Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari

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1 Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un azienda intende incrementare il proprio organico per ricoprire alcuni compiti scoperti. I dati relativi ai compiti da ricoprire, ai compiti che potrebbero essere ricoperti dai possibili candidati e ai costi mensili previsti per ciascun candidato sono riportati nella seguente tabella (la X individua quale compito un candidato può ricoprire): Tabella di copertura dei compiti e relativi costi: Compiti Candidati X - - X X X X 3 X - X - - X X - X - Costo Per varie ragioni si devono inoltre considerare i seguenti vincoli: 1. Se viene scelto il candidato 1 non può essere scelto il candidato 4 2. Non è possibile assumere uno solo dei candidati 3 e 5 3. Possono essere scelti al massimo due tra i candidati 2, 5 e 6 Assumendo che un candidato può svolgere più di un compito, si vuole effettuare la scelta dei candidati che minimizza i costi mensili complessivi, con il vincolo che ogni compito deve essere ricoperto da almeno un candidato. Soluzione Si introducono delle variabili booleane x i =1 se il candidato i sarà assunto e x i =0 altrimenti. Il problema rientra nella classe dei problemi di copertura e la sua formulazione è la seguente: { }

2 Esercizio n.2 Risolvere il seguente problema di PL col metodo del simplesso Soluzione: Problema inammissibile Esercizio n.3 Determinare il duale del problema di PL dell esercizio n.2 Esercizio n. 4 Formulare il problema del flusso di costo minimo descrivendo le proprietà del modello.

3 Ricerca Operativa (Compito B) Appello del 18/06/2013 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un azienda intende incrementare il proprio organico per ricoprire alcuni compiti scoperti. I dati relativi ai compiti da ricoprire, ai compiti che potrebbero essere ricoperti dai possibili candidati e ai costi mensili previsti per ciascun candidato sono riportati nella seguente tabella (la X individua quale compito un candidato può ricoprire): Tabella di copertura dei compiti e relativi costi: Compiti Candidati X - - X X X X 3 X - X - - X X - X - Costo Per varie ragioni si devono inoltre considerare i seguenti vincoli: 1. Se viene scelto il candidato 1 non può essere scelto il candidato 6 2. Non è possibile assumere uno solo dei candidati 3 e 4 3. Possono essere scelti al massimo due tra i candidati 2, 5 e 6 Assumendo che un candidato può svolgere più di un compito, si vuole effettuare la scelta dei candidati che minimizza i costi mensili complessivi, con il vincolo che ogni compito deve essere ricoperto da almeno un candidato. Soluzione Si introducono delle variabili booleane x i =1 se il candidato i sarà assunto e x i =0 altrimenti. Il problema rientra nella classe dei problemi di copertura e la sua formulazione è la seguente: { }

4 Esercizio n.2 Risolvere il seguente problema di PL Soluzione: Ottimo illimitato Esercizio n.3 Determinare il duale del problema di PL dell esercizio n.2 Esercizio n.4 Formulare il problema del trasporto descrivendo le proprietà del modello.

5 Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 10/07/2013 Andrea Scozzari Esercizio n.1 1) Un risparmiatore vuole investire euro nell acquisto di un certo numero di quote relative a 4 fondi obbligazionari. Nella seguente tabella, per ciascun tipo di fondo (A,B,C,D), sono riportati il costo di acquisto di una singola quota del fondo ed il rendimento annuo atteso di una singola quota: Fondo Costo unitario (in euro) Rendimento annuo atteso (in euro) per ogni singola quota A 4,5 0,31 B 5 0,4 C 3 0,55 D 5,2 0,45 Se l obiettivo del risparmiatore è quello di massimizzare il rendimento complessivo annuo atteso, formulare opportunamente il modello di scelta di investimento. Si considerino inoltre i seguenti vincoli 1. Scrivere il vincolo per cui risulti che non più di euro devono essere investiti nei fondi B e C. 2. Scrivere il vincolo per cui almeno 5000 euro devono essere investiti nel fondo A. 3. Scrivere il vincolo per cui esattamente 9500 euro devono essere investiti nei fondi D e C Soluzione: Sono definite le seguenti variabili x i, i=1,2,3,4 che rappresentano il numero di quote investite in ciascuno dei 4 fondi disponibili. Il modello risulta:

6 Esercizio n.2 Risolvere il seguente problema di PL Soluzione: Esercizio n.3 Sia dato il seguente problema relativo al modello di Regressione Lineare Determinare il duale Soluzione: Si ricorda che nel modello di regressione le variabili originarie sono a (coefficiente angolare) e b (intercetta) della retta di regressione e non sono vincolate in segno. L introduzione delle variabili s i, i=1,2,3, consente di linearizzare il modello. Pertanto, si ha che la forma equivalente del problema primale è:

7 Assegnando, rispettivamente, ad ogni vincolo del primale le seguenti variabili: u 1, v 1, u 2, v 2, u 3, v 2, il duale risulta: in cui i primi due vincoli fanno riferimento alle variabili a e b.

8 Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 18/09/2013 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un reparto di un azienda industriale produce due tipi, A e B, di uno stesso componente meccanico. Il reparto dispone giornalmente di 30 Kg di materiale grezzo, di tre operai con un turno di 8 ore ciascuno e di una macchina automatica gestita da un solo tecnico che effettua un turno di lavoro di 5 ore e 30 minuti. Il componente A richiede 3 Kg di materiale grezzo, 2 ore di lavoro manuale e 15 minuti di lavoro a macchina; il tipo B richiede 3 Kg di materiale grezzo, 4 ore di lavoro manuale e 1 ora di lavoro a macchina. Il profitto dell azienda su un componente di tipo A è di , mentre quello sul tipo B è di Quanti componenti di tipo A e quanti di tipo B deve produrre giornalmente il reparto affinché il profitto dell azienda sia il massimo possibile? MAX: Z = X X2 X1 e X2 3X1 + 3X2 30 2X1 + 4X2 24 1/4X1 + X2 11/2 X1 0 X2 0 variabili intere Esercizio n.2 Risolvere il seguente problema di PL col metodo del simplesso X1 =1/5 X2 X3

9 Esercizio n.3 Determinare il duale del seguente problema di Programmazione Lineare Esercizio n.4 Risolvere per via geometrica il seguente problema di PL X1 =0, X2

10 Ricerca Operativa (Compito B) Appello del 18/09/2013 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un reparto di un azienda industriale produce due tipi, A e B, di uno stesso componente meccanico. Il reparto dispone giornalmente di 30 Kg di materiale grezzo, di tre operai con un turno di 8 ore ciascuno e di una macchina automatica gestita da un solo tecnico che effettua un turno di lavoro di 5 ore e 30 minuti. Il componente A richiede 3 Kg di materiale grezzo, 2 ore di lavoro manuale e 15 minuti di lavoro a macchina; il tipo B richiede 3 Kg di materiale grezzo, 4 ore di lavoro manuale e 1 ora di lavoro a macchina. Il profitto dell azienda su un componente di tipo A è di , mentre quello sul tipo B è di Quanti componenti di tipo A e quanti di tipo B deve produrre giornalmente il reparto affinché il profitto dell azienda sia il massimo possibile? MAX: Z = X X2 X1 e X2 3X1 + 3X2 30 2X1 + 4X2 24 1/4X1 + X2 11/2 X1 0 X2 0 variabili intere Esercizio n.2 Risolvere il seguente problema di PL col metodo del simplesso X1 =1/5 X2 X3

11 Esercizio n.3 Determinare il duale del seguente problema di Programmazione Lineare Esercizio n.4 Risolvere per via geometrica il seguente problema di PL X1 =0 X2

12 Ricerca Operativa (Compito A) Appello del 04/02/2014 Andrea Scozzari Esercizio n.1 Un reparto di un azienda industriale produce due tipi, A e B, di uno stesso componente meccanico. Il reparto dispone giornalmente di 30 Kg di materiale grezzo, di tre operai con un turno di 8 ore ciascuno e di una macchina automatica gestita da un solo tecnico che effettua un turno di lavoro di 5 ore e 30 minuti. Il componente A richiede 3 Kg di materiale grezzo, 2 ore di lavoro manuale e 15 minuti di lavoro a macchina; il tipo B richiede 3 Kg di materiale grezzo, 4 ore di lavoro manuale e 1 ora di lavoro a macchina. Il profitto dell azienda su un componente di tipo A è di , mentre quello sul tipo B è di Quanti componenti di tipo A e quanti di tipo B deve produrre giornalmente il reparto affinché il profitto dell azienda sia il massimo possibile? MAX: Z = X X2 X1 e X2 3X1 + 3X2 30 2X1 + 4X2 24 1/4X1 + X2 11/2 X1 0 X2 0 variabili intere Esercizio n.2 Risolvere il seguente problema di PL col metodo del simplesso X1 =1/5 X2 X3

13 Esercizio n.3 Determinare il duale del seguente problema di Programmazione Lineare Esercizio n.4 Risolvere per via geometrica il seguente problema di PL X1 =0, X2