Progetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di flusso

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1 Progetto di Reti di Telecomunicazione Modelli in Programmazione Lineare Problemi di flusso Flusso di costo minimo È dato un grafo direzionato G = (N, A). Ad ogni arco (i, j) A è associato il costo c ij di instradare un unità di flusso sull arco stesso. Inoltre, ad ogni arco (i, j) A sono associate una quantità di flusso minima l ij e massima u ij che può transitare sull arco stesso. Ad ogni nodo i V è associato un bilancio di flusso b i : se b i > 0 il nodo offre del flusso alla rete ed è detto nodo sorgente, se b i < 0 il nodo richiede flusso dalla rete ed è detto nodo pozzo, infine se b i = 0 il nodo non richiede ne offre flusso ed è detto nodo di transito. Il problema richiede di inviare flusso dai nodi sorgente ai nodi pozzo, in modo che il bilancio di ciascun nodo a costo minimo, rispettando i limiti inferiori e superiori di flusso su ogni arco. Variabili: Modello x ij : flusso sull arco (i, j) A min c ij x ij bilanciamento ai nodi: x ij + (j,i) A x ji = b i, i V x ij u ij,

2 limite inferiore di flusso sugli archi: x ij l ij, x ij 0 Variante Viene modificato il vincolo sul flusso inferiore richiedendo che se l arco (i, j) viene usato, il flusso instradato sia almeno pari a l ij. A differenza che nel caso precedente, però, viene lasciata la possibilità di non usare l arco. È necessario aggiungere una variabile binaria per formulare il problema. y ij = 1 se sull arco (i, j) A passa un flusso non nullo, cioè se l arco è usato. La variabile y ij deve essere collegata alla variabile di flusso con un vincolo di big M, che fissa ad 1 il valore di y ij se la variabile x ij è strettamente positiva: x ij u ij y ij,. Il nuovo vincolo può sostituire il vincolo di capacità dell arco. Il vincolo sul limite inferiore del flusso diventa: x ij l ij y ij,

3 Cammino minimo Il problema di trovare, dato un grafo G = (V, A), con costi c ij sugli archi, e un nodo sorgente s, il percorso di costo minimo tra s e tutti gli altri nodi può essere formulato come un problema di flusso di costo minimo. Ogni percorso è visto come un flusso unitario che deve essere inviato dalla sorgente al nodo destinazione. Il problema può essere formulato come un flusso di costo minimo con: { V 1 se i è il nodo sorgente, b i = 1 altrimenti.

4 Flusso multiprodotto È dato un grafo orientato con costi c ij sugli archi e capacità degli archi u ij. Sulla rete sono presenti K domande di traffico, ciascuna caratterizzata da un nodo sorgente s k, un nodo destinazione t k e una quantità di traffico che deve essere instradata d k. Non ci sono due domande che abbiano la stessa coppia sorgente-destinazione. Si richiede di instradare tutte le domande a costo minimo, rispettando le capacità degli archi. (Problema di routing) Modello con flussi sugli archi Variabili (definiscono i flussi sugli archi): x k ij : flusso sull arco (i, j) A relativo alla domanda k min k K c ij x k ij bilanciamento ai nodi: x k ij + d k se i = s k, x k ji = d k se i = t k i V, k K (j,i) A 0 se i s k, t k, x k ij u ij, k K x k ij 0 Dimensione della formulazione: Numero di variabili : A K Numero di vincoli : N K + A

5 Modello con flussi sui cammini La formulazione si basa sul flusso associato a ciascun cammino invece che al flusso sugli archi. Indichiamo con P l insieme di tutti i possibili cammini che collegano nodi del grafo, con P k i cammini che collegano gli estremi della domanda k e con P ij i cammini che passano per l arco (i, j). Il costo di un cammino è definito come c p = (i,j) p c ij. Variabili (definiscono i flussi sui cammini): x p p P : flusso sul cammino p P min p P c p x p instradamento delle domande: p P k x p = d k p P ij x p u ij, k K x p 0 Numero di variabili : esponenziale Numero di vincoli : K + A