Modello matematico PROGRAMMAZIONE LINEARE PROGRAMMAZIONE LINEARE

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1 PRGRMMZIN LINR Problemi di P.L. in due variabili metodo grafico efinizione: la programmazione lineare serve per determinare l allocazione ottimale di risorse disponibili in quantità limitata, per ottimizzare il raggiungimento di un obiettivo prestabilito, in condizioni di certezza Tipi di problemi risolubili con le tecniche della programmazione lineare (P.L.): problemi economici, problemi di distribuzione delle risorse, problemi di trasporto e di assegnazione, ecc. Modello matematico : Tutte le funzioni presenti nel modello sono lineari ttimizzare funzione obiettivo f(), vettore Vincoli di segno Vincoli tecnici: eguaglianze o diseguaglianze deboli Problema Un industria produce due prodotti e e utilizza due macchinari M e N. Per ogni unità di sono necessarie ora di M e ore di N, per ogni unità di sono necessarie ore di M e ore di N. Inoltre non può essere prodotto in più di 8 pezzi settimanali, la macchina M non può lavorare per più di 0 ore alla settimana, mentre N per non più di 60. eterminare qual è la combinazione produttiva più conveniente, sapendo che ogni unità di viene venduta a u.m. e ogni unità di a u.m., nell ipotesi che ogni quantità prodotta sia venduta. Schema risolutivo re disponibili = quantità di = quantità di z = funzione obiettivo = ricavo M 0 N 60 PRGRMMZIN LINR Modello matematico Un problema di Programmazione Lineare (P.L.) presenta un modello matematico costituito da: una funzione obiettivo (da massimizzare se esprime un utile, da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione un sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili I vincoli possono essere di segno (esprimono la nonnegatività delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema. 80 ma z = vincolo n + 60 vincolo n 0 8 vincoli n n 0 vincolo n Nel caso di due variabili di azione il modello assumerà la seguente struttura: Z = c + c Funzione obiettivo a a a, a o 0 o b b Vincoli di segno Vincoli tecnici

2 RISLUZIN N MT GRFI Questo metodo può essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due. Il metodo prevede la ricerca dell R MMISSIIL definita dal sistema di disequazioni dei vincoli. Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano Si rappresenta graficamente il sistema dei vincoli nel piano ottenendo la regione delle soluzioni ammissibili ( o dominio dei vincoli ) Tale area contiene tutte le coppie (, ) che soddisfano le disequazioni/equazioni del sistema; tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili. Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base; tra queste va cercata la soluzione ottimale. 8 8 opo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli, si otterrà un poligono che costituisce l area ammissibile. Tale area può essere rappresentata da un poligono, o da una regione poligonale illimitata, che possono eventualmente ridursi ad una semiretta, ad un segmento o ad un punto. P(,) Si rappresentano le linee di livello della funzione obiettivo (rette, in quanto la f.o. è un piano nello spazio). Si rappresenta la linea di livello corrispondente a z=0 (retta guida), che divide il piano in due parti in una delle quali z > 0 e nell altra z < 0. z>0 z<0 P(,) z = + Il semipiano in cui z > 0 può essere facilmente individuato in quanto è quello che contiene il punto P(m,n). Unendo l origine con il punto P e disegnando la freccia avente verso da a P si individua il semipiano in cui z > 0. Questa freccia (vettore di origine ed estremo P) risulta sempre perpendicolare al piano z= m + n. 86

3 sempi di regioni ammissibili Il vettore P indica il verso di crescita della funzione obiettivo z = m + n. z= all andamento delle linee di livello nel dominio si deduce se la funzione ammette massimo o minimo. z=0 z=- z= z = z ma z = z min Minimo in e nessun massimo Nessun minimo e massimo in sempi di regioni ammissibili sempi di regioni ammissibili Infiniti minimi nel segmento e un massimo in Minimo in e massimo in Minimo in e massimo in Un minimo in e infiniti massimi nel segmento

4 Soluzione problema In un problema di programmazione lineare se l insieme delle soluzioni ammissibili è un poligono chiuso, allora è un poligono chiuso convesso. Teorema ( Weierstrass + teorema fondamentale P.L. ) Se l insieme delle soluzioni ammissibili è un poligono convesso, il massimo e il minimo esistono e si trovano in un vertice del poligono 0 0 L area ammissibile è data dal poligono, con (0,0), (8,0), (8,), (0,), (0,0). Poiché il dominio dei vincoli è un poligono chiuso, calcoliamo i valori della f.o. nei vertici : z() = 0 z() = z() = z() = z() = La f.o. ha un massimo in con una produzione settimanale =8, =. Il vincolo su N è soddisfatto al massimo della sua disponibilità, mentre le ore di lavorazione per M sono solo delle 0 disponibili. Importanza della rappresentazione grafica sservazione Per determinare i punti estremi basta calcolare i valori della funzione obiettivo nei vertici del dominio, se questo è un poligono chiuso. Se il dominio dei vincoli è illimitato si esamina invece l andamento delle curve di livello per determinare, se esiste, un punto che ottimizza la funzione obiettivo La soluzione di un problema di P.L. a due variabili è semplice in quanto è possibile la rappresentazione grafica del campo di scelta che permette di individuare con rapidità i vertici tra i quali deve essere ricercato l ottimo. Ma se si tralasciasse di fare tale rappresentazione la mole dei calcoli sarebbe notevolmente superiore. Nell esempio precedente i punti,,,, sono i punti che risolvono le coppie dei vincoli espressi come eguaglianze: : : : : : sservazione Se in due vertici consecutivi la f.o. assume lo stesso valore, essa assume quello stesso valore in tutti i punti del segmento che li unisce. G 0 0 H F

5 G 0 F Se,invece, non viene rappresentata preliminarmente la regione ammissibile, si devono risolvere anche i sistemi relativi alle altre possibili coppie di vincoli espressi come eguaglianza (, F, G ): 0 H ovremmo quindi calcolare la funzione obiettivo anche in questi punti, che sono comunque vertici, ma non del campo di scelta. Quindi se non si avesse la rappresentazione grafica occorrerebbe risolvere tutti i sistemi e fare le opportune verifiche per accertare quali sono i vertici della regione ammissibile.