Esame di Ricerca Operativa del 23/02/17

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1 Esame di Ricerca Operativa del /0/ (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: min y + y + y + y y +0 y + y y y +y y +y + y + y = 9 y y y y + y y = y 0 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso duale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice entrante uscente Esercizio. Una ditta produce mattonelle in tre diversi stabilimenti (Pisa, Livorno, Pontedera) e li vende a tre imprese edili (A, B, C). Il costo di produzione delle mattonelle varia: la produzione costa 9 euro/kg nello stabilimento di Pisa, 0. euro/kg in quello di Livorno e 0 euro/kg in quello di Pontedera. Il costo (in euro) per spedire un kg di mattonelle da uno stabilimento ad un cliente è indicato nella seguente tabella: imprese edili stabilimento A B C Pisa Livorno Pontedera I tre stabilimenti possono produrre al massimo 800, 900 e 000 kg di mattonelle al mese. In base alle previsioni sulle vendite, la domanda mensile delle tre imprese edili è pari a 000, 800 e 00 kg di mattonelle. Per bilanciare la produzione si richiede che la produzione nell impianto con costo maggiore (quello di Livorno) sia almeno la metà della produzione nell impianto di Pisa ed almeno un terzo della produzione nell impianto di Pontedera. Determinare quanti kg di mattonelle deve produrre la ditta in ogni stabilimento in modo da minimizzare il costo totale. variabili decisionali: modello: c= COMANDI DI MATLAB A= b= Aeq= lb= beq= ub=

2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (8,0) (,) (,9) - (,9) (8,) (,9) (,0) (8,9) (,) - Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete

3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 0 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 0 x + x 8 x + x 9 x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

4 Esercizio 8. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a 89 metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti (ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori 9 0 Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = v I (P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione f(x,x ) = x x +x sull insieme {x R : x +x 0, x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale (, 0) (, 0) (0, 0) (0, ) Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x x + x x P e i vertici di P sono (, ), (, ), (0,) e (,0). Fare un passo del metodo di Frank-Wolfe. Punto Funzione obiettivo Sol. ottima Direzione Passo Nuovo punto problema linearizzato problema linearizzato (, )

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: min y + y + y + y y +0 y + y y y +y y +y + y + y = 9 y y y y + y y = y 0 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, ) SI NO {, } y = (0, 0,, 8, 0, 0, 0) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso duale per il problema dell esercizio. iterazione {, } iterazione {, } Base x y Indice Rapporti Indice entrante uscente ( ), ( ) ( 8, 8 0, (0,, 0, 0, 0,, 0),, ), 0, 0, 0, 0 8, Esercizio. Variabili decisionali: numerati con, e gli stabilimenti, e numerati con, e i clienti, indichiamo con x ij la quantità di vernice prodotta dall impianto i per il cliente j. Modello: min 9. x +9. x +9. x +0.8 x +0. x +0. x +0. x +0. x +0. x x +x +x 800 x +x +x 900 x +x +x 000 x +x +x 000 x +x +x 800 x +x +x 00 x +x +x (x +x +x )/ x +x +x (x +x +x )/ x 0 Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (8,0) (,) (,9) - (,9) (8,) (,9) (,0) (8,9) (,) - Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,, 0,, 0, 0, 0,,, 0) NO SI (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0,,,,, ) SI SI Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. (,)

6 iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) (,) x (, 0, 0,,,,, 0, 0, ) (,, 0,,,, 0, 0, 0, ) π (0,,,,, ) (0,,,,, ) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ, 9, Arco uscente (,) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q,,,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 0 cammino aumentante δ x v (0,, 0, 0,, 0, 0, 0,, 0, 0) (0,,, 0,, 0,, 0,, 0, ) (,,,,, 0,, 0,, 0, ) (,,,,, 0,, 0, 9,, )

7 Taglio di capacità minima: N s = {,,} N t = {,,,} Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 0 x + x 8 x + x 9 x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento = 9, 9 ) v S (P) = 9 b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = (,) v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x +x r = 9x +x Esercizio 8. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a 89 metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti (ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori 9 0 Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = (,,0,,,0,0) v I (P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento =,,0,,, ),0 v S (P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria., P x = 0 x =, P,, P, x = 0 x =,9 P,,8 P, soluzione ottima = (,,0,0,,,0) valore ottimo = Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione f(x,x ) = x x +x sull insieme {x R : x +x 0, x 0}.

8 Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale (, 0) (,) NO NO SI SI NO (, 0) (,) NO NO SI SI NO (0, 0) (0,) NO NO NO NO SI (0, ) (,0) SI SI NO NO NO Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x x + x x P dove P è il poliedro di vertici (, ), (, ), (0,) e (,0). Fare una iterazione del metodo di Frank-Wolfe. Punto Funzione obiettivo Sol. ottima Direzione Passo Nuovo punto problema linearizzato problema linearizzato ( ( ), x ( ) x (,0),, ) 8