Progetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di Localizzazione

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1 Progetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di Localizzazione Posizionamento di antenne È dato un insieme A di possibili siti in cui installare antenne, a ciascuno dei quali è associato un costo di installazione c i, i A. È dato un insieme di test point T. Per ogni possibile antenna i e per ogni test point j è data la distanza d ij : un antenna e un test point possono comunicare solo se la loro distanza è inferiore a un raggio massimo R. Si definisce una matrice M tale che m ij = 1 se la distanza d ij R e m ij = 0 se d ij > R. Ogni test point deve essere assegnato a un antenna: se un test point j T è assegnato a un antenna i A, l antenna j deve irradiare una potenza p ij. Ad ogni antenna possono venire assegnati al massimo P test point. Si vogliono installare esattamente K antenne con l obiettivo di minimizzare la potenza massima. Modello x ij, i A, j T : x ij = 1 se il test point j è assegnato all antenna i y i i A : y i = 1 se viene installata un antenna nel sito i Funzione obiettivo: min max i A,j T {p ijx ij } La funzione obiettivo non è lineare: per renderla lineare, oltre alle variabili x ij e y i, si deve definire una variabile ausiliaria z: z = max {p ijx ij }. i A,j T La funzione obiettivo diventa min z

2 Vincoli: vincolo per far assumere a z il corretto valore z p ij x ij i A, j T assegnamento dei test point: m ij x ij = 1, i A capacità delle antenne: x ij P, j T j T i A numero di antenne: y i = K i A legame tra variabile di assegnamento e variabile di installazione delle antenne: x ij y i i A, j T x ij {0, 1} y i {0, 1} i A, j T i A z 0

3 Localizzazione di concentratori Una rete di telecomunicazione è composta da due tipi di nodi diversi: i nodi terminali (insieme T ), la cui posizione è data, che sono le origini e le destinazioni della domande di traffico; è data la quantità di traffico d ik dal nodo terminale i al nodo terminale k; i nodi concentratori, il cui numero e posizione deve essere deciso, che raccolgono e instradano il traffico dei terminali; è dato l insieme C dei siti candidati a ospitare un nodo concentratore. Ogni nodo terminale deve essere assegnato ad uno e un solo nodo concentratore, che riceve e trasmette sia il traffico originato che destinato al nodo terminale. Per ogni unità di traffico instradata su un arco tra nodo terminale j e nodo concentratore i si paga un costo g ij. Per ogni potenziale nodo concentratore i C sono definiti una capacità Γ i, che rappresenta il massimo traffico che il concentratore può gestire e un costo di installazione f i. Si richiede di decidere dove installare i ndi concentratori e a quale concentratore assegnare ogni terminale. L obiettivo è quello di minimizzare il costo totale della rete. Modello x ij, i C, j T : x ij = 1 se il nodo terminale j è assegnato al concentratore i y i i C : y i = 1 se viene installato un concentratore nel sito i Funzione obiettivo: min i C f i y i + i C g ij (t jk + t kj ) k T j T x ij

4 Vincoli: assegnamento dei nodi terminali: x ij = 1, i C j T capacità dei nodi concentratori e legame tra variabili di apertura e di assegnamento: (t jk + t kj ) x ij Γ i y i i C j T k T x ij {0, 1} y i {0, 1} i C, j T i C Esercizio Formulare il modello nel caso in cui il traffico di un nodo terminale possa essere suddiviso tra più concentratori.

5 Modello alternativo Si indica con S i l insieme di tutti i sottoinsiemi di nodi terminali che possono essere assegnati ad uno stesso nodo concentratore i senza violarne la capacità e con S j l insieme dei sottoinsiemi a cui appartiene il nodo terminale j. x si, s S, i C : x si = 1 se il sottoinsieme s S i è assegnato al concentratore i y i i C : y i = 1 se viene installato un concentratore nel sito i Il costo associato al sottoinsieme s S i è dato da c s = g ij (t jk + t kj ) j s k T Funzione obiettivo: Vincoli: min i C c s x si + f i y i s S i i C assegnamento dei nodi terminali: s S j i C s S i x si = 1, j T legame tra variabili di apertura e di assegnamento: x si y i i C s S i x si {0, 1} y i {0, 1} i C, s S i i C Il vincolo di capacità è soddisfatto dalla costruzione dei sottoinsiemi.

6 Localizzazione di nodi della backbone Una rete di telecomunicazione è composta da due tipi di nodi diversi: i nodi terminali (insieme T ), la cui posizione è data, che sono le origini e le destinazioni della domande di traffico; è data la quantità di traffico t ij dal nodo terminale i al nodo terminale j; i nodi della backbone, il cui numero e posizione deve essere deciso, che raccolgono e instradano il traffico dei terminali; è dato l insieme C dei siti candidati a ospitare un nodo concentratore. Ogni nodo terminale deve essere assegnato ad uno e un solo nodo concentratore, che riceve e trasmette sia il traffico originato che destinato al nodo terminale. Il traffico tra due terminali i e j viene inviato dal nodo terminale i al concentratore a cui i è assegnato e da lì al nodo concentratore a cui è assegnato j. Infine viene inviato dal concentratore a j. Per ogni unità di traffico instradata su un arco tra nodo terminale i e nodo concentratore k si paga un costo γ ik, per ogni unità di traffico instradata su un arco tra due nodi concentratori k e m si paga un costo δ km. Per ogni potenziale nodo concentratore k C sono definiti una capacità G k, che rappresenta il massimo traffico che il concentratore può gestire in arrivo dai terminale, e un costo di installazione c k. Si richiede di decidere dove installare i nodi concentratori e a quale concentratore assegnare ogni terminale. L obiettivo è quello di minimizzare il costo totale della rete. Modello x ik, i T, k C : x ik concentratore k = 1 se il nodo terminale i è assegnato al y k k C : y k = 1 se viene installato un nodo concentratore nel sito k

7 Funzione obiettivo: min k C Vincoli: c k y k + i T γ ik (t ij + t ji ) x ik + j T k C ( δ km k C,m C i T,j T t ij x ik x jm ) assegnamento dei nodi terminali: x ik = 1, k C capacità dei nodi concentratori: t ij x ik + ( i T j T m C k m i T,j T i T t ji x ik x jm ) G k y k k C x ik {0, 1} y k {0, 1} i T, k C k C Il modello non è lineare poiché contiene il prodotto di variabili binarie: x ik x jm. Per rendere lineare il modello possiamo introdurre una variabile binaria zij km che rappresenti e sostituisca il prodotto x ik x jm. Per garantire che la nuova variabile assuma il corretto significato si introducono i vincoli: z km ij x ik + x jm 1 Esercizio Formulare il modello nel caso in cui, per gestire il traffico, si debbano installare canali trasmissivi sia sulle tratte che collegano i nodi terminali ai concentratori che sulle tratte che collegano tra loro i concentratori, sapendo che la capacità di un canale è λ e il costo è γ ik per un canale installato tra terminale i e concentratore k è δ km per un canale installato tra due nodi concentratori k e m.