard, si introducono due variabili di slack x 3, x 5 associate rispettivamente ai vincoli (7) e (9) e una variabile di surplus x 4 associata al vincolo (8). Si ottiene dunque quanto segue. (6 ) max 3x 1 x (7 ) (8 ) (9 ) (10 ) x 1 x + x 3 = 1 x 1 + x x 4 = 1 x 1 + x + x 5 = 0 A differenza di quanto osservato nell esercizio 1, le variabili supplementari x 3, x 4, x 5 non formano una base ammissibile (la soluzione corrispondente avrebbe x 4 = 1). È quindi conveniente impostare il problema di prima fase. In questo caso è sufficiente aggiungere una singola variabile artificiale s 1, in corrispondenza del secondo vincolo. max s 1
5 ALGORITMO DEL SIMPLESSO 5 x 1 x + x 3 = 1 x 1 + x x 4 + s 1 = 1 x 1 + x + x 5 = 0 x 1,..., x 5, s 1 0 Ora la base B 0 = {x 3, s 1, x 5 } è ammissibile per il problema di prima fase, e si può avviare l algoritmo del simplesso. max z = 1 x 1 +x x 4 x 3 = 1 x 1 +x s 1 = 1 +x 1 x +x 4 x 5 = 0 +x 1 1x x 1,..., x 5, s 1 0 B 0 = {x 3, s 1, x 5 } A questo punto entra in base la variabile x (γ > 0) e la regola dei rapporti individua in x 5 la variabile uscente. max z = 1 +3x 1 x 5 x 4 x 3 = 1 +x 1 x 5 s 1 = 1 3x 1 +x 5 +x 4 x = 0 +x 1 x 5 x 1,..., x 5, s 1 0 B 1 = {x 3, s 1, x } Infine entra in base x 1 mentre esce s 1. max z = 0 s 1 x 3 = s x x 4 x 1 = s x x 4 x = 3 3 s x x 4 x 1,..., x 5, s 1 0 B = {x 3, x 1, x 5 } Poiché il problema di prima fase ha una soluzione ottima con funzione obiettivo pari a 0, il programma (6 ) (10 ) ha una soluzione ammissibile di base, corrispondente a x 3 = 4 3, x 1 = 1 3, x = 3 (x 4 = x 5 = 0 perché fuori base). Riformulando ora la funzione obiettivo (6 ) rispetto alla base B si ottiene quanto segue. max z = x x 4 x 3 = x x 4 x 1 = x x 4 x = x x 4 B = {x 3, x 1, x 5 } Sulla colonna di x 4 si può riconoscere la condizione di illimitatezza: γ 4 > 0, con tutti gli α i4 0. Il programma (6) (10) ha quindi S a ma S ott =. Si può osservare che dalla riformulazione è immediato ottenere l equazione parametrica di un raggio lungo il quale la funzione obiettivo cresce indefinitamente: x 3 = x 4 x 1 = x 4 t 0. x = x 4 x 4 = t
6 6 ESERCITAZIONI DI RICERCA OPERATIVA 1 x r x 1 + x = 0 5 3x 1 x = S a x 1 + x = x 1 Figura. Risoluzione per via grafica dell esercizio. (Nota: corrisponde alla semiretta con origine in (x 1 = 1 3, x = 3 ) e giacente sulla retta di equazione x 1 + x = 0.) (b) Operando graficamente si ottiene la rappresentazione di S a data in Figura. La regione S a è illimitata (in alto a destra), e la retta isocosto r può essere spostata nella direzione di crescita indefinitamente. 3. La forma standard di (11) (15) si ottiene introducendo una variabile di slack x 4 e due variabili di surplus x 5, x 6. (11 ) max 3x 1 x + x 3 (1 ) (13 ) (14 ) (15 ) x 1 + x + x 4 = 6 x + x 3 x 5 = 4 x 1 x 3 x 6 = 3 x 1,..., x 6 0 Non avendo a disposizione una base ammissibile iniziale, è conveniente impostare e risolvere il problema di prima fase utilizzando due variabili artificiali s 1, s introdotte nei vincoli (13 ) e (14 ) rispettivamente. max s 1 s x 1 + x + x 4 = 6 x + x 3 x 5 + s 1 = 4 x 1 x 3 x 6 + s = 3 x 1,..., x 6, s 1, s 0
7 ALGORITMO DEL SIMPLESSO 7 Si può quindi applicare l algoritmo del simplesso a partire dalla base iniziale B 0 = {x 4, s 1, s }. max z = 7 +x 1 +x +x 3 x 5 x 6 x 4 = 6 x 1 x s 1 = 4 x x 3 +x 5 B 0 = {x 4, s 1, s } s = 3 1x 1 +x 3 +x 6 x 1,..., x 6, s 1, s 0 max z = 4 s +x +x 3 x 5 x 4 = 0 +s x x 3 x 6 s 1 = 4 x x 3 +x 5 B 1 = {x 4, s 1, x 1 } x 1 = 3 s +x 3 +x 6 x 1,..., x 6, s 1, s 0 max z = 4 +s x 4 x 5 x 6 x 3 = 0 +s 1 x 1 x 4 x 6 s 1 = 4 s +x 4 +x 5 +x 6 B = {x 3, s 1, x 1 } x 1 = 3 1 x 1 x 4 x 1,..., x 6, s 1, s 0 max z = 1 s 1 1 x 4 1 x 5 x 6 x 3 = 1 s 1 1 x + 1 x 5 s = 1 s x x 5 +x 6 B 3 = {x 3, s, x 1 } x 1 = 3 1 x 1 x 4 x 1,..., x 6, s 1, s 0 La base B 3 risulta ottima per il problema di prima fase, con x 3 = 4, s =, x 1 = 3, e valore di funzione obiettivo z = < 0. Quindi il programma lineare (11) (15) non ha soluzioni ammissibili. 4. Si perviene alla forma standard di (16) (0) cambiando segno alla funzione obiettivo e introducendo le variabili di slack x 3, x 4, x 5 rispettivamente nei vincoli (17), (18) e (19). (16 ) (17 ) (18 ) (19 ) (0 ) max x 1 + 3x x 1 + x + x 3 = 4 x 1 + x 4 = 3 x + x 5 = 3 x 1, x, x 3, x 4, x 5 0 Partendo dalla base B 0 = {x 3, x 4, x 5 } si ottiene la riformulazione max z = 0 +x 1 +3x x 3 = 4 x 1 x x 4 = 3 x 1 B 0 = {x 3, x 4, x 5 } x 5 = 3 x
8 8 ESERCITAZIONI DI RICERCA OPERATIVA 1 x 1 S a x 1 Figura 3. Risoluzione per via grafica dell esercizio 4. Avendo γ 3, γ > 0 la soluzione ammissibile di base corrispondente non è ottima, e conviene portare in base x. La variabile uscente, determinata considerando il rapporto minimo { 4 min, 3 } = 3, risulta essere la x 5 (l elemento-cardine è evidenziato in grassetto). Si ottiene quindi max z = 9 +x 1 3 x 5 x 3 = 1 1x 1 +x 5 x 4 = 3 x 1 x = 3 1 x 5 max z = 13 x x 5 x 1 = 1 x 3 +x 5 x 4 = +x 3 1x 5 B 1 = B 0 {x } \ {x 5 } B = B 1 {x 1 } \ {x 3 } x = 3 1 x 5 e infine, portando in base la x 5, max z = 15 3 x 3 1 x 4 x 1 = 3 x 4 x 5 = +x 3 x 4 B 3 = B {x 5 } \ {x 4 } x = 1 1 x x 4. La soluzione x 1 = 3, x = 1 risulta quindi ottima per il problema (16) (0). La soluzione ottenuta con metodo grafico è illustrata in Figura 3 la retta isoprofitto tratteggiata è riferita al programma in forma standard; si noti come l esecuzione del simplesso abbia prodotto la sequenza di vertici (0, 0) (0, 3 ) (1, 3 ) (3, 1 ). 5. La forma standard di (1) (4) si ottiene introducendo la variabile di slack x 3 nel vincolo (), e la variabile di surplus x 4 nel vincolo (3). (1 ) max x 1 x
9 ALGORITMO DEL SIMPLESSO 9 ( ) (3 ) (4 ) x 1 + x + x 3 = 1 x 1 + x x 4 = x 1,..., x 4 0 Dalla forma standard non è immediata la derivazione di una base ammissibile (la base {x 3, x 4 } non è ammissibile). Si può ricorrere al problema di prima fase per determinare una soluzione ammissibile di base iniziale. È sufficiente una singola variabile artificiale s 1, aggiunta al vincolo (3 ), per completare la sottomatrice identità nella matrice del sistema. max s 1 x 1 + x + x 3 = 1 x 1 + x x 4 + s 1 = x 1,..., x 4, s 1 0 Il problema di prima fase così ottenuto ha una base ammissibile evidente B 0 = {x 3, s 1 }. max z = +x 1 +x x 4 x 3 = 1 +x 1 x s 1 = x 1 x +x 4 x 1,..., x 4, s 1 0 max z = 0 s 1 x 3 = x s 1 1 x 4 x = 1 1 x 1 1 s x 4 x 1,..., x 4, s 1 0 B 1 = B 0 {x } \ {s 1 } Poiché il problema di prima fase ha un ottimo con valore nullo, segue che la base B 1 è ammissibile per (1 ) (4 ). Si procede quindi partendo dalla base B 1, eliminando la variabile artificiale s 1 e riformulando la funzione obiettivo (1 ) rispetto a B 1 : ( z = x 1 x = x x ) x 4 = x 1 1 x 4. max z = x 1 1 x 4 x 3 = x 1 1 x 4 x = 1 1 x x 4 x 1,..., x 4, s 1 0 max z = 4 5x +x 4 x 3 = 3 3x +x 4 x 1 = x +x 4 x 1,..., x 4, s 1 0 B = B 1 {x 1 } \ {x } Nell ultima riformulazione si osserva la condizione di illimitatezza γ 4 > 0, α 34, α Risulta quindi S a, S ott =. La funzione obiettivo cresce illimitatamente
10 10 ESERCITAZIONI DI RICERCA OPERATIVA 1 lungo la semiretta x 1 = + t x = 0 x 3 = 3 + t x 4 = t t 0.
Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso. Luigi De Giovanni, Laura Brentegani
Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso Luigi De Giovanni, Laura Brentegani 1 1) Risolvere il seguente problema di programmazione lineare. ma + + 3 s.t. 2 + + 2 + 2 + 3 5 2 + 2 + 6,, 0 Soluzione.
Dettaglimin 4x 1 +x 2 +x 3 2x 1 +x 2 +2x 3 = 4 3x 1 +3x 2 +x 3 = 3 x 1 +x 2 3x 3 = 5 Innanzitutto scriviamo il problema in forma standard: x 1 x 2 +3x 3 = 5
IL METODO DEL SIMPLESSO 65 Esercizio 7.4.4 Risolvere utilizzando il metodo del simplesso il seguente problema di PL: min 4 + + + + = 4 + + = + = 5 Innanzitutto scriviamo il problema in forma standard:
Dettagli1. Sia dato un poliedro. Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette.
. Sia dato un poliedro. (a) Un vettore x R n è un vertice di P se soddisfa alla seguenti condizioni: x P e comunque presi due punti distinti x, x 2 P tali che x x e x x 2 si ha x = ( β)x + βx 2 con β [0,
DettagliUn applicazione della programmazione lineare ai problemi di trasporto
Un applicazione della programmazione lineare ai problemi di trasporto Corso di Ricerca Operativa per il Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria della Sicurezza: Trasporti e Sistemi Territoriali AA 2012-2013
DettagliRicerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso
Ricerca Operativa 2. Introduzione al metodo del Simplesso Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema di ottimizzazione vincolata è definito dalla massimizzazione
DettagliLezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Lezione n 4
Lezioni di Ricerca Operativa Lezione n 4 - Problemi di Programmazione Matematica - Problemi Lineari e Problemi Lineari Interi - Forma Canonica. Forma Standard Corso di Laurea in Informatica Università
DettagliRicerca Operativa Esercizi risolti sulle condizioni di complementarietà primale-duale. L. De Giovanni, V. Dal Sasso
Ricerca Operativa Esercizi risolti sulle condizioni di complementarietà primale-duale L. De Giovanni, V. Dal Sasso 1 Esercizio 1. Dato il problema min 2x 1 x 2 s.t. x 1 + 2x 2 7 2x 1 x 2 6 3x 1 + 2x 2
DettagliOttimizzazione Multi Obiettivo
Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali
DettagliFlusso a costo minimo e simplesso su reti
Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
DettagliRICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007
RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007 Rispondere alle seguenti domande marcando a penna la lettera corrispondente alla risposta ritenuta corretta (una sola tra quelle riportate). Se
Dettaglib i 1,1,1 1,1,1 0,1,2 0,3,4
V o Appello // RICERCA OPERATIVA - Corso A (a.a. 9/) Nome Cognome: Corso di Laurea: L C6 LS LM Matricola: ) Si consideri il problema di flusso di costo minimo in figura. Si verifichi se il flusso ammissibile
DettagliPROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA dipendenti da una sola variabile di scelta con effetti immediati
prof. Guida PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA dipendenti da una sola variabile di scelta con effetti immediati sono quei problemi nei quali gli effetti della scelta sono noti e immediati ESERCIZIO
DettagliEsercitazione in Laboratorio: risoluzione di problemi di programmazione lineare tramite Excel il mix di produzione
Esercitazione in Laboratorio: risoluzione di problemi di programmazione lineare tramite Excel il mix di produzione Versione 11/03/2004 Contenuto e scopo esercitazione Contenuto esempi di problema di programmazione
DettagliLa dualità nella Programmazione Lineare
Capitolo 5 La dualità nella Programmazione Lineare In questo capitolo verrà introdotto un concetto di fondamentale importanza sia per l analisi dei problemi di Programmazione Lineare, sia per lo sviluppo
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliLa Programmazione Lineare
4 La Programmazione Lineare 4.1 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Esercizio 4.1.1 Fornire una rappresentazione geometrica e risolvere graficamente i seguenti problemi
DettagliLuigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it
Automazione industriale dispense del corso 10. Reti di Petri: analisi strutturale Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it Analisi strutturale Un alternativa all analisi esaustiva basata sul grafo di raggiungibilità,
Dettaglidella funzione obiettivo. Questo punto dovrebbe risultare chiaro se consideriamo una generica funzione:
Corso di laurea in Economia e finanza CLEF) Economia pubblica ************************************************************************************ Una nota elementare sulla ottimizzazione in presenza di
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliMetodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Il problema del flusso di costo minimo
Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Il problema del flusso di costo minimo L. De Giovanni G. Zambelli 1 Problema del flusso a costo minimo Il problema del flusso a costo minimo é definito
DettagliIntelligenza Artificiale
Intelligenza Artificiale Esercizi e Domande di Esame Tecniche di Ricerca e Pianificazione Esercizi Griglia Si consideri un ambiente costituito da una griglia n n in cui si muove un agente che può spostarsi
DettagliProblema del trasporto
p. 1/1 Problema del trasporto Supponiamo di avere m depositi in cui è immagazzinato un prodotto e n negozi che richiedono tale prodotto. Nel deposito i è immagazzinata la quantità a i di prodotto. Nel
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliEsponenziali elogaritmi
Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.
DettagliRicerca Operativa A.A. 2007/2008. 10. Dualità in Programmazione Lineare
Ricerca Operativa A.A. 2007/2008 10. Dualità in Programmazione Lineare Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa - 10. Dualità in Programmazione Lineare 10.1 Soluzione di un problema di PL: punti di vista
DettagliOttimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni
Ottimizzazione nella gestione dei progetti Capitolo 4: la gestione dei costi (Programmazione multimodale): formulazioni CARLO MANNINO Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica
DettagliModello matematico PROGRAMMAZIONE LINEARE PROGRAMMAZIONE LINEARE
PRGRMMZIN LINR Problemi di P.L. in due variabili metodo grafico efinizione: la programmazione lineare serve per determinare l allocazione ottimale di risorse disponibili in quantità limitata, per ottimizzare
DettagliProgrammazione lineare
Capitolo 1 Programmazione lineare ESERCIZIO 1.1. Porre in forma canonica i seguenti programmi lineari. min 3x 1 + 4x 2 2x 3 x 1 + 2x 2 x 3 5 2x 1 + 4x 3 = 12 x 1 + x 2 + x 3 15 x 1, x 2 0, x 3 libera.
DettagliModulo 2. Domanda aggregata e livello di produzione
Modulo 2 Domanda aggregata e livello di produzione Esercizio. In un sistema economico privo di settore pubblico, la funzione di consumo è: C = 200 + 0.8Y; gli investimenti sono I= 50. a) Qual è il livello
DettagliRicerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari
Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un azienda intende incrementare il proprio organico per ricoprire alcuni compiti scoperti. I dati relativi ai compiti
DettagliLaboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a. 2012-13 Homework n 13. Docente: Laura Palagi
Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a. 2012-13 Homework n 13 Docente: Laura Palagi A.A. 2012/2013 Laboratorio di Ricerca Operativa BGER Leonardo Mastrantoni
DettagliMassimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili
Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente
Dettagli1 Estensione in strategia mista di un gioco
AVVERTENZA: Di seguito trovate alcuni appunti, poco ordinati e poco formali, che uso come traccia durante le lezioni. Non sono assolutamente da considerarsi sostitutivi del materiale didattico. Riferimenti:
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati In problemi di massimo e minimo vincolato viene richiesto di ricercare massimi e minimi di una funzione non definita su tutto R n, ma su un suo sottoinsieme proprio. Esempio:
DettagliCapitolo 4: Ottimizzazione non lineare non vincolata parte II. E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano
Capitolo 4: Ottimizzazione non lineare non vincolata parte II E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano 4.3 Algoritmi iterativi e convergenza Programma non lineare (PNL): min f(x) s.v. g i (x) 0 1 i m x S
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
DettagliControlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.
Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:
Dettagli8 - Analisi della deformazione
8 - Analisi della deformazione ü [A.a. - : ultima revisione 6 ottobre ] Esercizio n. Si supponga di voler conoscere sperimentalmente lo stato di deformazione in un punto M di un solido. A tal fine, si
DettagliRette e piani con le matrici e i determinanti
CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.
DettagliModelli per la gestione delle scorte
Modelli per la gestione delle scorte Claudio Arbib Università di L Aquila Seconda Parte Sommario Sui problemi di gestione aperiodica equazioni di stato Funzioni di costo Un modello convesso formulazione
DettagliFormule trigonometriche
Formule trigonometriche C. Enrico F. Bonaldi 1 Formule trigonometriche In trigonometria esistono delle formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma di due angoli
DettagliCONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE
CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).
DettagliCOMPITO DI RICERCA OPERATIVA. (5 punti) Sia dato il seguente problema di PL: min x 1 + x 2 x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 2 2x 1 + x 2 3.
COMPITO DI RICERCA OPERATIVA ESERCIZIO 1. (5 punti) Sia dato il seguente problema di PL: min x 1 + x 2 x 1 + x 2 x 1 + x 2 2 2x 1 + x 2 x 1 0 x 2 0 Si trasformi questo problema in forma standard e lo si
DettagliEsercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliCapitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore
Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:
Dettagli9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU
9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A LU 9.1 Il metodo di Gauss Come si è visto nella sezione 3.3, per la risoluzione di un sistema lineare si può considerare al posto
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
Dettaglia) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1
LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliOttimizazione vincolata
Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l
DettagliGuida alla redazione del Fascicolo XBRL
o Europeo 2015 22.2.3 BILANCIO EUROPEO 2015 Guida alla redazione del Fascicolo XBRL Versione 22.2.3 Data Marzo 2015 Sommario GUIDA ALLA REDAZIONE DEL FASCICOLO XBRL parte 1 Premessa o Europeo e la gestione
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliAlgebra Lineare e Geometria
Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da
DettagliLa Minimizzazione dei costi
La Minimizzazione dei costi Il nostro obiettivo è lo studio del comportamento di un impresa che massimizza il profitto sia in mercati concorrenziali che non concorrenziali. Ora vedremo la fase della minimizzazione
DettagliUniversità degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia. Prova scritta del 12 luglio 2011 SOLUZIONI
Università degli Studi di Milano / Bicocca Facoltà di Economia MATEMATICA FINANZIARIA EcoCom A-Le / Li-Z Prova scritta del luglio SOLUZIONI Per gli studenti immatricolati entro il 7/8 (45cfu): L operazione
Dettagli- Trovare soluzione ottima primale ( con il simplesso o algoritmo analogo)
Se si ha un problema lineare e' possibile risolverlo in piu' modi (equivalenti ) - Trovare soluzione ottima primale ( con il simplesso o algoritmo analogo) - Trovare soluzione ottima duale (con il simplesso
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
Dettaglix 1 x 2 x 3 x 5 La base iniziale è B 0 = I e risulta x B 0 = , x N 0 = Iterazione 0. Calcolo dei costi ridotti. γ 0 = c N 0 (N 0 ) T c B 0 =
56 IL METODO DEL SIMPLESSO 7.4 IL METODO DEL SIMPLESSO In questo paragrafo sono riportati alcuni esercizi risolti sul metodo del simplesso. Alcuni sono risolti utilizzando la procedura di pivot per determinare,
DettagliE possibile modificare la lingua dei testi dell interfaccia utente, se in inglese o in italiano, dal menu [Tools
Una breve introduzione operativa a STGraph Luca Mari, versione 5.3.11 STGraph è un sistema software per creare, modificare ed eseguire modelli di sistemi dinamici descritti secondo l approccio agli stati
DettagliSPECTER OPS. L'obiettivo del giocatore agente è quello che il suo agente completi 3 su 4 missioni obiettivo qualsiasi
SPECTER OPS REGOLE 2-3 giocatori: 1 agente e 2 cacciatori - Le 4 missioni obiettivo sono conosciute dai giocatori: si lancia il dado e si segnano col relativo gettone sul lato verde sulla plancia e sul
DettagliRicerca Operativa (Compito A) Appello del 16/06/2014 Andrea Scozzari
Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 16/06/2014 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un agenzia finanziaria deve investire 1000000 di euro di un suo cliente in fondi di investimento. Il mercato offre cinque
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliProdotto Disponibilità Costo 1 3000 3 2 2000 6 3 4000 4. e rispettando le seguenti regole di composizione delle benzine:
1.1 Pianificazione degli investimenti. Una banca deve investire C milioni di Euro, e dispone di due tipi di investimento: (a) con interesse annuo del 15%; (b) con interesse annuo del 25%. Almeno 1 di C
DettagliRicerca Operativa Dualità e programmazione lineare
Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi alle spiegazioni del
DettagliProgrammazione dinamica
Capitolo 6 Programmazione dinamica 6.4 Il problema della distanza di edit tra due stringhe x e y chiede di calcolare il minimo numero di operazioni su singoli caratteri (inserimento, cancellazione e sostituzione)
DettagliUniversità del Salento
Università del Salento Dipartimento di Matematica DAI SISTEMI DI DISEQUAZIONI LINEARI.. ALLA PROGRAMMAZIONE LINEARE Chefi Triki La Ricerca Operativa Fornisce strumenti matematici di supporto alle attività
Dettagli4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0
Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice
DettagliLe equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.
Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,
DettagliEconomia Applicata ai sistemi produttivi. 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1
Economia Applicata ai sistemi produttivi 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1 Schema della lezione di oggi Argomento della lezione: il comportamento del consumatore. Gli economisti assumono che il
DettagliVERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.
VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse,
DettagliEsercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di
Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva
DettagliFondamenti e didattica di Matematica Finanziaria
Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo 1-20126 MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1 Unità 9 Contenuti della lezione Operazioni finanziarie, criterio
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
DettagliEsercizi svolti di Elettrotecnica
Marco Gilli Dipartimento di Elettronica Politecnico di Torino Esercizi svolti di Elettrotecnica Politecnico di Torino TOINO Maggio 2003 Indice Leggi di Kirchhoff 5 2 Legge di Ohm e partitori 5 3 esistenze
DettagliLa scelta in condizioni di incertezza
La scelta in condizioni di incertezza 1 Stati di natura e utilità attesa. L approccio delle preferenza per gli stati Il problema posto dall incertezza riformulato (state-preference approach). L individuo
DettagliConsideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliESERCITAZIONE Scrittura di un programma CNC per la fresatura di un componente dato
ESERCITAZIONE Scrittura di un programma CNC per la fresatura di un componente dato Nella presente esercitazione si redige il programma CNC per la fresatura del pezzo illustrato nelle Figure 1 e 2. Figura
DettagliCorso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti
Corso di Analisi Numerica - AN1 Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari Roberto Ferretti Richiami sulle norme e sui sistemi lineari Il Metodo di Eliminazione di Gauss Il Metodo di Eliminazione con
DettagliCapitolo 26: Il mercato del lavoro
Capitolo 26: Il mercato del lavoro 26.1: Introduzione In questo capitolo applichiamo l analisi della domanda e dell offerta ad un mercato che riveste particolare importanza: il mercato del lavoro. Utilizziamo
DettagliIndice. Nota degli autori. 1 Capitolo 1 Introduzione alla ricerca operativa
XI Nota degli autori 1 Capitolo 1 Introduzione alla ricerca operativa 1 1.1 Premessa 1 1.2 Problemi di ottimizzazione 6 1.3 Primi approcci ai modelli di ottimizzazione 13 1.4 Uso del risolutore della Microsoft
Dettagli1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
DettagliTeoria dei Fenomeni Aleatori 1
Integrale Doppio Sia g( x,y ) una funzione continua nel piano ( x,y ) o D è un dominio sul piano ( x,y ) o P è una sua partizione che ricopre il dominio D: ( ) P D D... D... = 1,1 1,2 i,j, con Di,j = ΔxiΔ
DettagliArchitettura degli Elaboratori I Esercitazione 1 - Rappresentazione dei numeri
Architettura degli Elaboratori I Esercitazione 1 - Rappresentazione dei numeri 1 Da base 2 a base 10 I seguenti esercizi richiedono di convertire in base 10 la medesima stringa binaria codificata rispettivamente
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliFunzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y
Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
Dettagli(71,1), (35,1), (17,1), (8,1), (4,0), (2,0), (1,0), (0,1) 0, 7155 2 = 1, 431 0, 431 2 = 0, 862 0, 896 2 = 1, 792 0, 724 2 = 1, 448 0, 448 2 = 0, 896
2 Esercizio 2.2 La rappresentazione esadecimale prevede 16 configurazioni corrispondenti a 4 bit. Il contenuto di una parola di 16 bit può essere rappresentato direttamente con 4 digit esadecimali, sostituendo
DettagliAngela GHIRALDINI. Formulata dalla OPERTIONS RESEARCH SOCIETY of AMERICA. Questa definizione fa riferimento a due concetti in particolare :
Angela GHIRALDINI RICERCA OPERATIVA DEFINIZIONE Procedimento della scienza moderna di fronte ai complessi problemi di scelta che sorgono nella direzione dei grandi sistemi di uomini, macchine, materiale
DettagliCorso di Macroeconomia. Il modello IS-LM. Appunti
Corso di Macroeconomia Il modello IS-LM Appunti 1 Le ipotesi 1. Il livello dei prezzi è fisso. 2. L analisi è limitata al breve periodo. La funzione degli investimenti A differenza del modello reddito-spesa,
Dettagli(a cura di Francesca Godioli)
lezione n. 12 (a cura di Francesca Godioli) Ad ogni categoria della variabile qualitativa si può assegnare un valore numerico che viene chiamato SCORE. Passare dalla variabile qualitativa X2 a dei valori
DettagliSOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015
SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 015 1. Indicando con i minuti di conversazione effettuati nel mese considerato, la spesa totale mensile in euro è espressa dalla funzione f()
DettagliRisolvere un problema significa individuare un procedimento che permetta di arrivare al risultato partendo dai dati
Algoritmi Algoritmi Risolvere un problema significa individuare un procedimento che permetta di arrivare al risultato partendo dai dati Il procedimento (chiamato algoritmo) è composto da passi elementari
DettagliIl valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p.
Il valore assoluto F Battelli Università Politecnica delle Marche Ancona Pesaro Precorso di Analisi 1 22-28 Settembre 2005 p1/23 Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l
DettagliSono casi particolari di MCF : SPT (cammini minimi) non vi sono vincoli di capacità superiore (solo x ij > 0) (i, j) A : c ij, costo di percorrenza
Il problema di flusso di costo minimo (MCF) Dati : grafo orientato G = ( N, A ) i N, deficit del nodo i : b i (i, j) A u ij, capacità superiore (max quantità di flusso che può transitare) c ij, costo di
Dettagli