Esame di Ricerca Operativa del 22/01/18

Transcript

1 Esame di Ricerca Operativa del /0/8 (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Un azienda informatica produce tre tipi di processori P, P, P nelle sedi S, S, S. La capacitá di produzione settimanale delle sedi S, S, S é data da 000, 00 e 00 processori rispettivamente, ed il costo di produzione di un singolo processore di tipo P i nello stabilimento S j e dato da c ij, i =,, j =,,. Sapendo che la produzione settimanale deve essere di almeno 900 processori per ogni tipo e che la produzione dei processori di tipo P nella sede S deve essere inferiore al 0% della produzione dei processori di tipo P nelle sedi S ed S, si scriva un problema di programmazione lineare per determinare la quantitá di processori da produrre settimanalmente in ciascuna sede in modo da minimizzare il costo complessivo di produzione. variabili decisionali: modello: Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x +x x x 9 x +x 9 x x x + x x x x Base Soluzione di base {, } x = {, } y = Ammissibile Degenere Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante

2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) (,) (,) - (,9) (0,) (,) (9,) (,8) - (9,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente

3 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =

4 Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x 9 x +0 x x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio: Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

5 SOLUZIONI Esercizio. Variabili decisionali: x ij = quantita di processori di tipo P i prodotti settimanalmente nelle sedi S j, i =,,, j =,,; Modello: min c ij x ij i= j= x +x +x 000 x +x +x 00 x +x +x 00 x +x +x 900 x +x +x 900 x +x +x 900 x 0.(x +x ) x ij 0, x ij Z, i =,,, j =,,, Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x +x x x 9 x +x 9 x x x + x x x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere {, } x = (, 0) SI NO {, } y = ( ), 0,, 0, 0, 0 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante NO NO iterazione {, } (, 0) (0, 0,, 0, 0, ), 0 iterazione {, } (, 0) (0, 0, 0, 0,, ), Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) (,) (,) - (,9) (0,) (,) (9,) (,8) - (9,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (, 0, 0,, 0,,, 0, 9) NO NO (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0,, 8,,, 8) NO NO

6 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) (,) x (, 0, 0,,,, 0,, ) (, 0, 0,,,,,, 0) π (0,,, 9,, ) (0,,, 9,, ) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ,, Arco uscente (,) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo + nodo nodo insieme Q,,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v (0,, 0, 0,, 0, 0, 0,, 0, 0) (0,,, 0,, 0,, 0,, 0, ) (,,,,, 0,, 0,, 0, ) (9,,, 9,, 8,, 0,, 0, ) 0

7 Taglio di capacità minima: N s = {,,} N t = {,,,} Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x 9 x +0 x x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( ) sol. ottima del rilassamento = 9,0 b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v S (P) = sol. ammissibile = (,0) v I (P) = 8 c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x r = x +x Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = 9 c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.,9 P x = 0 x = 0,9 P,,9 P, x = 0 x =,9 P, 0,9 P, x = 0 x =,9 P,,9 P,