Esame di Ricerca Operativa del 20/12/13. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:

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1 Esame di Ricerca Operativa del 0// (Cognome) (Nome) (Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x + x x +x x x x x x x 0 x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Una ditta utilizza un cargo per il trasporto di prodotti P, P e P. Il cargo ha tre scompartimenti per il carico: A,B,C. La seguente tabella mostra i limiti in peso e spazio degli scompartimenti. capacità di peso (tonn) capacità di spazio (m ) A 000 B 800 C 000 La seguente tabella mostra per ogni prodotto la quantità massima (in tonn) di merce da caricare e il volume occupato. peso (tonn) volume occupato (m /tonn) P 0 00 P 00 P 0 Sapendo che il profitto ottenuto dal trasportodi una tonnellatadi merce è di 00Euro/tonnper P, 0Euro/tonnper P e 0 Euro/tonn per P, determinare come distribuire la merce negli scompartimenti per massimizzare il profitto. COMANDI DI MATLAB c= A= b= Aeq= beq= lb= ub=

2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) - (,) (0,9) - (,) (0,) (,) (,) (,0) (,) (0,9) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. (,) iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente

3 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 9 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =

4 Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x x + x 0 x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio: Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x + x x +x x x x x x x 0 x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, ) SI NO {, } y = ( 0, 0, ) 8, 0, 8, 0 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. Esercizio. Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante iterazione {, } (0, ) (0, 0,,, 0, 0) iterazione {, } (, ) variabili decisionali x i,j = tonnellate di prodotto i immagazzinato nello scompartimento j; i=,,; j=a,b,c ( 0, 0, ) 8, 0, 8, 0 NO NO 9,, 8 modello max 00 (x A +x B +x C ) +0 (x A +x B +x C ) +0 (x A +x B +x C ) x A +x B +x C 0 x A +x B +x C x A +x B +x C x A +x A +x A x B +x B +x B x C +x C +x C 00 x A +00 x A +0 x A x B +00 x B +0 x B x C +00 x C +0 x C 000 x i,j 0 c = -[ 00; 00; 00;0; 0; 0; 0; 0; 0] A = [ ; ; ; ; ; b = [ 0; ; ; ; ; ;000; 800; 000] ; ; ; ] Aeq = [] beq = [] lb = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0] ub = []

6 Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) - (,) (0,9) - (,) (0,) (,) (,) (,0) (,) (0,9) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (0, 0,,, 0, 0,,, 0,, ) NO SI (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0,, 0,, 0,, ) NO SI Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. (,) iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) (,) x (0, 0,,, 0,,, 0,, 0, ) (0,,,, 0,,, 0,, 0, 0) π (0,,,,, 8, 8) (0,, 0,,, 8, ) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ 9,, Arco uscente (,) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo 9 9 nodo nodo nodo + + nodo insieme Q,,,,,,,,,

7 b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 9 cammino aumentante δ x v (0, 9, 0, 0, 0, 0, 9, 0, 0, 0, 0) (, 9, 0,, 0, 0, 9, 0, 0,, 0) (,, 0,, 0,, 9, 0, 0,, 0) (,,,, 0,, 9, 0,,, ) Taglio di capacità minima: N s = {,,,} N t = {,,} Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x x + x 0 x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento = 0, ) b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v S (P) = sol. ammissibile = (0,) v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x r = x +8x 9 Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P) = 8 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = 0 c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

8 8,0 P x = 0 x = 8,0 P,,0 P, x = 0 x =,0 P, 8,0 P, x = 0 x =,0 P, 8,0 P,