AFFIDABILITA DEI SISTEMI

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Bernardo Palmieri
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1 AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (complessi)

3 Esercizio: Si assuma che i collegamenti tra una centrale elettrica e una città siano costituite da tre linee collegate in serie i cui tempi di funzionamento sono descritti da variabili aleatorie esponenziali identicamente distribuite. Quanto è affidabile la centrale elettrica? Quindi, se i componenti hanno tasso di guasto costante n n R( t) = exp λit λ = λi i= 1 i= 1 MTTF n = 1/ λi i= 1 Nel caso generale n MTTF = R ( t)dt integrazione numerica R i= 1 i La affidabilità di un sistema in serie è sempre minore o uguale al minimo delle affidabilità dei componenti. ( ) min ( ) ( ) ( ) Rs t R1 t R2 t Rn t

4 Affidabilità condizionata Esempio: Supponiamo che un sistema sia formato da 3 blocchi A,B,C connessi in serie. Il tempo di vita del blocco A è descritto da una legge di Weibull con parametro scala 100 ore e parametro forma 3.2. Il tempo di vita del blocco B è descritto da una legge gaussiana di parametri 400 e deviazione 32. Il tempo di vita del blocco C è descritto da una legge esponenziale di parametro per ora. Supponiamo che il sistema sia sopravvissuto per un tempo pari a 50 ore. Qual è la probabilità che sopravviva per altre 50 ore? ( ) P T > s + t T > s = R( s + t s) = R( s + t) R( s) ( > + > ) = P ( TA > s + t TA > s) P ( TB > s + t TB > s) ( > + > ) P T s t T s P T s t T s C C Scrivere la funzione affidabilità condizionata ed effettuarne un grafico

5 Life Exchange Rate Matrix Non tutte le componenti di un sistema hanno la medesima utilizzazione in termini di tempo di vita unitario. Ad esempio se una macchina procede per tore, frizione e freno operano su diverse unità di misura e dipendono dalle condizioni della strada. La vita di una ruota dipende dai chilometri percorsi. La vita di una frizione dal numero di cambi di marcia. La vita di un freno dal numero di volte che vengono usati. La vita di uno starter dal numero di accensioni. Per trovare la affidabilità di un sistema che ha componenti con diverse unità di misura, è necessario normalizzarle. n numero di componenti r ii = 1 LERM r r r r r r r r r n n = n1 n2 nn

6 1 unità di misura del componente i = r 1 unità di misura del componente j ij Ore Chilom etri Giri 1 ora = 10 chilometri 1 ora = 5 giri LERM = 1 1 r ji = LERM = 1/10 1 r ij 1/ unità di misura del componente i 1 unità di misura del componente r = ij j 1 unità di misura del componente j = r 1 unità di misura del componente i ji

7 1 unità di misura del componente 2 = r 1 unità di misura del componente 3 23 = r r 1 unità di misura del componente LERM r 21 = r 21 r23 = r = 1/10 1 1/ 2 1/ r = r r ij ik kj Usi della matrice LERM

8 Esempio: Supponiamo che un sistema sia formato da 3 blocchi A,B,C connessi in serie. Il tempo di vita del blocco A è descritto da una legge di Weibull con parametro scala 100 ore e parametro forma 3.2. Il tempo di vita del blocco B è descritto da una legge gaussiana di parametri 400 cicli e deviazione 32 cicli. Il tempo di vita del blocco C è descritto da una legge esponenziale di parametro per chilometro Si sa che per un ora di funzionamento, il modulo B effettua 12 cicli e il modulo C effettua 72 chilometri. Costruire la matrice LERM. Trovare la affidabilità del sistema dopo 240 cicli del modulo B. 3.2 RA ( t) = exp( ( t /100) ) t 400 LERM = 1/ RB ( t) = 1 Φ 32 1/ 72 1/ 6 1 R ( t) = exp t c ( ) R(240) = R (240 r ) R (240 r ) R (240 r ) A 21 B 22 C 23

9 Esempio: Supponiamo che il sistema di cui al lucido precedente abbia già operato per complessive 25 ore. Qual è la probabilità che operi per altri 240 cicli? R( s + t s) = R( s + t) R( s) R ( ) perchè abbiamo già visto che 20 ore corrispondono A a 240 cicli 25 ore corrispondono a 25 r cicli =25 12 cicli = 300 cicli R B 12 ( ) perchè devono passare altri 240 cicli 25 ore corrispondono a 25 r chilometri =25 72 km = 1800 km R C 13 ( ) perchè 1440 km corrispondono a 240 cicli

10 La affidabilità di un sistema in parallelo è sempre maggiore o uguale al massimo delle affidabilità dei componenti. ( ) max ( ) ( ) ( ) Rs t R1 t R2 t Rn t

11 Aggiungere componenti in serie diminuisce la affidabilità, aggiungere componenti in parallelo aumenta la affidabilità. NB: Cosa accade nel caso di sottosistemi con vita esponenziale? Esercizio: il componente di un sistema ha una affidabilità pari al 70% per un prefissato periodo di tempo t. Trovare quante componenti andrebbero connesse in parallelo per raggiungere una affidabilità del 95%. Teorema : Nel caso di un sistema complesso formato da n sottosistemi in parallelo, ciascuno con tasso di guasto costante pari a λ, si ha n 1 1 MTTF= λ = k k 1

12 In molte situazioni pratiche non basta che ci sia almeno un componente, degli nmessi in parallelo, che lavori correttamente, ma si chiede che almeno k componenti lavorino correttamente perché non si verifichi lo shutdown del sistema complesso. k-out-of-n system Esponenziale n n r La affidabilità di un k - out - of - n system è R( t, k, n) = p 1 p r= k r dove p rappresenta la affidabilità di un componente fino all'istante t ( ) n r Esercizio: Un generatore di potenza in una azienda ha 6 generatori identici, ogni generatore ha un tasso di guasto costante pari a 1.5 su 1000 ore di funzionamento. Perché il generatore funzioni alla potenza richiesta devono essere in funzione almeno 4 generatori. Trovare la affidabilità del generatore a 100 ore e la MTTF.

13 MIX di sottosistemi in serie e in parallelo Teorema di Drenick(1960) Dato un numero di componenti aventi qualsiasi distribuzione della densità di guasto, al crescere del tempo di funzionamento, la densità di guasto del sistema tende ad assumere un andamento esponenziale (serie).

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