Modelli di Programmazione Lineare. PRTLC - Modelli

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1 Modelli di Programmazione Lineare PRTLC - Modelli

2 Schema delle esercitazioni Come ricavare la soluzione ottima Modelli Solver commerciali Come ricavare una stima dell ottimo Rilassamento continuo - generazione di colonne Rilassamento Lagrangiano e surrogato Come ricavare una soluzione ammissibile Euristiche greedy Euristiche di ricerca locale

3 Modelli per problemi di telecomunicazione Network design (progetto di rete) Flusso multiprodotto Network design Localizzazione di facility Antenne Concentratori

4 Flusso multiprodotto (multicommodity) Dati Un grafo orientato G = (N,A). La capacità u ij e il costo c ij associati ad ogni arco (i,j) A. Un insieme di domande K, ciascuna descritta da sorgente sk N destinazione tk N quantità di flusso associato alla domanda dk Non ci sono due domande con la stessa copia origine-destinazione. Problema Instradare tutte le domande a costo minimo, rispettando le capacità degli archi

5 Modello per archi Variabili decisionali Quantità di flusso relativo ad ogni domanda k su ogni arco (i,j): x k ij 0 (i,j) A, k K Funzione obiettivo min (i,j) Ak K c ij x k ij

6 Modello per archi Vincoli Bilanciamento ai nodi (garantisce instradamento della domanda): (i,j) A x k ij (j,i) A d k se i = s k, xji k = d k se i = t k 0 se i s k,t k, i N, k K capacità degli archi: k K x k ij u ij, (i,j) A dominio delle variabili: x k ij 0, (i,j) A

7 Dimensione della formulazione Numero di variabili : A K Numero di vincoli : N K + A

8 Modello per flussi Si basa sul flusso sui cammini del grafo anziché sugli archi Esempio : Domanda da 1 a 6 x x 12 x x 13 x 56 3 x 35 5 invece di x 12,x 24,x 46 usiamo x p1, dove p1 è il cammino rosso invece di x 13,x 35,x 56 usiamo x p2, dove p2 è il cammino blu

9 Modello per cammini Parametri P l insieme di tutti i possibili cammini che collegano nodi del grafo P k insieme dei cammini che collegano gli estremi della domanda k P ij insieme dei cammini che passano per l arco (i,j) Il costo di un cammino : c p = (i,j) p c ij.

10 Modello per cammini Variabili decisionali Quantità di flusso che passa su ogni cammino (relativo a una precisa domanda): x p 0 p P Funzione obiettivo min c p x p p P

11 Modello per cammini Vincoli instradamento delle domande: capacità degli archi: p P k x p = d k p P ij x p u ij, k K (i,j) A dominio delle variabili: x p 0

12 Dimensione della formulazione Numero di variabili : esponenziale generazione di colonne, per evitare di enumerare tutti i possibili cammini Numero di vincoli : K + A

13 Network design Come cambia il problema Ogni domanda deve usare un solo cammino (routing unsplittable) La capacità degli archi non è data ma deve essere stabilita come risultato dell ottimizzazione, decidendo il numero di canali trasmissivi da installare su ogni arco: dimensionamento della rete Se si decide che un arco ha capacità nulla, l arco non appartiene alla rete: design topologico della rete

14 Il problema Dati Un grafo orientato G = (N,A). Un insieme di domande di traffico K, ciascuna descritta da sorgente sk N destinazione tk N domanda dk La capacità λ fornita da ogni canale trasmissivo Il costo c ij di installare un canale trasmissivo sull arco (i,j) A. Problema Instradare tutte le domande, decidere quanti canali trasmissivi installare su ogni arco a costo minimo

15 Modello per archi Variabili decisionali Instradamento di ogni domanda k è rappresentato da una variabile binaria che indica se la domanda è instradata o meno sull arco: x k ij {0,1} Numero di canali installati sull arco (i, j): (i,j) A, k K y ij Z + (i,j) A Funzione obiettivo min c ij y ij (i,j) A

16 Modello per archi Vincoli Bilanciamento ai nodi: j N: (i,j) A xij k xji k = j N: (j,i) A 1 se i = s k, 1 se i = t k 0 se i s k,t k, i N, k K Dimensionamento della capacità degli archi: k K Dominio delle variabili: x k ij {0,1} yij Z + d k x k ij λy ij, (i,j) A

17 Dimensione della formulazione Numero di variabili : A K binarie + A intere Numero di vincoli : N K + A

18 Modello per cammini Parametri P l insieme di tutti i possibili cammini che collegano nodi del grafo P k insieme dei cammini che collegano gli estremi della domanda k P ij insieme dei cammini che passano per l arco (i,j)

19 Modello per cammini Variabili decisionali Instradamento delle domande, rappresentato da variabili logiche che indicano se una domanda usa o meno un cammino: x p {0,1} Numero di canali installati sull arco (i, j): p P y ij Z + (i,j) A Funzione obiettivo min c ij y ij (i,j) A

20 Modello per cammini Vincoli instradamento delle domande: x p = 1 p P k k K dimensionamento della capacità degli archi: d k x p λy ij, (i,j) A k:p P k p P ij Dominio delle variabili: xp {0,1} yij Z +

21 Dimensione della formulazione Numero di variabili : esponenziale (generazione di colonne per risolvere il rilassamento continuo) Numero di vincoli : K + A

22 Canali bidirezionali Canali bidirezionali Ogni canale trasmissivo offre la stessa capacità λ in entrambe le direzioni Domande splittable Le domande possono suddividersi su più cammini Variabili decisionali Istradamento: 0 x k ij 1 (i,j) A, k K Numero di canali installati sull arco non direzionato {i, j}: y ij Z + {i,j} A : i < j

23 Modello per archi Funzione obiettivo: min (i,j) A: i<j c ij y ij Vincoli Bilanciamento ai nodi: j N: (i,j) A xij k xji k = j N: (j,i) A 1 se i = s k, 1 se i = t k 0 se i s k,t k, i N, k K

24 Modello per archi Vincoli Dimensionamento della capacità degli archi: { λy ij max d k xij, } k d k xji k k K k K è un vincolo non lineare: si può linearizzare d k xij k λy ij, (i,j) A : i < j k K d k xji k λy ij, k K Dominio delle variabili: x k ij 0,xij k 1 yij Z + (i,j) A : i < j

25 Esercizio Esercizio Scrivere il modello per cammini del problema

26 Network design con protezione e dimensionamento dei nodi Dimensionamento dei nodi Ad ogni nodo i N sono associati Un costo di attivazione φi Una capacità massima γi (massimo flusso entrante che un nodo può gestire) Su ogni nodo bisogna installate delle interfacce che servono per gestire i canali trasmissivi incidenti: Costo di interfaccia bi Capacità di interfaccia µi (numero di canali in entrata che l interfaccia può gestire)

27 Network design con protezione e dimensionamento dei nodi Protezione da guasti di nodo e arco Per ogni domanda devono essere definiti due cammini, un cammino primario e uno di backup Su ogni cammino è installata tutta la capacità richiesta dalla domanda che è ad essa dedicata I due cammini non devono avere archi o nodi in comune

28 Modello per archi Variabili decisionali Instradamento x k ij {0,1}, (i,j) A Dimensionamento degli archi y ij Z + (i,j) A Apertura dei nodi (indica se il nodo i è usato nella soluzione o no): z i {0,1} i N Dimensionamento dei nodi (indica il numero di interfacce installate sul nodo i): s i Z + i N

29 Modello per archi Funzione obiettivo min (i,j) Ac ij y ij + (φ i z i +b i s i ) i N Vincoli Bilanciamento ai nodi - presenza di due cammini disgiunti in arco: xij k 2 se i = s k, xji k = 2 se i = t k i N, k K j N: (j,i) A 0 se i s k,t k, j N: (i,j) A

30 Modello per archi Vincoli Dimensionamento della capacità degli archi: k K d k x k ij λy ij, (i,j) A Capacità e attivazione dei nodo: d k xji k γ i z i k K (j,i) A Dimensionamento dei nodi: y ji µ i s i (j,i) A i N i N

31 Modello per archi Vincoli Protezione dai guasti di nodo - cammini disgiunti in nodo: (j,i) A x k ji 1 Dominio delle variabili: x k ij {0,1} yij Z + zi {0,1} si Z + i N, k K : i t k

32 Esercizio Esercizi Come è possibile calcolare due cammini disgiunti in archi, data una rete e una domanda? A quale problema corrisponde? Scrivere il modello per cammini del problema.

33 Esercizio Il problema Un grafo orientato G = (N,A). Un insieme di domande di traffico K, ciascuna descritta da sorgente sk N destinazione tk N domanda dk La capacità λ fornita da ogni canale trasmissivo Il costo c ij di installare un canale trasmissivo sull arco (i,j) A Il budget massimo B che si può spendere per costruire la rete

34 Esercizio Obiettivo Pianificare la rete di costo complessivo non superiore a B, in modo da massimizzare la capacità inutilizzata sull arco più occupato, sapendo che le domande non possono essere suddivise su più cammini.