Programmazione lineare
|
|
- Eugenio Antonelli
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Programmazione lineare Dualitá: definizione, teoremi ed interpretazione economica Raffaele Pesenti 1 Dualità 1.1 Definizione e teoremi Definizione 1 Dato un problema di LP in forma canonica max x = ct x (1a) Ax b (1b) x 0 (1c) si definisce duale di (1) il seguente problema min λ G = b T λ (2a) A T λ c (2b) λ 0 (2c) Il problema originale è detto primale. È generalmente accettato il seguente fatto: Fatto 1 (Interpretazione economica) Ogni problema duale ha un significato economico che permette di vedere il problema reale che ha originato il modello lineare sotto una diversa luce e può suggerire strategie di comportamento differenti. Ad esempio il duale, di un problema di definizione del mix di prodotti ottimi da produrre a risorse limitate volendo ottimizzare il profitto, può essere interpretato come il problema di determinazione del minimo prezzo a cui conviene vendere le risorse disponibili piuttosto che produrre. La relazione primale duale è caratterizzata dall esistenza dei seguenti teoremi: Teorema 1 Il duale del duale è il primale. Teorema 2 (Dualità debole) Data una coppia primale/duale (e.g., (1) e (2)), se x è soluzione ammissibile per il primale e λ è soluzione ammissibile per il duale, allora valgono le seguenti relazioni tra i costi associati a tali soluzioni: se il primale è un problema di massimo e il duale di minimo, altrimenti, se il primale è un problema di minimo e il duale di massimo. c T x b T λ (3a) c T x b T λ (3b) 1
2 Il teorema di dualità debole permette di eseguire stime sul valore della soluzione ottima del problema primale senza la necessità di risolvere lo stesso. Infatti il teorema di dualità debole afferma che il valore della funzione obiettivo duale, calcolato rispetto a qualunque soluzione duale ammissibile, è certamente non peggiore del valore ottimo del problema primale. Il teorema di dualità debole ha anche interessanti conseguenze economiche. Dovendo affrontare un problema di produzione, se si trova qualcuno disposto a pagare le risorse disponibili a dei prezzi che soddisfano i vincoli del duale, allora si può decidere certamente di vendere anche senza determinare il profitto associato al mix ottimale, Infatti il teorema di dualità debole garantisce che in questo caso il profitto proveniente dalla vendita considerata non può essere minore di quello massimo ottenibile dalla lavorazione delle risorse. Corollario Se il primale non è limitato il duale non è ammissibile. Non vale il corollario inverso. Se il primale non è ammissibile, il duale certamente non ha soluzione ottima limitata, ma può sia essere illimitato che non ammissibile. Teorema 3 (Dualità forte) Data una coppia primale/duale (e.g., (1) e (2)), se esiste x soluzione ottima per il primale, allora esiste λ soluzione ottima per il duale, inoltre i costi ottimali sono uguali c T x = b T λ (4) Il teorema di dualità forte permette di definire una patente che garantisce l ottimalità delle soluzioni ottenute. Infatti attraverso di esso è immediatamente verificabile se una coppia di soluzioni, rispettivamente ammissibili per il primale e per il duale, è ottima. L esistenza di una qualche patente di ottimalità, verificabile in tempo polinomiale, è una caratteristica dei problemi che hanno facile soluzione. Nei problemi difficili tipicamente non è possibile dimostrare l ottimalità della soluzione se non confrontandola con tutte le altre, spesso numerosissime. Teorema 4 (Slackness complementarity) Data una coppia primale/duale (e.g., (1) e (2)) e una coppia di soluzioni ammissibili x e λ, allora tali soluzioni sono anche ottime se e solo se: 1.2 Trasformazione primale duale λ i (A i. x b i ) = 0 i (5) x j (A Ṭ jλ c j ) = 0 j (6) Tutti i problemi di LP possono essere facilmente ricondotti alla forma canonica (1). Per fare ciò può essere necessario cambiare il verso a disuguaglianze e segni a coefficienti, nonchè trasformare i vincoli di uguaglianza in una coppia di vincoli di disuguaglianza e le variabili non limitate in segno in una coppia di variabili non negative. min c T x max x x ct x (7a) A i. x b i A i. x b i (7b) { Ai. x b A i. x = b i i (7c) A i. x b i x j > < 0 x + j 0, x j 0 (x j = x + j x j ) (7d) Per facilitare sia le trasformazioni da primale a duale che l interpretazione economica del duale, può comunque essere utile partizionare inizialmente i problemi di programmazione lineare in due grandi classi: problemi in cui viene massimizzato un profitto avendo a disposizione risorse limitate, e.g., problema produzione; problemi in cui viene minimizzato un costo dovendo soddisfare delle esigenze prefissate, e.g., problema dieta; 2
3 Un problema appartenente alla prima classe ha tipicamente la seguente struttura, o può ad essa essere banalmente ricondotto: max x F = ct 1 x 1 + c T 2 x 2 (8a) A 11 x 1 + A 12 x 2 b 1 : λ 1 (8b) A 21 x 1 + A 22 x 2 = b 2 : λ 2 (8c) x 1 0 (8d) x 2 > < 0 (8e) dove λ 1, λ 2 a fianco delle condizioni (8b) e (8c) servono a ricordare quali variabili duali sono associate a tali vincoli. Il duale di (8) è min λ G = b T 1 λ 1 + b T 2 λ 2 (9a) A T 11λ 1 + A T 21λ 2 c 1 : x 1 (9b) A T 12λ 1 + A T 22λ 2 = c 2 : x 2 (9c) λ 1 0 (9d) λ 2 > < 0 (9e) come può essere verificato riconducendosi prima alla forma canonica (1) attraverso le trasformazioni (7), deducendo quindi il duale ed applicando infine le trasformazioni inverse sulle variabili duali. Un problema appartenente alla seconda classe ha tipicamente la struttura (9), o può ad essa essere banalmente ricondotto, e quindi il suo duale è (8). 1.3 Interpretazione economica del duale In questa sezione vengono considerati i due problemi paradigmatici delle due classi definite in precedenza. In particolare viene presentata la loro struttura generale, vengono formalizzati i duali ed è data a questi ultimi una interpretazione economica Il problema di definizione del mix di prodotti Enunciato 1 (problema di definizione del mix di prodotti) Avendo a disposizione una certa quantità di materie prime, determinare il mix ottimale di prodotti che deve andare in produzione per massimizzare il profitto di una data azienda. Per potere formalizzare matematicamente e quindi risolvere il problema si devono individuare: variabili decisionali, obiettivi e vincoli. Si possono certamente definire variabili decisionali le quantità dei diversi prodotti che dovranno essere presenti nel mix ottimale. È necessario definire una variabile per ogni tipo di prodotto. Devono essere considerati di tipo diverso anche prodotti uguali che però sono caratterizzati da differenti modalità di produzione o da differenti profitti. Può essere anche opportuno introdurre dei prodotti nulli, la cui produzione non è altro che il consumo di risorse senza profitto o addirittura con perdite (profitti negativi). Al fine di formalizzare matematicamente l obiettivo, per ogni tipo di prodotto bisogna individuare il valore del profitto unitario legato alla sua vendita. Per le considerazioni fatte riguardo alle variabili, alcuni dei profitti possono essere negativi, inoltre ad alcuni prodotti identici tra loro possono essere associati profitti diversi. Nella individuazione dei profitti bisogna fare estrema attenzione in quanto si assume che ogni bene prodotto sia venduto, il che non è sempre vero nella realtà. Per quanto riguarda i vincoli, essi generalmente sono riconducibili alle seguenti classi: vincoli relativi alla limitata disponibilità di risorse. In tali vincoli la disuguaglianza è del tipo minore o uguale, il termine noto esprime la quantità di risorsa disponibile, mentre i coefficienti delle variabili esprimono il consumo di risorsa dovuto alla lavorazione di un unità del tipo di prodotto associato alla variabile a cui fanno riferimento. Vi possono essere coefficienti negativi nel caso in cui la lavorazione di un prodotto fornisca come materiale di scarto qualcosa di utilizzabile per altri prodotti, e.g., il truciolato nell industria del legno o gli scarti nell industria alimentare; 3
4 vincoli relativi alla quantità minima di risorsa che deve essere consumata. Tali vincoli sono tipicamente legati ad imposizioni di legge o contrattuali. Ad esempio nell industria del vetro o della carta parte delle materie prime utilizzate devono per legge provenire dalla raccolta differenziata. La disuguaglianza in questo caso è del tipo maggiore o uguale o semplicemente uguale. Le caratteristiche delle rimanenti componenti dei vincoli non cambiano dal caso precedente; vincoli relativi alla massima capacità o di produzione dell azienda o di assorbimento del mercato dei vari tipi di prodotto; vincoli relativi alla produzione minima dei vari tipi di prodotto. Questo tipo di vincolo può essere necessario perchè l azienda è obbligata a produrre certi prodotti ad esempio per motivi legislativi, oppure per essere presente sul mercato Il problema di definizione del mix di prodotti: esempio Enunciato 2 Si consideri una cartiera che può produrre 3 tipi di carta, A, B e C. Per la produzione utilizza 2 tipi di risorse, 1 e 2. In particolare la seconda risorsa è una pasta di cellulosa che può provenire dal legno oppure dalla carta ricliclata. In questo ultimo caso tale pasta è più costosa, ma l azienda è obbligata per legge ad utilizzarne almeno una certa quantità ai fini della produzione. Il mercato ha delle capacità limitate di assorbimento dei prodotti A, inoltre richiede che l azienda, per motivi di immagine, produca almeno una quantità minima di carta di tipo C. Determinare il mix ottimale di prodotti che deve andare in produzione per massimizzare il profitto. L enunciato del problema è volutamente un po ambiguo. Infatti, dall analisi dello stesso si deduce che è opportuno distinguere 3 tipi di risorse, la risorsa di tipo 1, la risorsa di tipo 2n (pasta proveniente dal legno) e la risorsa di tipo 2r (pasta proveniente dalla carta riciclata). Di conseguenza esistono sei tipi di carta, almeno dal punto di vista dei profitti, i tipi An, Bn e Cn provenienti da produzioni che utilizzano la risorsa di tipo 2n e i tipi Ar, Br e Cr provenienti da produzioni che utilizzano la risorsa di tipo 2r. Le variabili decisionali corrispondono, quindi, alle quantità da produrre per ognuno dei tipi di carta. Siano, per ogni tipo di carta, x jn e x jr le variabili decisionali, c jn e c jr i profitti corrispondenti. Per la carta A, indipendentemente dal profitto raggiunto, sia u A la massima quota di mercato copribile, viceversa sia l c la minima quota che si vuole coprire con la carta di tipo C. Siano b 1, b 2n e b 2r la disponibilità delle risorse e, per la risorsa 2r, sia m 2r la quantità minima di cui è imposto il consumo. Infine sia a ij la quantità di risorsa i usata nella produzione di un unità di prodotto j. Si noti che questi coefficienti non sono caratterizzati da pedici n e r in quanto i consumi sono indipendenti dalla provenienza della pasta di cellulosa. Il problema primale risulta essere: max Anx An + c Ar x Ar + c Bn x Bn + c Br x Br + c Cn x Cn + c Cr x Cr x (10a) a 1A x An + a 1A x Ar + a 1B x Bn + a 1B x Br + a 1C x Cn + a 1C x Cr b 1 (10b) a 2A x An + a 2B x Bn + a 2C x Cn b 2n (10c) a 2A x Ar + a 2B x Br + a 2C x Cr b 2r (10d) a 2A x Ar + a 2B x Br + a 2C x Cr m 2r (10e) x An + x Ar u A (10f) x Cn + x Cr l C (10g) x An, x Ar, x Bn, x Br, x Cn, x Cr 0 (10h) dove i vincoli (10b), (10c) e (10d) impongono di non consumare più risorse di quelle disponibili; il vincolo (10e) impone di consumare almeno una quantità m 2r di risorsa 2r; il vincolo (10f) impone di non produrre più carta di tipo A di quella che può assorbire il mercato; il vincolo (10g) impone di produrre almeno una certa quantità di carta di tipo C. Prima di formulare il duale conviene riportarsi ad una forma tipo (8): max Anx An + c Ar x Ar + c Bn x Bn + c Br x Br + c Cn x Cn + c Cr x Cr x (11a) a 1A x An + a 1A x Ar + a 1B x Bn + a 1B x Br + a 1C x Cn + a 1C x Cr b 1 : λ 1 (11b) a 2A x An + a 2B x Bn + a 2C x Cn b 2n : λ 2n (11c) 4
5 a 2A x Ar + a 2B x Br + a 2C x Cr b 2r : λ 2r (11d) a 2A x Ar a 2B x Br a 2C x Cr m 2r : ν 2r (11e) x An + x Ar u A : µ A (11f) x Cn x Cr l C : ν C (11g) x An, x Ar, x Bn, x Br, x Cn, x Cr 0 (11h) dove a fianco di ogni vincolo sono indicati i nomi delle variabili duali corrispondenti. Il duale risulta essere: min λ,µ,ν G = b 1λ 1 + b 2n λ 2n + b 2r λ 2r m 2r ν 2r + u A µ A l C ν C (12a) a 1A λ 1 + a 2A λ 2n + µ A c An : x An (12b) a 1A λ 1 + a 2A λ 2r a 2A ν 2r + µ A c Ar : x Ar (12c) a 1B λ 1 + a 2B λ 2n c Bn : x Bn (12d) a 1B λ 1 + a 2B λ 2r a 2B ν 2r c Br : x Br (12e) a 1C λ 1 + a 2C λ 2n ν C c Cn : x Cn (12f) a 1C λ 1 + a 2C λ 2r a 2C ν 2r ν C c Cr : x Cr (12g) λ 1, λ 2n, λ 2r, ν 2r, µ A, ν C 0 (12h) che con ovvi passaggi può essere riscritto come segue min G = b 1λ 1 + b 2n λ 2n + b 2r λ 2r + ( m 2r ν 2r + u A µ A l C ν C ) (13a) λ,µ,ν a 1A λ 1 + a 2A λ 2n c An + ( µ A ) (13b) a 1A λ 1 + a 2A λ 2r c Ar + (+a 2A ν 2r µ A ) (13c) a 1B λ 1 + a 2B λ 2n c Bn (13d) a 1B λ 1 + a 2B λ 2r c Br + (+a 2B ν 2r ) (13e) a 1C λ 1 + a 2C λ 2n c Cn + (+ν C ) (13f) a 1C λ 1 + a 2C λ 2r c Cr + (+a 2C ν 2r + ν C ) (13g) λ 1, λ 2n, λ 2r, ν 2r, µ A, ν C 0 (13h) I termini λ 1, λ 2n, λ 2r sono dimensionalmente dei valori per unità di risorsa. Quindi, ad esempio, b 1 λ 1 potrebbe indicare il valore totale delle risorse disponibili di tipo 1, mentre a 1A λ 1 potrebbe indicare il valore delle risorse di tipo 1 consumate per produrre un unità di prodotto A. In quest ottica la formulazione (13) suggerisce la seguente interpretazione economica del problema duale: Interpretazione duale 1 (problema di definizione del mix di prodotti) Determinare il minimo valore a cui conviene vendere in blocco l attività, cioè le risorse disponibili e le condizioni di contorno che influenzano la produzione, piuttosto che produrre. Nel duale (13), la prima parte della funzione obiettivo, esprime il valore delle risorse mentre la rimanente parte, indicata tra parentesi, esprime il valore delle condizioni di contorno; i vincoli impongono che il prezzo di vendita delle risorse necessarie a produrre ogni unità di prodotto sia non inferiore al profitto unitario (corretto, tenendo conto delle condizioni al contorno) che l azienda otterrebbe producendo quel tipo di carta. È ovvio che se vengono offerti dei prezzi di acquisto delle risorse che non soddisfano questi vincoli, conviene produrre piuttosto che vendere l attività. Viceversa, come già anticipato, il teorema della dualità debole permette di affermare che se si trova un compratore che offre di acquistare le risorse disponibili a dei prezzi che soddisfano i vincoli del duale, allora conviene certamente vendere l attività. Per potere dare una interpretazione economica alle variabili duali ν 2r, µ A, ν C, e quindi ai termini correttivi presenti in (13) è opportuno comprendere il significato, dal punto di vista del mercato, dei vincoli del primale non riguardanti la limitata disponibilità delle materie prime. In particolare il vincolo (10f) evidenzia la difficoltà di assorbimento da parte del mercato della carta di tipo A (in un altro contesto tale vincolo potrebbe indicare la difficoltà di produrre quel tipo di carta). La corrispondente variabile duale, che si noti è dimensionalmente un 5
6 valore per unità di prodotto, si può quindi interpretare come il costo da sostenere (in pubblicità ad esempio) per riuscire a vendere (o in altro contesto produrre) la carta A. Viceversa il vincolo (10g) indica che vi può essere un incentivo a produrre carta di tipo C. Analogamente il vincolo (10e) indica che vi può essere un incentivo a consumare risorse di tipo 2r. Le corrispondenti variabili duali si possono quindi interpretare come il valore degli incentivi che il mercato è disposto a pagare per unità di prodotto lavorato o di risorsa consumata, qualora la produzione della carta C e il consumo della risorsa 2r non fossero già di per se stessi convenienti. Per quanto detto in precedenza, il vincolo duale (13c), relativo alla carta di tipo A prodotta con materiale riciclato, impone che nella definizione del prezzo delle risorse si tenga conto che per un unità di tale carta, il mercato: dovrebbe fornire un profitto legato alla sola vendita uguale a c Ar ; inoltre dovrebbe essere disposto a pagare un incentivo uguale a a 2A ν 2r per il consumo della carta riciclata; infine però dovrebbe richiedere una spesa di µ A per essere convinto ad acquistare. Discorsi analoghi si possono fare sui rimanenti vincoli duali. Nella attività di produzione descritta dal primale (10) alcuni vincoli definiscono la posizione nel mercato della azienda coinvolta. In particolare, essa ha conquistato alcune fette di mercato (o ha investito in una certa capacità di produzione) per quanto riguarda la carta di tipo A; si è già impegnata a produrre una certa quantità di carta C; infine si è anche impegnata a consumare una certa quantità di risorsa 2r. Ne consegue che tale azienda ha già affrontato alcune spese e ricevuto alcuni incentivi, quindi il prezzo minimo di vendita della sua attività deve essere calcolato al netto di questi flussi monetari. Tali flussi sono infatti considerati nel termine correttivo presente nella funzione obiettivo della formulazione duale (13). In esso vengono sottratti gli incentivi per il consumo della risorsa 2r e per la produzione della carta di tipo C, mentre vengono aggiunte le spese sostenute per garantirsi la quota di mercato per A. Si osservi che nella funzione obiettivo del duale vengono sottratti gli incentivi solo per le quantità minime di risorsa 2r o di prodotto C che l azienda si è impegnata a consumare o produrre. Ciò è dovuto al fatto che se per produrre il mix ottimo vi fosse un consumo maggiore di tale risorsa o una produzione maggiore di tale tipo di carta, allora esisterebbe una convenienza economica di tali comportamenti, indipendentemente dal valore degli incentivi, Conseguentemente questi ultimi si ridurrebbero a zero (come garantito dal teorema di slackness complementarity). Analogamente le spese che l azienda ha sostenuto per garantirsi una certa quota di mercato per A avrebbero valore di mercato nullo se la sua produzione non è poi stata capace di coprire tutta la quota conquistata. Si osservi infine che il teorema di slackness complementarity afferma che, vendendo in blocco le risorse, l azienda può essere costretta a regalarne alcune per strappare un prezzo maggiore per le altre, quelle di maggiore valore di mercato. Queste ultime sono evidentemente quelle che avrebbero permesso ulteriori profitti se fossero state disponibili in maggiore quantità in azienda Il problema della dieta Enunciato 3 (problema della dieta) Determinare il mix ottimale di alimenti che una persona deve acquisire per minimizzare il costo di soddisfazione di date esigenze alimentari. Nel caso in questione sono variabili decisionali le quantità di alimenti che devono essere presenti nel mix ottimale. È necessario definire una variabile per ogni tipo di alimento. Devono essere considerati di tipo diverso anche alimenti identici ma che siano cucinati in maniere diverse e quindi possano fornire sia contenuti nutritivi e che costi diversi. Al fine di formalizzare matematicamente l obiettivo, per ogni tipo di alimento bisogna individuare il costo unitario legato all acquisto. Per le considerazioni fatte riguardo alle variabili, ad alcuni alimenti possono essere associati costi diversi. Alcuni dei costi possono essere negativi. Per quanto riguarda i vincoli, essi generalmente sono riconducibili alle seguenti classi: vincoli relativi alla quantità minima di elementi nutritivi che devono essere assimilati (e.g, quantità minima di calorie), In tali vincoli la disuguaglianza è del tipo maggiore o uguale, il termine noto esprime la quantità di esigenza, mentre i coefficienti delle variabili esprimono quanti elementi nutritivi sono assimilati consumando un unità dell alimento associato alla variabile a cui fa riferimento. Vi possono essere coefficienti negativi nel caso in cui l assimilazione di un alimento richieda il consumo di elementi nutritivi forniti da altri alimenti; vincoli relativi alla quantità massima di elementi nutritivi che possono essere assimilati, (e.g., per evitare ipervitaminosi o obesità). La disuguaglianza in questo caso è del tipo minore o uguale o semplicemente uguale, il resto è come nei vincoli del caso precedente; vincoli relativi alla massima capacità o di consumo o di disponibilità del mercato degli alimenti; vincoli relativi alla minima quantità che si desidera acquisire (per piacere, per vizio, per necessità) degli alimenti. 6
7 1.3.4 Il problema della dieta: esempio Enunciato 4 Si considerino 3 tipi di alimento, A, B e C. Si devono assimilare 3 tipi di elementi nutritivi, 1, 2, e 3. Per il terzo elemento non si devono superare delle quantità massime. Il mercato ha delle capacità limitate di fornire alimenti di tipo A (oppure non si desidera mangiare più di una certa quantità dello stesso alimento); inoltre si desidera una quantità minima di alimento di tipo C. Determinare il mix ottimale di alimenti che una persona deve consumare per minimizzare i costi. Le variabili decisionali sono le quantità da acquistare per ognuno degli alimenti. Siano, per ogni tipo di alimento j, x j le variabili decisionali, e c j i costi corrispondenti. Sia u A la massima quantità di cibo A reperibile sul mercato (o consumabile), viceversa sia l c la minima quantità dell alimento C che si vuole acquistare. Siano b i le quantità di elementi nutrizionali da raggiungere, sia m 3 la quantità massima di elemento nutrizionale 3 assimilabile. Infine sia a ij la quantità di elemento nutrizionale i assimilato mangiando un unità dell alimento j. La formulazione primale risulta essere: min F = c A x A + c B x B + c C x C x (14a) a 1A x A + a 1B x B + a 1C x C b 1 (14b) a 2A x A + a 2B x B + a 2C x C b 2 (14c) a 3A x A + a 3B x B + a 3C x C b 3 (14d) a 3A x A + a 3B x B + a 3C x C m 3 (14e) x A u A (14f) x C l C (14g) x A, x B, x C 0 (14h) dove i vincoli (14b), (14c) e (14d) impongono di assimilare almeno una certa quantità di elementi nutrizionali; il vincolo (14e) impone di assimilare non più della quantità m 3 dell elemento nutrizionale 3; il vincolo (14f) impone di non acquistare più quantità di alimento A di quella disponibile sul mercato (o che si vuole mangiare); il vincolo (14g) impone di acquistare almeno una certa quantità di alimento di tipo C. Prima di formulare il duale conviene riportarsi ad una forma tipo (9): min F = c A x A + c B x B + c C x C x (15a) a 1A x A + a 1B x B + a 1C x C b 1 : λ 1 (15b) a 2A x A + a 2B x B + a 2C x C b 2 : λ 2 (15c) a 3A x A + a 3B x B + a 3C x C b 3 : λ 3 (15d) a 3A x A a 3B x B a 3C x C m 3 : ν 3 (15e) x A u A : ν A (15f) x C l C : µ C (15g) x A, x B, x C 0 (15h) dove a fianco di ogni vincolo sono indicati i nomi delle variabili duali corrispondenti. Il duale risulta essere: max λ,µ,ν G = b 1λ 1 + b 2 λ 2 + b 3 λ 3 m 3 ν 3 u A ν A + l C µ C (16a) a 1A λ 1 + a 2A λ 2 + a 3A λ 3 a 3A ν 3 ν A c A : x A (16b) a 1B λ 1 + a 2B λ 2 + a 3B λ 3 a 3B ν 3 c B : x B (16c) a 1C λ 1 + a 2C λ 2 + a 3C λ 3 a 3C ν 3 + µ C c C : x C (16d) λ 1, λ 2, λ 3, ν 3, ν A, µ C 0 (16e) che con ovvi passaggi può essere riscritto come segue 7
8 max G = b 1λ 1 + b 2 λ 2 + b 3 λ 3 + ( m 3 ν 3 u A ν A + l C µ C ) (17a) λ,µ,ν a 1A λ 1 + a 2A λ 2 + a 3C λ 3 c A + (+a 3A ν 3 + ν A ) (17b) a 1B λ 1 + a 2B λ 2 + a 3B λ 3 c B + (+a 3B ν 3 ) (17c) a 1C λ 1 + a 2C λ 2 + a 3C λ 3 c C + (+a 3C ν 3 µ C ) (17d) λ 1, λ 2, λ 3, ν 3, ν A, µ C 0 (17e) I termini λ 1, λ 2, λ 3 sono dimensionalmente dei valori per unità di elemento nutrizionale. Quindi, ad esempio b 1 λ 1 potrebbe indicare il valore totale degli elementi nutrizionali di tipo 1 necessari; mentre a 1A λ 1 potrebbe indicare il valore degli elementi nutrizionali di tipo 1 assimilati mangiando un unità di alimento A. In quest ottica la formulazione (17) suggerisce la seguente interpretazione economica del problema duale: Interpretazione duale 2 (problema della dieta) Determinare il massimo prezzo a cui conviene comprare in blocco delle pillole, che forniscano esattamente tutti gli elementi nutrizionali, piuttosto che acquistare alimenti. Nel duale (17), la prima parte della funzione obiettivo, esprime il valore degli elementi nutrizionali mentre la rimanente parte, indicata tra parentesi esprime il valore delle condizioni di contorno; i vincoli impongono che il prezzo complessivo degli elementi nutrizionali necessari a costituire ogni unitá di alimento sia non superiore al prezzo unitario (corretto, tenendo conto delle condizioni al contorno) del cibo in questione. È ovvio che se vengono offerti dei prezzi di vendita delle pillole che non soddisfano questi vincoli, conviene acquistare cibo piuttosto che i singoli elementi nutrizionali. Viceversa, il teorema della dualità debole permette di affermare che se si trovano delle pillole che forniscono gli elementi nutrizionali necessari a dei prezzi che soddisfano i vincoli del duale, allora conviene certamente comprare tali pillole. Infatti il costo del mix ottimale dei cibi non può essere minore di quello pagato per l acquisto di tali pillole. Per potere dare una interpretazione economica alle variabili duali ν 3, ν A e µ C, e quindi ai termini correttivi presenti in (17) è opportuno comprendere il significato, dal punto di vista del mercato, dei vincoli del primale non riguardanti la necessità di soddisfare delle esigenze nutrizionali. In particolare il vincolo (14g) evidenzia il desiderio che sia acquistato comunque l alimento di tipo C. La corrispondente variabile duale, che si noti è dimensionalmente un valore per unità di alimento, si può quindi interpretare come lo sconto che si deve attuare per convincere comunque una persona ad utilizzare tale alimento, se il vincolo è stato imposto dal mercato, oppure come la diminuzione apparente del costo reale dovuto al desiderio o la necessità del cibo, se il vincolo è imposto da chi subisce la dieta (quanto del costo si è disposti a far finta di non vedere pur di mangiare l alimento C). Viceversa il vincolo (14f) indica che vi può essere scarsa disponibilità di alimenti di tipo A oppure scarsa attrazione verso gli stessi. Analogamente il vincolo (14e) indica che vi può essere scarsa attrazione ad assimilare elementi nutrizionali di tipo 3. Le corrispondenti variabili duali si possono quindi interpretare come la spesa aggiuntiva che si deve pagare per procurarsi l alimento di tipo A, se il vincolo è stato imposto dal mercato, oppure come l aumento di costo apparente dovuto allo scarso desiderio o alla necessità di rifiuto dell alimento A o dell elemento nutrizionale 3 se il vincolo è imposto da chi subisce la dieta (quanto si è disposti a pagare in più pur di non mangiare l alimento A o non assimilare elementi nutrizionali di tipo 3). Per quanto detto in precedenza il vincolo duale (17d), relativo al cibo di tipo C, impone che nella definizione del prezzo degli elementi nutrizionali si tenga conto che il costo di un unità di tale alimento dovrebbe essere considerato il costo legato al solo acquisto uguale a c C ; inoltre l incremento di costo che una persona è disposta a pagare in più pur di non mangiare tale cibo data la presenza degli elementi nutrizionali di tipo 3, cioè a 3C ν 3 ; l incentivo all acquisto di tale alimento µ C o, se il vincolo corrispondente a tale variabile duale è stato imposto da chi subisce la dieta, la diminuzione apparente del prezzo dovuta al desiderio. Nella dieta descritta dal primale (14) alcuni vincoli affermano che si è già scelto di acquistare una certa quantità di alimento C e che comunque si ritengono accettabili certi livelli di alimento A o di elementi nutrizionali 3. Ne consegue che chi subisce i costi della dieta ritiene come già rifiutate alcune spese e incentivi, oppure dà per scontate alcune dimenticanze sui prezzi. Ne consegue che il prezzo massimo di vendita della pillole deve essere calcolato al netto di questi flussi monetari. Tali flussi sono infatti considerati nel termine correttivo presente nella funzione obiettivo della formulazione duale (17) in cui vengono aggiunti i costi che si è disposti comunque a sopportare per l alimento C, mentre vengono sottratte le spese che si dovrebbero sostenere per non acquistare nemmeno una quantità u A dell alimento A (in quanto fino a tale quantità tale alimento è facilmente reperibile sul mercato o comunque si è disponibili a mangiarlo); analogamente vengono sottratte le spese che si dovrebbero sostenere per non assimilare nemmeno una quantità m 3 di elemento nutrizionale 3. Anche in questo caso il teorema di slackness complementarity garantisce che gli incentivi e le spese diventano nulli se i vincoli corrispondenti non sono attivi. Per cui, ad esempio, non si è disposti a dimenticare parte del 8
9 prezzo di C (o viceversa il mercato non è disposto a fare uno sconto) se, per soddisfare al costo minimo le esigenze nutrizionali, si deve acquistare una quantità di alimento C superiore a m C. Analogamente non si è disposti a pagare nulla per rifiutare A se comunque non converrebbe acquistarlo. Si osservi infine che può accadere, ed in generale succede, che il mix ottimo di alimenti soddisfa al minimo alcune esigenze nutrizionali, ma fornisce in aggiunta la soddisfazione di altre, anche eventualmente non richieste. Il teorema di slackness complementarity afferma che in questo caso è ottimo per il produttore di pillole fare pagare il più possibile le pillole che forniscono gli elementi nutrizionali soddisfatti al minimo dal mix ottimo di alimenti, ma che di conseguenza si devono regalare le pillole per gli altri elementi. 9
Ricerca Operativa A.A. 2007/2008. 10. Dualità in Programmazione Lineare
Ricerca Operativa A.A. 2007/2008 10. Dualità in Programmazione Lineare Luigi De Giovanni - Ricerca Operativa - 10. Dualità in Programmazione Lineare 10.1 Soluzione di un problema di PL: punti di vista
DettagliOttimizzazione Multi Obiettivo
Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali
DettagliRicerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari
Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un azienda intende incrementare il proprio organico per ricoprire alcuni compiti scoperti. I dati relativi ai compiti
DettagliCapitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore
Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:
DettagliIl mercato di monopolio
Il monopolio Il mercato di monopolio Il monopolio è una struttura di mercato caratterizzata da 1. Un unico venditore di un prodotto non sostituibile. Non ci sono altre imprese che possano competere con
DettagliModelli di Programmazione Lineare e Programmazione Lineare Intera
Modelli di Programmazione Lineare e Programmazione Lineare Intera 1 Azienda Dolciaria Un azienda di cioccolatini deve pianificare la produzione per i prossimi m mesi. In ogni mese l azienda ha a disposizione
DettagliLaboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a. 2012-13 Homework n 9. Docente: Laura Palagi
Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a. 2012-13 Homework n 9 Docente: Laura Palagi LA DIETA A COSTO MINIMO AL MCDONALD S Realizzata da: Erasmo Percoco Simone
DettagliRicerca Operativa (Compito A) Appello del 16/06/2014 Andrea Scozzari
Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 16/06/2014 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un agenzia finanziaria deve investire 1000000 di euro di un suo cliente in fondi di investimento. Il mercato offre cinque
DettagliLA COMBINAZIONE DEI FATTORI PRODUTTIVI CAP. 5
LA COMBINAZIONE DEI FATTORI PRODUTTIVI CAP. 5 Appunti di estimo Il fine economico dell imprenditore Le motivazioni che spingono un imprenditore ad avviare attività di impresa sono: Produrre beni e servizi,
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliEsercitazione 23 maggio 2016
Esercitazione 5 maggio 016 Esercitazione 3 maggio 016 In questa esercitazione, nei primi tre esercizi, analizzeremo il problema del moral hazard nel mercato. In questo caso prenderemo in considerazione
DettagliUn modello matematico di investimento ottimale
Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Investimento per un singolo agente
DettagliFondamenti e didattica di Matematica Finanziaria
Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo 1-20126 MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1 Unità 9 Contenuti della lezione Operazioni finanziarie, criterio
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
DettagliIl mercato assicurativo: selezione avversa, fallimenti del mercato, menù di contratti, assicurazione obbligatoria
Il mercato assicurativo: selezione avversa, fallimenti del mercato, menù di contratti, assicurazione obbligatoria Esercizio 1 Ci sono 2000 individui ciascuno con funzione di utilità Von Neumann-Morgestern
DettagliLA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ
LA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ In questa Appendice mostreremo come trovare la tariffa in due parti che massimizza i profitti di Clearvoice,
DettagliEdited by Foxit PDF Editor Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 For Evaluation Only.
In un mercato del lavoro competitivo esistono due tipi di lavoratori, quelli con alta produttività L A, che producono per 30 $ l'ora, e quelli con bassa produttività, L B, che producono per 5 $ l'ora.
DettagliRicerca Operativa Esercizio 1
E1 Esercizio 1 La fonderia ESSELLE deve produrre esattamente 1000 pezzi del peso di un chilogrammo ciascuno. Il ferro con cui questi pezzi saranno fatti deve contenere manganese e silicio nelle seguenti
DettagliSIMULAZIONE ESAME di OTTIMIZZAZIONE Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale 2 o anno
SIMULAZIONE ESAME di OTTIMIZZAZIONE 28 novembre 2005 SIMULAZIONE ESAME di OTTIMIZZAZIONE Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale 2 o anno Cognome : XXXXXXXXXXXXXXXXX Nome : XXXXXXXXXXXXXX VALUTAZIONE
DettagliModelli per la gestione delle scorte
Modelli per la gestione delle scorte Claudio Arbib Università di L Aquila Seconda Parte Sommario Sui problemi di gestione aperiodica equazioni di stato Funzioni di costo Un modello convesso formulazione
Dettaglif(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da
Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede
DettagliRICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007
RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova scritta del 22 marzo 2007 Rispondere alle seguenti domande marcando a penna la lettera corrispondente alla risposta ritenuta corretta (una sola tra quelle riportate). Se
Dettagli1. Limite finito di una funzione in un punto
. Limite finito di una funzione in un punto Consideriamo la funzione: f ( ) = il cui dominio risulta essere R {}, e quindi il valore di f ( ) non è calcolabile in =. Quest affermazione tuttavia non esaurisce
DettagliOttimizazione vincolata
Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l
DettagliRicerca Operativa Esercizi risolti sulle condizioni di complementarietà primale-duale. L. De Giovanni, V. Dal Sasso
Ricerca Operativa Esercizi risolti sulle condizioni di complementarietà primale-duale L. De Giovanni, V. Dal Sasso 1 Esercizio 1. Dato il problema min 2x 1 x 2 s.t. x 1 + 2x 2 7 2x 1 x 2 6 3x 1 + 2x 2
DettagliEconomia Aziendale. Lezione 1
Economia Aziendale Pagina 2 Contenuto didattico Le operazioni di gestione Il sistema delle rilevazioni contabili Lo strumento principale per le rilevazioni contabili: il conto La rilevazione tra sistema
DettagliLa dualità nella Programmazione Lineare
Capitolo 5 La dualità nella Programmazione Lineare In questo capitolo verrà introdotto un concetto di fondamentale importanza sia per l analisi dei problemi di Programmazione Lineare, sia per lo sviluppo
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliPROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI
1 PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI La ricerca operativa nata durante la seconda guerra mondiale ed utilizzata in ambito militare, oggi viene applicata all industria, nel settore pubblico e nell
DettagliModello matematico PROGRAMMAZIONE LINEARE PROGRAMMAZIONE LINEARE
PRGRMMZIN LINR Problemi di P.L. in due variabili metodo grafico efinizione: la programmazione lineare serve per determinare l allocazione ottimale di risorse disponibili in quantità limitata, per ottimizzare
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliRicerca Operativa e Logistica
Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili A.A. 2011/2012 Lezione 10: Variabili e vincoli logici Variabili logiche Spesso nei problemi reali che dobbiamo affrontare ci sono dei
DettagliEpoca k Rata Rk Capitale Ck interessi Ik residuo Dk Ek 0 S 0 1 C1 Ik=i*S Dk=S-C1. n 0 S
L AMMORTAMENTO Gli ammortamenti sono un altra apllicazione delle rendite. Il prestito è un operazione finanziaria caratterizzata da un flusso di cassa positivo (mi prendo i soldi in prestito) seguito da
DettagliRicerca Operativa Dualità e programmazione lineare
Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi alle spiegazioni del
DettagliLa Minimizzazione dei costi
La Minimizzazione dei costi Il nostro obiettivo è lo studio del comportamento di un impresa che massimizza il profitto sia in mercati concorrenziali che non concorrenziali. Ora vedremo la fase della minimizzazione
DettagliELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso
Esercizio 1 Data la funzione di domanda: ELASTICITÀ Dire se partendo da un livello di prezzo p 1 = 1.5, al produttore converrà aumentare il prezzo fino al livello p 2 = 2. Sarebbe conveniente per il produttore
DettagliCAPITOLO 10 I SINDACATI
CAPITOLO 10 I SINDACATI 10-1. Fate l ipotesi che la curva di domanda di lavoro di una impresa sia data da: 20 0,01 E, dove è il salario orario e E il livello di occupazione. Ipotizzate inoltre che la funzione
DettagliI margini lordi nelle aziende che producono su commessa Il caso Sicilyelectronic srl
I margini lordi nelle aziende che producono su commessa Il caso Sicilyelectronic srl Corso di Economia Aziendale (esercitazioni) Università degli Studi di Palermo Agenda Caratteristiche delle aziende che
Dettaglimese 1 2 3 4 5 richiesta 6000 7000 8000 9500 11000
1.7 Servizi informatici. Un negozio di servizi informatici stima la richiesta di ore di manutenzione/consulenza per i prossimi cinque mesi: mese 1 2 3 4 5 richiesta 6000 7000 8000 9500 11000 All inizio
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettaglidella funzione obiettivo. Questo punto dovrebbe risultare chiaro se consideriamo una generica funzione:
Corso di laurea in Economia e finanza CLEF) Economia pubblica ************************************************************************************ Una nota elementare sulla ottimizzazione in presenza di
DettagliLa Programmazione Lineare
4 La Programmazione Lineare 4.1 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Esercizio 4.1.1 Fornire una rappresentazione geometrica e risolvere graficamente i seguenti problemi
DettagliMICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza
MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza 1 Dotazioni iniziali Il consumatore dispone ora non di un dato reddito monetario ma di un ammontare
DettagliProgrammazione lineare
Programmazione lineare Un modello matematico per un problema di programmazione lineare Problema 1. Un reparto di un azienda di elettrodomestici può produrre giornalmente non più di 6 lavatrici, delle quali
DettagliGRUPPO QUATTRO RUOTE. Alessandro Tondo 19632 Laura Lavazza 19758 Matteo Scordo 19813 Alessandro Giosa 19894. Gruppo Quattro Ruote 1
GRUPPO QUATTRO RUOTE Alessandro Tondo 19632 Laura Lavazza 19758 Matteo Scordo 19813 Alessandro Giosa 19894 Gruppo Quattro Ruote 1 2. ANALISI BIVARIATA 3.1. RISULTATI (continua) 2.1 Consumi ridotti (variabile
DettagliMaster della filiera cereagricola. Impresa e mercati. Facoltà di Agraria Università di Teramo. Giovanni Di Bartolomeo Stefano Papa
Master della filiera cereagricola Giovanni Di Bartolomeo Stefano Papa Facoltà di Agraria Università di Teramo Impresa e mercati Parte prima L impresa L impresa e il suo problema economico L economia studia
DettagliECONOMIA CLASSE IV prof.ssa Midolo L ASPETTO ECONOMICO DELLA GESTIONE. (lezione della prof.ssa Edi Dal Farra)
ECONOMIA CLASSE IV prof.ssa Midolo L ASPETTO ECONOMICO DELLA GESTIONE (lezione della prof.ssa Edi Dal Farra) La GESTIONE (operazioni che l azienda compie per raggiungere i suoi fini) può essere: ORDINARIA
DettagliOgni azienda ha la necessità di conoscere il proprio sistema dei costi sia per controllare la situazione esistente che per verificare il
Ogni azienda ha la necessità di conoscere il proprio sistema dei costi sia per controllare la situazione esistente che per verificare il raggiungimento degli obiettivi avendo come fine il mantenimento
DettagliIndice di rischio globale
Indice di rischio globale Di Pietro Bottani Dottore Commercialista in Prato Introduzione Con tale studio abbiamo cercato di creare un indice generale capace di valutare il rischio economico-finanziario
DettagliDomande a scelta multipla 1
Domande a scelta multipla Domande a scelta multipla 1 Rispondete alle domande seguenti, scegliendo tra le alternative proposte. Cercate di consultare i suggerimenti solo in caso di difficoltà. Dopo l elenco
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliTeoria dei Giochi. Anna Torre
Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 14 marzo 2013 email: anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2013.html IL PARI O DISPARI I II S T S (-1, 1) (1, -1)
DettagliChi non risolve esercizi non impara la matematica.
96 matematica per l economia Esercizio 65. Consideriamo ancora il problema 63 dell azienda vinicola, aggiungendo la condizione che l azienda non può produrre più di 200 bottiglie al mese. Soluzione. La
DettagliAi fini economici i costi di un impresa sono distinti principalmente in due gruppi: costi fissi e costi variabili. Vale ovviamente la relazione:
1 Lastoriadiun impresa Il Signor Isacco, che ormai conosciamo per il suo consumo di caviale, decide di intraprendere l attività di produttore di caviale! (Vuole essere sicuro della qualità del caviale
DettagliCapitolo Terzo Valore attuale e costo opportunità del capitale
Capitolo Terzo Valore attuale e costo opportunità del capitale 1. IL VALORE ATTUALE La logica di investimento aziendale è assolutamente identica a quella adottata per gli strumenti finanziari. Per poter
DettagliInteresse, sconto, ratei e risconti
TXT HTM PDF pdf P1 P2 P3 P4 293 Interesse, sconto, ratei e risconti Capitolo 129 129.1 Interesse semplice....................................................... 293 129.1.1 Esercizio per il calcolo dell
DettagliElasticità dell offerta rispetto al. prezzo. L elasticità dell offerta al prezzo misura la variazione della quantità offerta al variare del
Elasticità dell offerta rispetto al prezzo L elasticità dell offerta al prezzo misura la variazione della quantità offerta al variare del prezzo. Formula ε= ΔQ/Q = (P/Q) x (1/pendenza) ΔP/P L offerta di
DettagliI ricavi ed i costi di produzione
I ricavi ed i costi di produzione Supponiamo che le imprese cerchino di operare secondo comportamenti efficienti, cioè comportamenti che raggiungono i fini desiderati con mezzi minimi (o, che è la stessa
DettagliEsercizi di Ricerca Operativa II
Esercizi di Ricerca Operativa II Raffaele Pesenti January 12, 06 Domande su utilità 1. Determinare quale è l utilità che un giocatore di roulette assegna a 100,00 Euro, nel momento che gioca tale cifra
DettagliIl modello generale di commercio internazionale
Capitolo 6 Il modello generale di commercio internazionale [a.a. 2013/14] adattamento italiano di Novella Bottini (ulteriore adattamento di Giovanni Anania) 6-1 Struttura della presentazione Domanda e
DettagliEsercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica
Esercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica (Gli esercizi sono suddivisi in base ai capitoli del testo di De Vincenti) CAPITOLO 3. IL MERCATO DEI BENI NEL MODELLO REDDITO-SPESA Esercizio.
DettagliVC-dimension: Esempio
VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio
DettagliREGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE
REGOLAZIONE (E TASSAZIONE OTTIMALE) DI UN MONOPOLIO CON PIÙ LINEE DI PRODUZIONE Nella Sezione 16.5 abbiamo visto come un regolatore che voglia fissare il prezzo del monopolista in modo da minimizzare la
DettagliFacoltà di Scienze Politiche Corso di Economia Politica. Macroeconomia sui capitoli 21, 22 e 23. Dott.ssa Rossella Greco
Facoltà di Scienze Politiche Corso di Economia Politica Esercitazione di Macroeconomia sui capitoli 21, 22 e 23 Dott.ssa Rossella Greco Domanda 1 (Problema 4. dal Cap. 21 del Libro di Testo) a) Gregorio,
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
DettagliLeasing secondo lo IAS 17
Leasing secondo lo IAS 17 Leasing: Ias 17 Lo Ias 17 prevede modalità diverse di rappresentazione contabile a seconda si tratti di leasing finanziario o di leasing operativo. Il leasing è un contratto per
DettagliMarco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 12 Cfu - A.A. 2010/2011 1
Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 1 Esercitazione 1: 4/09/010 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: log a) f() = 5 ( 1). b) g() = log 3 (3 6) log 13.
DettagliLuigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it
Automazione industriale dispense del corso 10. Reti di Petri: analisi strutturale Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it Analisi strutturale Un alternativa all analisi esaustiva basata sul grafo di raggiungibilità,
Dettagli10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.
10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi
DettagliIL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE.
IL RISCHIO D IMPRESA ED IL RISCHIO FINANZIARIO. LA RELAZIONE RISCHIO-RENDIMENTO ED IL COSTO DEL CAPITALE. Lezione 5 Castellanza, 17 Ottobre 2007 2 Summary Il costo del capitale La relazione rischio/rendimento
DettagliRicerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso. Luigi De Giovanni, Laura Brentegani
Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso Luigi De Giovanni, Laura Brentegani 1 1) Risolvere il seguente problema di programmazione lineare. ma + + 3 s.t. 2 + + 2 + 2 + 3 5 2 + 2 + 6,, 0 Soluzione.
DettagliPolitecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).
Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................
Dettagli190 LA DUALITÀ NELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE 7.2 INTERPRETAZIONE DELLA DUALITÀ
190 LA DUALITÀ NELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE 7.2 INTERPRETAZIONE DELLA DUALITÀ [Questo paragrafo non fa parte del programma di esame] Nei modelli reali le variabili (primali) possono rappresentare, ad esempio,
Dettagli4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0
Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice
DettagliCapitolo II. La forma del valore. 7. La duplice forma in cui si presenta la merce: naturale e di valore.
Capitolo II La forma del valore 7. La duplice forma in cui si presenta la merce: naturale e di valore. I beni nascono come valori d uso: nel loro divenire merci acquisiscono anche un valore (di scambio).
DettagliDato il Mercato, è possibile individuare il valore e la duration del portafoglio:
TEORIA DELL IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA Con il termine immunizzazione finanziaria si intende una metodologia matematica finalizzata a neutralizzare gli effetti della variazione del tasso di valutazione
Dettagli1. Distribuzioni campionarie
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie
DettagliIl mercato dei beni. Prof. Sartirana
Il mercato dei beni Prof. Sartirana Gli scambi di beni economici avvengono tra soggetti che vengono definiti: soggetti economici I soggetti economici sono 4 ed ognuno di essi ha necessità diverse. I soggetti
DettagliIl modello generale di commercio internazionale
Capitolo 6 Il modello generale di commercio internazionale adattamento italiano di Novella Bottini 1 Struttura della presentazione Domanda e offerta relative Benessere e ragioni di scambio Effetti della
DettagliSiamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.
DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti
DettagliCome affrontare i monopoli naturali
Come affrontare i monopoli naturali Il problema del monopolio naturale è che se anche l impresa volesse fissare il prezzo a un livello pari al costo marginale (efficienza sociale), produrrebbe in perdita
DettagliModelli di Programmazione Lineare Intera
8 Modelli di Programmazione Lineare Intera 8.1 MODELLI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA Esercizio 8.1.1 Una compagnia petrolifera dispone di 5 pozzi (P1, P2, P3, P4, P5) dai quali può estrarre petrolio.
DettagliCapitolo 12 Il monopolio. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl
Capitolo 12 Il monopolio IL MONOPOLIO Il monopolio è una forma di mercato in cui un unico venditore offre un bene che non ha stretti sostituti, ad una moltitudine di consumatori La differenza fondamentale
DettagliEsercitazione 9 Dott.ssa Sabrina Pedrini 29/04/2015. Domande a risposta multipla
Esercitazione 9 Dott.ssa Sabrina Pedrini 29/04/2015 Domande a risposta multipla 1) Il primo teorema dell economia del benessere sostiene che: a) L equilibrio competitivo dipende dal potere contrattuale
DettagliIstituzioni di Economia Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Lezione 16 Offerta dell impresa
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Lezione 16 Offerta dell impresa Prof. Gianmaria Martini Offerta dell impresa La decisione di un impresa a riguardo della quantità
DettagliMacroeconomia, Esercitazione 2. 1 Esercizi. 1.1 Moneta/1. 1.2 Moneta/2. 1.3 Moneta/3. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.
acroeconomia, Esercitazione 2. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.it) 1 Esercizi. 1.1 oneta/1 Sapendo che il PIL reale nel 2008 è pari a 50.000 euro e nel 2009 a 60.000 euro, che dal 2008 al
DettagliMassimizzazione del Profitto e offerta concorrenziale. G. Pignataro Microeconomia SPOSI
Massimizzazione del Profitto e offerta concorrenziale 1 Mercati perfettamente concorrenziali 1. Price taking Poiché ogni impresa vende una porzione relativamente piccola della produzione complessiva del
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliProgetto PI.20060128, passo A.1 versione del 14 febbraio 2007
Università degli Studi di Roma La Sapienza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Corso di Progettazione del Software Proff. Toni Mancini e Monica Scannapieco Progetto PI.20060128,
DettagliCapitolo VI. MODELLI DI RAPPRESENTAZIONE DELL ECONOMICITA
Capitolo VI. MODELLI DI RAPPRESENTAZIONE DELL ECONOMICITA 1 CONOSCERE PER DECIDERE I soggetti coinvolti nella vita dell azienda hanno il diritto e il dovere di conoscere le condizioni del suo svolgimento,
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliMODULO 1 VERIFICA GUIDATA DI FINE UNITA 1
Modulo 1 unità 1 erifica guidata di fine unità pag. 1 di 5 MODULO 1 ERIICA GUIDATA DI INE UNITA 1 Il contratto di vendita 1. Segna con una crocetta la risposta esatta. 1. Nel contratto di vendita il compratore
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
DettagliPaperone e Rockerduck: a cosa serve l antitrust?
Paperone e Rockerduck: a cosa serve l antitrust? Paperone Anna Torre, Rockerduck Ludovico Pernazza 1-14 giugno 01 Università di Pavia, Dipartimento di Matematica Concorrenza Due imprese Pap e Rock operano
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliComplementi di Termologia. I parte
Prof. Michele Giugliano (Dicembre 2) Complementi di Termologia. I parte N.. - Calorimetria. Il calore è una forma di energia, quindi la sua unità di misura, nel sistema SI, è il joule (J), tuttavia si
DettagliLezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Lezione n 4
Lezioni di Ricerca Operativa Lezione n 4 - Problemi di Programmazione Matematica - Problemi Lineari e Problemi Lineari Interi - Forma Canonica. Forma Standard Corso di Laurea in Informatica Università
DettagliCapitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni
Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel
DettagliMercati finanziari e valore degli investimenti
7 Mercati finanziari e valore degli investimenti Problemi teorici. Nei mercati finanziari vengono vendute e acquistate attività. Attraverso tali mercati i cambiamenti nella politica del governo e le altre
DettagliGUIDA AL CALCOLO DEI COSTI DELLE ATTIVITA DI RICERCA DOCUMENTALE
GUIDA AL CALCOLO DEI COSTI DELLE ATTIVITA DI RICERCA DOCUMENTALE L applicazione elaborata da Nordest Informatica e disponibile all interno del sito è finalizzata a fornirvi un ipotesi dell impatto economico
Dettagli