città

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1 Esercitazione Esercizio 1. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di 5 città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il 5 albero di costo minimo. 5 albero: v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo 1. ciclo: v S (P) = c) Risolvere il problema con l algoritmo del Branch and Bound, utilizzando il 5 albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x 34, x 24 e x 45. ciclo ottimo = costo = Esercizio 2. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 5 x x 2 18x 1 +8x x 1 +18x 2 61 x i Z + 1

2 sol. ottima del rilassamento = v S (P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando un algoritmo greedy. r = taglio: Esercizio 3. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min 8 x 1 +7 x 2 15 x x x x 2 43 x 1 0 x 2 0 x 1,x 2 Z sol. ottima del rilassamento = v S (P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. r = taglio: Esercizio 4. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a 229 metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti (ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. 2

3 SOLUZIONI Esercizio 1. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di 5 città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il 5 albero di costo minimo. 5 albero: (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,5) v I (P) = 86 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo 1. ciclo: v S (P) = 95 c) Risolvere il problema con l algoritmo del Branch and Bound, utilizzando il 2 albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x 34, x 24 e x 45. P x 34 = 0 x 34 = 1 P 1, P 1,2 x 24 = 0 x 24 = 1 P 2, P 2,2 x 45 = 0 x 45 = 1 P 3, P 3,2 ciclo ottimo = costo = 95 Esercizio 2. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 5 x x 2 18x 1 +8x x 1 +18x 2 61 x i Z + ottimo rilassamento = ( 0, 61/18 ) v S (P) = 47 b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando un algoritmo greedy. sol. ammissibile = ( 0, 3 ) v I (P) = 42 3

4 r = 2 taglio: x 2 3 r = 3 taglio: 7x 1 +10x 2 33 Esercizio 3. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min 8 x 1 +7 x 2 15 x x x x 2 43 x 1 0 x 2 0 x 1,x 2 Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( 74 sol. ottima del rilassamento = 100, 309 ) v I (P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = (1,4) v S (P) = 36 r = 1 7x 1 +5x 2 21 r = 2 8x 1 +11x 2 40 Esercizio 4. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a 229 metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti (ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = (1,0,1,0,0,0) v I (P) = 29 b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento = 1,0,1,0,0, 42 ) v S (P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. 4

5 29,44 P x 6 = 0 x 6 = 1 29,42 P 1,1 29,42 P 1,2 x 2 = 0 x 2 = 1 x 1 = 0 x 1 = 1 38(agg. da 29),38 38 (agg. da 29),30 38 (agg. da 29),32 38,38 P 2,1 P 2,2 P 2,3 P 2,4 soluzione ottima = (1,0,0,0,0,1) valore ottimo = 38 5