Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione

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1 Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione Prova scritta del 13/1/06 Esercizio 1 Si osserva sperimentalmente, entro certi limiti di approssimazione, che il valore V n di certe azioni, misurato in unità intere di Euro, si comporta come una catena di Markov. Se il giorno n-esimo vale k Euro, il giorno seguente vale k 1 Euro con probabilità α k, oppure vale k + 1 Euro con probabilità β k, o infine resta di valore k Euro con probabilità 1 α k β k e non ci sono altre possibilità. Tutto questo per k > 0, mentre se k = 0 è come appena detto ma senza la transizione a k Supponiamo che sia α k = 0., β k = 0.3 per ogni k. Calcolare il valore medio di quelle azioni, a regime. 2. Un operatore finanziario in possesso di azioni di quel tipo si mette a venderle non appena il loro valore sale sopra la soglia λ del 65%: λ è il più piccolo intero tale che P(V λ) Qual è il valore della soglia λ? Sapreste trovare una formula comoda per calcolare la soglia relativa ad una percentuale qualsiasi? 3. Esaminiamo un modello diverso dei valori α k e β k. Sia Z n una successione di v.a. indipendenti che valgono +1 e 1 con probabilità P (Z n = 1) = 0.3, P (Z n = 1) = 0.7. Al passo n-esimo, se il valore V n delle azioni è k, diventa V n+1 = k + Z n con probabilità ( ) k, 7 mentre resta Vn+1 = k con probabilità 1 ( k. 7) Calcolare le probabilità di transizione e stabilire se il valore delle azioni si assesta in regime stazionario. [continua alla pagina seguente]

2 Esercizio 2 Nella nostra linea di produzione abbiamo due macchinari A e che lavorano in serie. La macchina A esegue una lavorazione e poi passa il semilavorato a che termina la lavorazione. Quando una delle macchine sta aspettando che gli venga fornito l oggetto da lavorare diremo che è in stand-by. Il tempo medio di lavorazione della macchina A è 10 minuti, mentre quello della macchina è di 5 minuti. Se la macchina è occupata in una lavorazione quando A finisce la propria, allora A aspetta finchè non può passare il semilavorato a (cosa che accade solo quando finisce la propria lavorazione) diciamo allora che A è bloccata. Assumiamo che i pezzi arrivino alla macchina A in media al tasso di 3 ogni ora. Considerare tutti gli intertempi menzionati come distribuiti esponenzialmente. i) Descrivere il sistema con una catena di Markov in tempo continuo. Esplicitando con cura il significato dei vari stati e giustificando le transizioni introdotte. ii) Calcolare la distribuzione invariante. iii) Supponiamo di essere nello stato in cui entrambe le macchine lavorano. Qual è la probabilità che A si blocchi? Immaginiamo che ci sia una ulteriore macchina C necessaria alla produzione del pezzo completo che prende il semilavorato da e lo rifinisce, impiegando in media 8 minuti per pezzo. Analogamente a quello che succede tra A e, se finisce una lavorazione ma C è ancora impegnata, allora aspetta finchè non può passare il pezzo a C. Se aspetta e A finisce una lavorazione, A aspetta anche lei. iv) Descrivere la catena associata a questa situazione. Ritorniamo al modello iniziale (quello con due macchine) e assumiamo ora che ciascuna delle macchine, durante una lavorazione ha una probabilità del 10% di rompersi prima di terminare la lavorazione. Quando una macchina è in stand-by non può accadere che si rompa. Se la macchina A finisce una lavorazione quando è rotta, allora anche A si rompe (immediatamente appena finisce la lavorazione). Ciascuna delle due macchine viene ripristinata (nello stato di stand-by) con un tempo aleatorio di media 1 ora, indipendentemente per ciascuna delle macchine. v) Descrivere questa nuova situazione con una catena di Markov.

3 [Sol. Es. 1] Soluzione. 1) Si tratta di una catena di nascita-morte. Vale quindi 2) e vale ( E [V ] = π k = ( kπ k = = P(V λ) = λ ) ( 0.3 = 1 0. k ( 3 = 1 π k = = ) 2 = ( 3 ) 2 ( ) 3 = quindi prendiamo λ = 3. Una formula proviene da ( 3 3 ( 1 3 ) 2 = 3. ( ) λ π k = 1 λ ( 3 = 1 1 ( ) 3 λ+1 1 ( 3 ) = 1 ( ) λ+1 3 per cui bisogna trovare il più piccolo intero λ tale che 1 ( 3 λ+1 ) 1 α, ovvero tale che ( 3 ) λ+1 ( α. Verifichiamo ad esempio che 3 ) ( = < 0.35, mentre 3 ) 3 = ) p k,k+1 = ( ) k 7 0.3, pk,k 1 = ( k 7) 0.7. a k = p ( 0,1p 1,2 p ) 0 ( k 1,k 7 7 = p 1,0 p 2,1 p k,k 1 = ( 1 ( k 3 = 7) 7 ( 3 ( ) 1 ( 7 7 quindi la catena raggiunge il regime stazionario. ) 1 ( 7 1 )2 ( 7 (

4 [Sol. Es. 2] i) Utilizziamo cinque stati: In ss entrambe le macchine sono in stand-by, ls: la macchina A lavora e è in stand-by, sl: la macchina lavora e A è in stand-by, wl: la macchina A aspetta e lavora, ll entrambe le macchine lavorano. Il grafo con le transizioni è il seguente: ss λ A λ A ls sl ll wl con λ = 3, A = 6, = 12 (misurando il tempo in ore). ii) Impostiamo il bilancio di flusso: λπ ss = π sl (nodo ss) quindi Si trova A π ls = π ll + λπ ss (nodo ls) ( + λ)π sl = A π ls + π ss (nodo sl) ( A + )π ll = λπ sl (nodo ll) π wl = A π ll (nodo wl) π ss = 12 3 π sl, π ls = 2 18 π sl, π ll = 3 18 π sl, π wl = 6 18 π sl π ss = 0.52, π ls = 0.317, π sl = 0.13, π ll = 0.02, π wl = 0.01 iii) La probabilità p che dallo stato ll si passi a wl piuttosto che a ls è data da p = A A + = 6 18 = 1 3

5 iv) Evitiamo di rappresentare con un grafico la catena, elenchiamo solo gli stati e le transizioni possibili, con i relativi tassi. Con tre macchine abbiamo i seguenti stati sss, ssl, sls, lss, lls, sll, lsl, lll, wls, wll, wwl, swl, lwl dove le lettere s, w, l rappresentano le tre situazioni: stand-by, attesa di passare il pezzo e lavorazione e per ogni stato ciascuna delle tre lettere rappresenta la condizione di una delle tre macchine: nell ordine A, e C. sss λ lss lss A sls sls ssl, sls λ lls ssl sss, ssl λ lsl λ sll lll, sll sll sls A lll wll, lll lll lls swl λ lwl, swl C ssl swl, lwl, lls lsl, lls A wls lsl A sll, lsl C lss wll lwl sll, wll wls A wwl, lwl lsl wls sll Dove = 60/8 = 7.5. wwl sll v) Se utilizziamo la lettera r per indicare la rottura della macchina, allora abbiamo i seguenti nove stati: ss, ls, sl, ll, rl, rs, rr, sr, lr, wl. Ecco tutte le transizioni possibili con i relativi tassi: ss λ ls ls A sl, ls ρ A rs sl ll wl sr λ ll, sl ρ ss, sl sr A ρ A ρ wl, ll ls, ll rl, ll lr ρ sl, wl rr θ λ ss, sr lr rs θ ss rl lr rr θ sl, rl rs θ ls, lr A rr θ θ sr, rr rs

6 Dove θ è il tasso di riparazione pari a 1 e ρ A, ρ quelli di rottura da determinarsi. Poichè si richiede che la probabilità di avere una rottura prima che la lavorazione sia finita e visto che la lavorazione è regolata da un tasso pari a A e (rispettivamente per la macchina A e per la macchina ) allora dobbiamo imporre che 0.1 = quindi ρ A = A /9 e ρ = /9. ρ A ρ A + A 0.1 = ρ ρ +