Grafi. Moreno Marzolla Dip. di Informatica Scienza e Ingegneria Università di Bologna. moreno.marzolla@unibo.it

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1 Grafi Moreno Marzolla ip. di Informatica Scienza e Ingegneria Università di ologna moreno.marzolla@unibo.it

2 opyright lberto Montresor, Università di Trento, Italy ( opyright Moreno Marzolla, Università di ologna, Italy ( This work is licensed under the reative ommons ttribution-nonommercial- Sharelike License. To view a copy of this license, visit or send a letter to reative ommons, 543 Howard Street, 5th loor, San rancisco, alifornia, 94105, US. lgoritmi e Strutture ati 2

3 sempi di grafi a v 1 v 4 b e 1 e 2 e 4 e d c v 2 e 3 v 3 v 5 lgoritmi e Strutture ati 3

4 sempi di grafi Link tra le pagine web di amazon.com lgoritmi e Strutture ati 4 (onte:

5 sempi di grafi Rotte commerciali medievali lgoritmi e Strutture ati 5

6 Problemi sui grafi Visite Visite in ampiezza Visite in profondità ammini minimi a singola sorgente ra tutte le coppie di vertici lberi di copertura minimi (Minimum Spanning Tree) Problemi di flusso... lgoritmi e Strutture ati 6

7 efinizioni lgoritmi e Strutture ati 7

8 Grafi orientati e non orientati Un grafo orientato G è una coppia (V, ) V: insieme finito di n vertici (detti anche nodi) : insieme finito di m archi (coppie ordinate di nodi) Un grafo non orientato G è una coppia (V, ) V: insieme finito di n vertici (detti anche nodi) : insieme finito di m archi (coppie non ordinate di nodi) V = {,,,,, } = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } V = {,,,,, } = { {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,} } lgoritmi e Strutture ati 8

9 Incidenza e diacenza In un grafo orientato l'arco (v, w) è incidente da v in w Un nodo w è adiacente a v se e solo se (v, w) (, ) è incidente da a (, ) è incidente da a (, ) è incidente da a è adiacente ad è adiacente a,, è adiacente a e viceversa non è adiacente a, non è adiacente ad alcun nodo lgoritmi e Strutture ati 9

10 efinizioni: grado In un grafo non orientato, il grado δ(v) di un nodo v è il numero di archi incidenti (cioè il numero di archi che hanno quel nodo come uno degli estremi), ed hanno grado 2 e hanno grado 3 ha grado 0 lgoritmi e Strutture ati 10

11 efinizioni: grado In un grafo orientato, il grado entrante δ in (v) (uscente δ out (v)) di un nodo v è il numero di archi incidenti in (da) esso Il grado di un nodo è la somma del grado entrante e del grado uscente ha g. u. 2 e g. e. 1 ha g. u. 1 e g. e. 1 ha g. u. 0 e g. e. 3 ha g. u. 3 e g. e. 1 e hanno grado 3 ha grado 2 ha grado 4 lgoritmi e Strutture ati 11

12 Grafi pesati In alcuni casi ogni arco ha un peso (o costo) associato Il costo può essere definito tramite una funzione di costo c: V V R, dove R è l insieme dei numeri reali Quando tra due vertici non esiste un arco, in generale si assume che siano collegati con un arco di costo infinito 3 4 c(, ) = lgoritmi e Strutture ati 12

13 Rappresentazione di grafi Operazioni che la struttura dati può supportare numnodi() intero numrchi() intero grado(nodo v) intero archiincidenti(nodo v) (arco, arco,... arco) estremi(arco e) (nodo, nodo) opposto(nodo x, arco e) nodo sonodiacenti(nodo x, nodo y) booleano aggiunginodo(nodo v) aggiungirco(nodo x, nodo y) rimuovinodo(nodo v) rimuovirco(arco e) lgoritmi e Strutture ati 13

14 lcune strutture dati per grafi non orientati lgoritmi e Strutture ati 14

15 Matrice di adiacenza M [u, v]={ 1 se {u, v} 0 altrimenti Spazio: Θ( n 2 ) M=(0 0) lgoritmi e Strutture ati 15

16 Matrice di adiacenza in grafi pesati c u, v M [u, v]={ Spazio: Θ( n 2 ) se {u,v} altrimenti M = lgoritmi e Strutture ati 16

17 osti Matrice di adiacenza grado(nodo v) intero O(n) archiincidenti(nodo v) (arco, arco,... arco) O(n) sonodiacenti(nodo x, nodo y) booleano O(1) aggiunginodo(nodo v) O(n 2 ) aggiungirco(nodo x, nodo y) O(1) rimuovinodo(nodo v) O(n 2 ) rimuovirco(arco e) O(1) lgoritmi e Strutture ati 17

18 Liste di adiacenza Spazio: Θ( n + m ) v.adj = { w {v, w} } lgoritmi e Strutture ati 18

19 osti Liste di adiacenza grado(nodo v) intero O(δ(v)) archiincidenti(nodo v) (arco, arco,... arco) O(δ(v)) sonodiacenti(nodo x, nodo y) booleano O(min{δ(x), δ(y)}) aggiunginodo(nodo v) O(1) aggiungirco(nodo x, nodo y) O(1) rimuovinodo(nodo v) O(m) rimuovirco(arco e) O(δ(x)+δ(y)) δ(x) = grado del nodo x (numero di nodi adiacenti a x) lgoritmi e Strutture ati 20

20 Liste di archi Spazio: Θ( m ) {,} {,} {,} {,} {,} {,} lgoritmi e Strutture ati 21

21 osti Liste di archi grado(nodo v) intero O(m) archiincidenti(nodo v) (arco, arco,... arco) O(m) sonodiacenti(nodo x, nodo y) booleano O(m) aggiunginodo(nodo v) O(1) aggiungirco(nodo x, nodo y) O(1) rimuovinodo(nodo v) O(m) rimuovirco(arco e) O(1) lgoritmi e Strutture ati 22

22 lcune strutture dati per grafi orientati lgoritmi e Strutture ati 23

23 Matrice di adiacenza M [u, v]={ 1 se u,v 0 altrimenti Spazio: Θ( n 2 ) M = lgoritmi e Strutture ati 24

24 Liste di adiacenza Spazio: Θ( n + m ) v.adj = { w (v, w) } lgoritmi e Strutture ati 25

25 Ulteriori definizioni lgoritmi e Strutture ati 26

26 ammini Un cammino in G=(V, ) è una sequenza di vertici <w 0, w 1,..., w k > tale che {w i, w i+1 } per 0 i k - 1 Il cammino <w 0, w 1, w 2,..., w k > contiene i nodi w 0, w 1,, w k e gli archi {w 0,w 1 } {w 1,w 2 }...{w k -1,w k } La lunghezza del cammino è il numero di archi attraversati <,,, > è un cammino di lunghezza 3 lgoritmi e Strutture ati 27

27 ammini Un cammino si dice semplice se tutti i suoi vertici sono distinti (compaiono una sola volta nella sequenza) Il cammino <,,, > è semplice ma il cammino <,,,,, > non è semplice, poiché è ripetuto lgoritmi e Strutture ati 28

28 ammini Se esiste un cammino c tra i vertici v e w, si dice che w è raggiungibile da v tramite c è raggiungibile da e viceversa è raggiungibile da ma non viceversa lgoritmi e Strutture ati 29

29 Grafi connessi Se G è un grafo non orientato, diciamo che G è connesso se esiste un cammino da ogni nodo ad ogni altro nodo. Questo grafo non orientato è connesso. Questo grafo non orientato non è connesso. lgoritmi e Strutture ati 30

30 Grafi fortemente connessi Se G è un grafo orientato, diciamo che G è fortemente connesso se esiste un cammino da ogni nodo ad ogni altro nodo. Questo grafo orientato è fortemente connesso. Questo grafo orientato non è fortemente connesso; ad es., non esiste cammino da a. lgoritmi e Strutture ati 31

31 Versione non orientata Se G è un grafo orientato, il grafo ottenuto ignorando la direzione degli archi e i cappi è detto grafo non orientato sottostante o anche versione non orientata di G. lgoritmi e Strutture ati 32

32 Versione orientata Se G è un grafo non orientato, il grafo ottenuto inserendo due archi orientati opposti per ogni arco non orientato del grafo è detto la versione orientata di G. lgoritmi e Strutture ati 33

33 Grafi debolmente connessi Se G è un grafo orientato che non è fortemente connesso, ma la sua versione non orientata è connessa, diciamo che G è debolmente connesso Questo grafo orientato non è fortemente connesso, ma è debolmente connesso lgoritmi e Strutture ati 34

34 icli Un ciclo in un grafo orientato è un cammino <w 0, w 1,, w n > di lunghezza almeno 3, tale che w 0 = w n Un ciclo è semplice se i nodi w 1,..., w n-1 sono tutti distinti Il cammino <,,,,, > è un ciclo semplice Il ciclo <,,,,,,, > non è un ciclo semplice lgoritmi e Strutture ati 35

35 Grafi aciclici Un grafo senza cicli è detto aciclico. Grafo aciclico Un grafo orientato aciclico è chiamato G (irected cyclic Graph). Grafo non aciclico lgoritmi e Strutture ati 36

36 Grafo completo Un grafo non orientato completo è un grafo non orientato che ha un arco tra ogni coppia di vertici. Questo grafo non è completo Questo grafo è completo Quanti archi ci sono in un grafo non orientato completo? n 2 = n n 1 2 lgoritmi e Strutture ati 37

37 lberi Un albero libero è un grafo non orientato connesso aciclico. Se un nodo è detto radice, otteniamo un albero radicato. lbero libero Radice lbero radicato lgoritmi e Strutture ati 38