Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 13. Docente: Laura Palagi

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1 Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 13 Docente: Laura Palagi

2 A.A. 2012/2013 Laboratorio di Ricerca Operativa BGER Leonardo Mastrantoni Emanuele Proietto Pietrangeli Marco

3 INTRODUZIONE: Negli ultimi anni è cresciuta l attenzione per il recupero dei materiali, tra cui la carta. La carta e i cartoni utilizzati per il riciclo sono raggruppabili in n tipi differenti. Degli n tipi, i primi n1 sono completamente utilizzabili per il riciclaggio, n2 sono utilizzabili all 85%, n3 sono utilizzabili al 60%, e i rimanenti solo al 5% (n1 + n2 + n3 < n). La carta di recupero viene processata ottenendo m distinti tipi di pasta di carta che verrà utilizzata insieme a delle quantità di cellulosa nuova, per la produzione di n tipi di carta nuova.

4 PROBLEMA Il riciclaggio della carta può essere diviso in due parti: La prima che riguarda la raccolta di carta usata e il suo riciclo che dipende dal tipo di carta considerato. La seconda utilizza la pasta di carta derivante dalla prima fase e cellulosa nuova per la produzione di carta nuova.

5 PROCESSO Carta Recuperata Pasta di carta Carta Nuova

6 1 PARTE VARIABILI X ij = tonnellate di carta usata i che compongono la pasta di carta j PARAMETRI q i = percentuale di carta i che può essere riciclata rispetto al totale recuperato R ij = matrice d incidenza che indica quale tipo di pasta j può essere composta dalla carta i p i = tonnellate di carta i che si può riciclare al massimo annualmente

7 VINCOLI 1 PARTE Massima quantità di carta i riciclata per la produzione m q i R ij X ij p i i = 1, n j=1

8 2 PARTE VARIABILI y ij = tonnellate di pasta di carta j che compongono la carta nuova i z i = tonnellate di cellulosa nuova che compongono la carta nuova i PARAMETRI N ij = matrice d incidenza che indica quale tipo di carta i può esser composta dalla pasta j. L i = percentuale minima del peso della cellulosa nuova rispetto al peso totale della carta i. c i = quantità minima di carta nuova i da produrre annualmente

9 VINCOLI 2 PARTE Produzione minima m 1) z i + N ij y ij c i i = 1,, n j=1 Quantità minima di cellulosa (vincolo di qualità) m 2) z i L i z i + N ij y ij i = 1,, n j=1

10 ALTRI VINCOLI Produzione non può eccedere la disponibilità di risorse n i=1 (q i R ij x ij ) n i=1 N ij y ij j = 1,, m Non Negatività delle variabili x ij, y ij 0 i = 1,, n j = 1,, m

11 FUNZIONE OBIETTIVO Minimizzare la quantità di cellulosa nuova utilizzata per la produzione n min z i i=1

12 FUNZIONE OBIETTIVO DUALE max n i=1 p i T u i + c i T v i u i = effetto sulla f. obiettivo del primale di una variazione della quantità massima di carta recuperabile v i = effetto sulla f. obiettivo del primale di una variazione della quantità minima di carta nuova da produrre VINCOLI SULLE VARIABILI DUALI u i 0 v i 0

13 CASO APPLICATO n = 5 tipi di carta m = 3 tipi di pasta di carta riciclata. tipo di carta tonnellate riciclate tonnellate prodotte % riciclabiile % cellulosa nuova % 40% % 30% % 45% % 60% % 30%

14 MATRICI DI INCIDENZA: tipo di carta/ tipo di pasta tipo di pasta/ tipo di carta nuova

15 ANALISI DEI RISULTATI Inserendo tutti i dati, i vincoli e la funzione obiettivo in Excell e mandando in esecuzione il risolutore si ottengono i seguenti risultati: Valore della f. obiettivo: tonnellate di cellulosa nuova Variabili: sono tutte continue. Vincoli: 17 risultano essere attivi Il vincolo di qualità legato alla carta nuova 4 non è attivo con un surplus di tonnellate di cellulosa nuova rispetto al minimo richiesto. Per la condizione di complementarietà quindi il prezzo ombra (visibile nel rapporto di sensibilità) legato a questo vincolo è uguale a zero. Rapporto di sensibilità: Costi ridotti: sono tutti uguali a zero visto che ho delle quantità minime di cellulosa nuova per ogni tipo di carta (yij 0) SBA: la base deve essere composta da 18 variabili (= il numero di vincoli). 17 di queste sono individuabili tra le xij e le yij. La diciottesima è la variabile di surplus.

16 ANALISI DI SCENARIO 1 Se si varia uno dei parametri pi, ossia si varia la massima disponibilità di carta i-esima riciclata, dato che il vincolo è attivo, andrà a variare il valore all ottimo della funzione obiettivo. Inoltre essendo la variabile duale associata ui = -1 si avrà una variazione del valore della funzione obiettivo uguale in modulo ma di segno inverso rispetto alla variazione effettuata sulle pi. Esempio: aumentando nella pagina dati p1 di tonnellate e portandolo quindi a , si ottiene un valore della f.obiettivo di tonnellate con una variazione di (25000) rispetto al caso di partenza. Infatti questa disponibilità in più di carta riciclata viene utilizzata al posto della cellulosa nuova in eccesso che componeva la carta 4.

17 ANALISI DI SCENARIO 2 Se si varia uno dei parametri ci, ossia si varia la quantità minima di carta i-esima da produrre, dato che il vincolo è attivo, andrà a variare il valore all ottimo della funzione obiettivo. Inoltre essendo la variabile duale associata vi = 1 si avrà una variazione del valore della funzione obiettivo uguale in modulo e in segno rispetto alla variazione effettuata. Esempio: aumentando nella pagina dati c3 di tonnellate e portandolo quindi a , si ottiene un valore della f.obiettivo di tonnellate con una variazione di +(40000) rispetto al caso di partenza. Infatti dato che le risorse di partenza venivano già completamente utilizzate (ossia i vincoli riguardanti le pi erano attivi), per produrre carta nuova in più possiamo solamente aggiungere cellulosa nuova.

18 ANALISI DI SCENARIO 3 Se si considera il vincolo di qualità legato alla carta nuova 4, essendo questo non attivo, esiste un range entro il quale variando il parametro L4, il valore all ottimo della f.obiettivo non varia. L4 può essere portato fino al 75,3%, ossia il 15,3% in più rispetto alla situazione di partenza, senza che cambi il valore all ottimo. Questo 15,3% in più deriva dal fatto che le tonnellate in più di cellulosa nuova che si hanno nella carta 4 (ossia la variabile di Surplus collegata al vincolo di qualità della carta nuova 4) rappresentano il 15,3% della quantità minima da produrre ( tonnellate). Se L4 diventa maggiore del 75,3 % il valore all ottimo della f. obiettivo cambia: Ad esempio con L4= 76%, il valore ottimo della funzione obiettivo diventa con un aumento di 2400 tonnellate rispetto al caso di partenza.