Università del Salento

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1 Università del Salento Dipartimento di Matematica DAI SISTEMI DI DISEQUAZIONI LINEARI.. ALLA PROGRAMMAZIONE LINEARE Chefi Triki La Ricerca Operativa Fornisce strumenti matematici di supporto alle attività decisionali Per gestire e coordinare attività con risorse limitate Al fine di massimizzare un profitto o minimizzare un costo (obiettivo) 1

2 Un po di storia U.K. -Progetto difesa antiaerea Bawdsey Research Station radar localizzazione degli aerei nemici intercettazione rientro a terra degli aerei inglesi ottimizzare la distribuzione delle apparecchiature radar sul territorio 1938 Relazione del soprintendente Rowe Compare per la prima volta l espressione l Operational Research (ricerca operativa) Un po di storia P. M. S. Blackett costituzione di un gruppo di ricerca di scienziati e militari lotta contro i sommergibili tedeschi 1943 USA gruppi di Ricerca Operativa per: guerra antisommergibile dimensionamento dei convogli navali scelta dei bersagli nelle incursioni aeree avvistamento ed intercettazione degli aerei nemici Problemi di tipo civile Localizzazione dei depositi industriali Problemi di produzione, di trasposto in Italia viene fondata l AIROl 2

3 Le fasi di uno studio di ricerca operativa Individuazione del problema Raccolta e analisi dei dati Costruzione del modello Ricerca della soluzione Interpretazione dei risultati Problema di decisione Un azienda automobilistica produce due modelli di auto, uno a benzina B che vende al prezzo di 10 mila euro e uno diesel D che vende a 12 mila euro. Ogni autovettura è realizzata da due robot R1 e R2. I tempi di lavorazione dei robot in ore per realizzare le auto sono: B D R1 2 3 R2 2 1 La disponibilità al giorno di R1 è di 24 ore, mentre quella di R2 è di 10 ore. 3

4 Problema di decisione L azienda ha effettuato un indagine di mercato con i seguenti esiti: la domanda giornaliera di B è al più il doppio di quella della macchina D la domanda minima giornaliera di auto è di 4. Problema: : determinare le quantità dei due modelli di auto che devono essere prodotte giornalmente in modo da rendere massimo il guadagno. Supponiamo che tutte le auto prodotte siano vendute. Formulazione del modello matematico Definizione delle variabili Formulazione Matematica Definizione della Funzione obiettivo Definizione dei vincoli 4

5 Definizione delle variabili Cosa devo decidere? Si introducono due variabili che rappresentano le quantità prodotte (e vendute) ogni giorno per i due modelli di auto Variabili x: Numero di auto a benzina y: Numero di auto diesel Definizione della funzione obiettivo Cosa voglio massimizzare? Il guadagno giornaliero dipende (è funzione) dalla decisione di quante auto D e B voglio produrre La funzione obiettivo è una funzione lineare! F(x,y)=10 x+12 y 5

6 Definizione dei vincoli Quali sono le restrizioni sulle variabili? Vincoli sul tempo di utilizzo dei robot: 2 x +3 y 24 2 x + y 10 Vincoli conseguenti l indagine di mercato: 2 y x x + y 4 Non si può produrre un numero negativo di auto: x 0, y 0 Formulazione del problema Max F(x,y)=10 x+12 y soggetto a: 2 x +3 y 24 2 x + y 10 2 y x x + y 4 x 0 y 0 6

7 Problema di programmazione lineare I problemi che hanno per modello matematico sistemi di disequazioni (o equazioni) lineari vincoli abbinati ad una funzione lineare da massimizzare o minimizzare funzione obiettivo prendono il nome di problemi di Programmazione Lineare (PL) Problema di programmazione lineare Ma adesso. Qual è la soluzione? Quante auto a benzina e diesel si devono produrre? Qual è il guadagno massimo? Che si faceva con i sistemi di disequazioni? 7

8 Metodo grafico Un problema di PL in due variabili può essere risolto attraverso semplici considerazioni di tipo geometrico, a partire dall individuazione su di un piano cartesiano del poligono ammissibile Regione Ammissibile determinata dai vincoli. y x Metodo grafico Ogni retta f(x,y)= ax + by + c = 0 divide il piano cartesiano in due semipiani rappresentati dalle disequazioni: ax + by + c < 0 ax + by + c > 0 Individuare il semipiano: f(x, y) = ax + by + c > 0 Si sceglie P(x,, y ) y ) non appartenente alla retta Se f(x,, y ) y ) > 0 il semipiano che contiene il punto P è quello cercato; Se f(x,, y ) y ) < 0 il semipiano che non contiene il punto P è quello cercato. 8

9 Metodo grafico Ogni vincolo del mio problema rappresenta un semipiano o una retta e siccome tutti i vincoli devono essere rispettati la soluzione apparterrà alla parte di piano che è intersezione di tutti i semipiani!!! Per trovare la Regione Ammissibile del nostro problema allora cerchiamo dove si intersecano i semipiani ma questo non voleva dire risolvere un sistema di disequazioni??? Regione ammissibile Max F(x,y)=10 x+12 y soggetto a: 2 x +3 y 24 2 x + y 10 2 y x x + y 4 x 0 y 0 9

10 Regione ammissibile Vincoli: x 0, y 0 y x Regione ammissibile Vincolo: 2 x +3 y 24 y 8 12 x 10

11 Regione ammissibile Vincolo: 2x + y y x Regione ammissibile Vincolo: 10 y 8 2y x 5 12 x 11

12 Regione ammissibile Vincolo: x + y 4 y x Dai sistemi lineari alla regione ammissibile La regione ammissibile è una figura convessa Che vuol dire convessa? 12

13 Dai sistemi lineari alla regione ammissibile La soluzione di sistemi di disequazioni lineari in due incognite coincide con la parte di piano comune ai semipiani individuati dalle singole disequazioni. Questa regione può essere limitata o illimitata. Se le disequazioni del sistema non hanno soluzioni comuni (i semipiani non si intersecano) il sistema è detto impossibile. Dai sistemi lineari alla regione ammissibile x x

14 Dai sistemi lineari alla regione ammissibile La regione ammissibile è un poliedro!!! Esempi di Reti Risolvere un problema di PL significa determinare se il problema è: Inammissibile (il sistema di disequazioni è impossibile) Illimitato inferiormente o superiormente Ammette una soluzione ottima che massimizza o minimizza la funzione obiettivo. 14

15 Teorema fondamentale. Se il problema di PL ammette minimo o massimo, allora la funzione obiettivo F(x, y) = ax+by+c assume il suo valore massimo o minimo solo su un VERTICE o su tutti i punti di un LATO della frontiera della regione ammissibile. Metodo enumerativo Ma allora.come si trova una soluzione per il problema delle auto??? Determinata la regione ammissibile: Calcola le coordinate dei vertici del poligono; Calcola il valore della funzione obiettivo su ogni vertice La soluzione è data dalle coordinate del vertice che rende massima o minima la funzione obiettivo 15

16 Metodo enumerativo y A(0,8) B(3/2,7) F(0,8)=10*0+12*8=96 F(3/2,7)=10*3/2+12*7=99 F(4,2)=10*4+12*2=64 F(8/3,4/3)=10*8/3+12*4/3=42,7 F(0,4)=10*0+12*4=48 E(0,4) C(4,2) D(8/3,4/3) x Il metodo del Simplesso Il metodo del simplesso è un algoritmo che permette, attraverso un numero finito di iterazioni, di passare, se il problema ammette soluzione, da un qualsiasi vertice del poliedro al vertice ottimo. L'algoritmo del Simplesso,, ideato dall'americano George Dantzig nel 1947, è un metodo numerico per risolvere problemi di PL 16

17 E per i più pigri: il Lingo LINGO è un pacchetto software che consente di formulare e risolvere problemi di ottimizzazione (Programmazione Lineare e non) anche a grandi dimensioni, e di analizzarne le rispettive soluzioni. Altro esempio: Gestione del Personale Il responsabile della gestione del personale di un azienda manifatturiera ha il compito di organizzare i turni di lavoro ad una catena di montaggio a ciclo continuo. 17

18 Gestione del Personale Sono previste sei fasce orarie per ognuna delle quali è richiesto un numero minimo di unità lavorative, come riassunto dalla seguente tabella: Gestione del Personale A seguito di accordi sindacali sono stati individuati sei turni di lavoro ciascuno dei quali di 8 ore lavorative: 18

19 Gestione del Personale Si vuole determinare il numero di unità lavorative da assegnare ad ogni turno in modo tale da impiegare la minor forza lavoro complessiva. Soluzione: Si indichi con: xi = numero di unità di personale da assegnare al turno i-esimo i (i = 1,, 6). Gestione del Personale E' evidente che la fascia oraria compresa tra le e le sarà coperta dalle unità lavorative del primo e del secondo turno. Dovendo garantire una disponibilità di personale di almeno 6 unità,, si impone il vincolo: x1 + x

20 Gestione del Personale E' evidente che la fascia oraria compresa tra le e le sarà coperta dalle unità lavorative del primo e del secondo turno. Dovendo garantire una disponibilità di personale di almeno 6 unità,, si impone il vincolo: x1 + x2 6. Gestione del Personale Analogamente, per le altre fasce orarie: x2 + x3 9 x3 + x4 14 x4 + x5 9 x5 + x6 11 x6 + x1 8 Obiettivo: minimizzare il numero di unità z impiegate: z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6. 20

21 Gestione del Personale Modello Matematico: Gestione del Personale La soluzione ottimale prevede: per un numero complessivo di unità lavorative utilizzate pari a: z* = 31. Nota: soltanto per la fascia oraria compresa tra le e le saranno utilizzate unità di personale in un numero superiore rispetto al minimo richiesto. 21

22 Modello dello zaino Decisione: Quali materie preparare: avendo a disposizione un totale di 27 giorni volendo massimizzare il profitto? Materia Giorni prep. Profitto Italiano 10 20,00 Latino 12 22,50 Greco 15 25,00 Inglese 9 15,00 Fisica 7 12,50 Scienze 6 12,50 Storia 6 12,00 Geografia 6 12,00 Disegno 4 7,50 Modello dello zaino Strategia (algoritmo) massimo profitto: scelgo le materie più remunerative (rispettando il vincolo di 27 giorni) Materia Giorni prep. Profitto Italiano 10 20,00 Latino 12 22,50 Greco 15 25,00 Inglese 9 15,00 Fisica 7 12,50 Scienze 6 12,50 Storia 6 12,00 Geografia 6 12,00 Disegno 4 7,50 tempo: : 27 giorni profitto: 47,50 22

23 Modello dello zaino Strategie minimo tempo: scelgo le materie che richiedono meno tempo di preparazione Materia Giorni prep. Profitto Italiano 10 20,00 Latino 12 22,50 Greco 15 25,00 Inglese 9 15,00 Fisica 7 12,50 Scienze 6 12,50 Storia 6 12,00 Geografia 6 12,00 Disegno 4 7,50 tempo: : 22 giorni profitto: 44, 00 Modello dello zaino Altre Strategie? Materia Giorni prep. Profitto Italiano 10 20,00 Latino 12 22,50 Greco 15 25,00 Inglese 9 15,00 Fisica 7 12,50 Scienze 6 12,50 Storia 6 12,00 Geografia 6 12,00 Disegno 4 7,50 tempo: : 26 giorni profitto: 52 23

24 Modello dello zaino Risolvo un problema di PL con 9 variabili all ottimo Materia Giorni prep. Profitto Italiano 10 20,00 Latino 12 22,50 Greco 15 25,00 Inglese 9 15,00 Fisica 7 12,50 Scienze 6 12,50 Storia 6 12,00 Geografia 6 12,00 Disegno 4 7,50 tempo: : 27 giorni profitto: 52, 50 Compiti: Problema di Trasporto Un azienda possiede due centri di distribuzione e tre punti vendita dislocati sul territorio. Di un prodotto sono disponibili al più 250 unità presso il primo centro di distribuzione e al più 400 presso il secondo. Alla direzione centrale risulta una richiesta di rifornimento dai tre punti vendita pari ad almeno 120, 270, 130 unità rispettivamente. Presso tali centri ciascuna unità di prodotto viene venduta a Euro 14, 17 e

25 Compiti: Problema di Trasporto I costi unitari di trasporto, legati alla distanza tra i centri di distribuzione e i punti vendita, sono così riassumibili: Obiettivo: : massimizzare il profitto ipotizzando che sia possibile vendere tutto il quantitativo di prodotto disponibile presso i punti vendita. Compiti: Problema di Trasporto Suggerimento: Indicare con: xij = quantitativo di prodotto inviato dal centro di distribuzione i (i = 1, 2) al punto di vendita j (j = 1, 2, 3). 25