Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 9. Docente: Laura Palagi

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Lisa Lamberti
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1 Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 9 Docente: Laura Palagi

2 LA DIETA A COSTO MINIMO AL MCDONALD S Realizzata da: Erasmo Percoco Simone Pisa Veronica Resciniti

3 DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Lo scopo: determinare la dieta a costo minimo al McDonald s per due pasti al giorno. La dieta varia da persona a persona in base all altezza, e deve essere bilanciata per valori nutrizionali (quantità giornaliere di Calorie, Proteine e Lipidi, percentuale giornaliera di Proteine di origine animale). Consideriamo 3 giorni di dieta. L altezza della persona interessata è espressa in PI, che indica il numero di centimetri al di sopra del metro. (Se la persona è alta 1,70 metri, avrà PI = 70.)

di Calorie, Proteine e Lipidi, percentuale giornaliera di Proteine di origine animale). Consideriamo 3 giorni di dieta.

4 Le calorie giornaliere devono essere almeno 30*PI e non superiori a 40*PI. Le proteine giornaliere devono essere almeno uguali a 1*PI, di cui le proteine di origine animale (carne e uova) devono essere comprese tra il 15% e il 20% del quantitativo proteico giornaliero consumato. I lipidi dovranno poi essere almeno uguali a 0.5*PI. Almeno un pasto in 3 giorni deve includere pesce.

animale (carne e uova) devono essere comprese tra il 15% e il 20% del quantitativo proteico

5 ANALISI DEL PROBLEMA Le variabili di decisione utilizzate sono x ij, dove x indica l alimento generico, i l i-esimo alimento presente nel menù, e j il giorno. Ogni alimento ha i suoi valori nutrizionali espressi in calorie, proteine e lipidi, e un costo associato c i.

6 FUNZIONE OBIETTIVO La funzione obiettivo è identificata dalla somma di tutte le variabili moltiplicate per i relativi costi associati: m = numero di giorni m f x = x ij c i j=1 n n = numero elementi nel menù.

7 VINCOLI Vincoli di domanda minima di valori nutrizionali (Per ogni j da 1 a m): n n n Cal i x ij Cal min PI Prot i x ij Prot min PI Lip i x ij Lip min PI

8 Vincolo di capacità massima di calorie assumibili n Cal i x ij Cal max PI Vincolo di qualità % proteine animali %min Prot animali j Prot tot j %max Vincoli di interezza e non negatività x ij 0, per,..,n j=1,.,m. x ij Z.

animali %min Prot animali j Prot tot j %max Vincoli di

9 IL DUALE DELLA DIETA Cosa ci consente di fare Determinare il massimo prezzo a cui conviene comprare in blocco delle pillole, che forniscano esattamente tutti gli elementi nutrizionali, piuttosto che acquistare alimenti. È il problema del fornitore

pillole, che forniscano esattamente tutti gli elementi

10 PROBLEMA DEL FORNITORE Determinare il massimo prezzo a cui vendere queste pillole. I vincoli impongono che il prezzo complessivo degli elementi nutrizionali necessari a costituire ogni unità di alimento sia non superiore al prezzo unitario del cibo in questione. C è una variabile per ogni sostanza nutritiva Se vengono offerti dei prezzi di vendita delle pillole che non soddisfano questi vincoli, conviene acquistare cibo piuttosto che i singoli elementi nutrizionali.

alimento sia non superiore al prezzo unitario del cibo in questione.

11 TEOREMA DELLA DUALITÀ DEBOLE Il teorema della dualità debole permette di affermare che se si trovano delle pillole che forniscono gli elementi nutrizionali necessari a dei prezzi che soddisfano i vincoli del duale, allora conviene certamente comprare tali pillole. Il costo del mix ottimale dei cibi non può essere minore di quello pagato per l acquisto di tali pillole.

soddisfano i vincoli del duale, allora conviene certamente comprare tali pillole.

13 IL NOSTRO CASO n = 29 m = 3 giorni. PI = 70 Cal min = 30 Cal max = 40 Prot min = 1 Lip min = 0.5 %min= 15% %max=20.

14 FORMULAZIONE DEL PROBLEMA min j=1 Cal i x ij Prot i x ij Lip i x ij Cal i x ij x ij c i 30 PI 1 PI 0,5 PI 40 PI Prot Anim 0,15 Prot tot Prot Anim 0,2 Prot tot x ij 0, per,..,29 j=1,.,6. x ij Z

15 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA Qui Soluzione trovata, ma le variabili non sono verosimili La dieta giornaliera comprenderebbe 1 hamburger, 12 sundea cono e nessuna bibita! Perciò avanziamo ulteriori ipotesi logiche per cercare di rendere il problema reale.

comprenderebbe 1 hamburger, 12 sundea cono e nessuna bibita!

16 IPOTESI AGGIUNTIVE Una bibita a pasto 29 x = 2 i=23 ij Almeno un panino di pesce nei tre giorni 3 j=1 x 13,j 1

17 Massimo un dolce a pasto 22 7 x ij 2 Almeno un panino a pasto 13 x ij 2 Almeno una patatina al giorno 16 4 x ij 1

18 LA SOLUZIONE Abbiamo trovato una soluzione intera soddisfacente e realistica! Gli unici vincoli attivi sono: Una bibita a pasto Almeno una patata al giorno Massimo un dolce a pasto

19 SOLUZIONE FINALE Costo dieta per un individuo alto 1,70 mt = 36 Menù giornaliero: 1 hamburger, 2 filet-o-fish, 1 patatina piccola, 2 milk-shake e 2 bottigliette d acqua. Abbastanza realistico!

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