Esame di Ricerca Operativa del 25/06/12

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Luisa Mancini
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1 Esame di Ricerca Operativa del /0/ Cognome) Nome) Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x x x + x x x 8 x x x + x x x Base Soluzione di base {, } x = {, } y = Ammissibile Degenere si/no) si/no) Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete,),) 0,9) 0,) 0,),8),),),0),),) - Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no),),),),),),),) x =,),),),),),),) π = 0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T,),),),),),) Archi di U,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente

2 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 8 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkersoncon la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =

3 Esercizio. Una ditta produce tipi di cocktail A, B, C e D utilizzando spumante, rum, succo d arancia ed il cocktail D con la seguente tabella di miscelazione. A B C D spumante 0% 0% 80% 0% rum 0% 0% % % D 0% 0% Mensilmente la ditta ha a disposizione 00 litri di spumante e 00 litri di rum. La produzione deve essere di almeno 0 litri di A, 0 di B e 0 di C. Sapendo che il profitto ricavato dalla vendita dei cocktails è rispettivamente di,, e. Euro, determinare la produzione giornaliera che massimizza il profitto. variabili decisionali: modello: c= COMANDI DI MATLAB A= b= Aeq= lb= beq= ub= Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x 9 x + x 8 0 x +9 x 0 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

4 Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x. Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione fx,x ) = x x sull insieme {x R : x +x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x + x x x x P dove P è il poliedro di vertici, ),,),, 0) e, ). Fare una iterazione del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto possibile, )

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x x x + x x x 8 x x x + x x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no) {, } x =, ) SI NO {, } y = ), 0, 0, 0,, 0 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante iterazione {, }, ) iterazione {, }, ) 0, ), 0, 0, 8, 0 8, ), 0, 0, 0, 0 NO NO, 09, 8 Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità).,),) 0,9) 0,) 0,),8),),),0),) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no),),),),),),),) x =, 0, 0,, 0,,, 0,,, ) NO NO,),),),),),),) π = 0, 0, 0,, 0,, ) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T,),),),),),),),),),),),) Archi di U,),) x 0,,,,,, 0, 0,, 0, ), 0,,,,, 0, 0,, 0, ) π 0,,, 0,,, 8) 0, 0, 0,,,, ) Arco entrante,),) ϑ +, ϑ 9,, Arco uscente,),),) -

6 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 8 iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo nodo nodo + + insieme Q,,,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkersoncon la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v - - 0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) - - -,, 0, 0,, 0,, 0, 0,, 0) - - -,,, 0,, 0,, 0,,, ) 9 Taglio di capacità minima: N s = {,,,,,} N t = {}

7 Esercizio. c=[ -. ; -. ; -; -. ] COMANDI DI MATLAB A=[ ; ; ] Aeq=[] lb=[0 ; 0 ; 0; 0 ; 0 ] b=[00;00;0] beq=[] ub=[] Al guadagno di A e a quello di B vanno sottratti il mancato guadagno della quota di D usata per fare A e B. Al consumo di spumante e di rum di A e B vanno aggiunte le quote usate per fare il D necessario a fare A e B esempio 0. è il 0% del 0%) Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x 9 x + x 8 0 x +9 x 0 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = 0, 8 ) b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v I P) = sol. ammissibile = 0,) v S P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = 9x +x r = x +x 9

8 Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero:, ), ), ), ), ) v I P) = 9 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S P) = 0 c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x. 9,0 P x = 0 x = 0,0 P, 9,0 P, x = 0 x = 09,0 P, 9,0 P, x = 0 x = 9,0 P, vuoto P,8 Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione fx,x ) = x x sull insieme {x R : x +x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale 0, ) NO NO SI SI NO 0, ) ) NO NO SI SI NO, 0 NO NO NO NO SI ), 0 NO NO NO NO SI 0, 0) 0 SI SI NO NO NO Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x + x x x x P dove P è il poliedro di vertici, ),,),, 0) e, ). Fare una iterazione del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto ) possibile ), 0 0,0) 0, ) 0, ) 0

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