RICERCA OPERATIVA RICERCA OPERATIVA RICERCA OPERATIVA (PROBLEMI

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1 RICERCA OPERATIVA RICERCA OPERATIVA (PROBLEMI DI SCELTA) Il termine RICERCA OPERATIVA sembra sia stato usato per la prima volta nel 1939, ma già precedentemente alcuni scienziati si erano occupati di problemi decisionali: Esempi importanti di anticipazioni dei metodi della RO sono: Nel 1776 il matematico G. MONGE ha affrontato un problema di trasporti esaminandone con metodi analitici gli aspetti economici. 1 2 RICERCA OPERATIVA Nel 1885 F.W. TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di produzione Frederick Winslow Taylor ( ingegnere e imprenditore statunitense, iniziatore della ricerca sui metodi per il miglioramento dell'efficienza nella produzione Nel 1908 A.K. ERLANG ha studiato il problema della congestione del traffico telefonico. RICERCA OPERATIVA Tuttavia il progresso della RO non si sarebbe forse verificato se non fosse stato per i suoi sviluppi nelle organizzazioni militari durante la seconda guerra mondiale. Gran Bretagna: seconda guerra mondiale. Obiettivo: utilizzare tecniche quantitative con lo scopo di sfruttare al meglio le risorse militari (limitate). 3 Team formato da matematici, fisici, ingegneri. 4 1

2 RICERCA OPERATIVA RICERCA OPERATIVA Tra il 1935 e il 1937 il Regno Unito lavorò sul progetto del radar come difesa antiaerea. Era importante che fosse efficiente la localizzazione e la successiva intercettazione e rientro a terra dei velivoli inglesi. Apparve quindi indispensabile anzitutto l'ottimizzazione della distribuzione delle apparecchiature radar sul territorio ed, inoltre, che fosse mandato via radio la segnalazione ad opportune località, nacque così il "Biggin Hill Experiment". In una relazione tecnica conclusiva del progetto il tipo di attività sviluppata venne descritta utilizzando l'espressione "operational research operational research Problema: ottimizzare la manutenzione ed organizzazione degli aerei utilizzati per l'avvistamento e l'attacco di sottomarini tedeschi. Risultati: su un orizzonte temporale di 5 mesi, le tecniche di Ricerca Operativa hanno consentito: un incremento delle ore di volo del 61%, mantenendo lo stesso numero di aerei; di incrementare la probabilità (inizialmente pari al 3%) di colpire i sottomarini fino al 40% (senza alcuna aggiunta di risorse). Fine della guerra: le tecniche della Ricerca Operativa vengono trasferite nei contesti civili (industrie, trasporti, amministrazione pubblica, servizi, ecc.) research". 5 6 DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA MORSE E KIMBALL La ricerca operativa è l applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni utilizzabili nei processi decisionali. 7 Problema decisionale In un problema decisionale, le scelte non sono del tutto arbitrarie. Bisogna infatti tener conto delle risorse limitate (vincoli del problema). Le possibili scelte vengono valutate in base all'obiettivo o agli obiettivi che i decisori si prefiggono. 8 2

3 ESEMPLIFICAZIONE Campi di applicazione UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO teoria dei giochi (problemi di decisione in condizioni competitive) programmazione lineare (pianificazione del problema) programmazione dinamica (pianificazione delle vendite) DECISIONI IN MERITO A: QUANTITA DI MATERIA PRIMA DA ACQUISTARE teoria dei grafi (utilizzata per le reti di comunicazione) programmazione reticolare (gestione progetti) DA QUALE FORNITORE ACQUISTARE QUANDO ACQUISTARE teoria delle scorte (stoccaggio di magazzino) teoria delle code (per gestire i problemi di traffico) 9 10 Le fasi Fasi di un problema risolto con la Ricerca Operativa 1 Formulazione del problema Esame della situazione reale Raccolta delle informazioni 2 Raccolta dei dati Formulazione del problema (variabili, funzione obiettivo, relazioni) Costruzione del modello matematico 3 Costruzione del modello matematico Soluzione del modello 4 Ricerca di una soluzione Analisi e verifica delle soluzioni 5 Controllo del modello e della soluzione 11 Attuazione 12 3

4 FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI In una prima fase è necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati, i vincoli da porre, le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dell organizzazione ecc Questa fase è fondamentale, perché influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioè la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive Costruzione del modello matematico I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche. Ci sarà sempre una funzione obiettivo da massimizzare (ricavi, profitti, vendite) o minimizzare (costi, perdite, macchinari). Tale funzione dipenderà da una o più variabili d azione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori. Le variabili spesso sono legate tra di loro, e devono sottostare a determinate limitazioni. Tutto questo sarà rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni Costruzione del modello matematico Soluzione del modello Funzione Obiettivo y = f (x 1, x 2..x n ) La funzione obiettivo esprime un costo, un ricavo, un guadagno Vincoli + espressi da equazioni e\o disequazioni I vincoli sono di due tipologie: vincoli di segno (che esprimono la positività delle variabili di azione) e vincoli tecnici (esprimono delle situazioni reali p.es. capacità del magazzino) Le variabili x 1, x 2. x n si chiamano variabili di azione e Creato il modello matematico, si cerca, se esiste, la soluzione ottimale, o con i metodi della matematica classica, o con metodi di analisi numerica, oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarla. Una soluzione ottimale è quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello Trovata la soluzione ottimale nel modello, bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtà e la soluzione deve essere valutata. sono le variabili d azione

5 Problema Tipico Esempio min max f(x) Modello x 0 Vincolo di segno Matematico g(x) 0 Vincoli tecnici f(x) = funzione obiettivo Costo Costo unitario Metodi semplici (grafici, algebrici) f(x) = Valori di ottimo Ricavo Analisi e derivate Guadagno Oggetti matematici presenti e da approfondire: Ulteriori metodi: Statistiche Approssimazione interpolazione Metodi numerici Equazioni e disequazioni Funzione Funzioni semplici Dominio Continuità Derivate etc. 17 Un azienda che produce concime ha una capacità produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana. Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale. Il prezzo di vendita del prodotto è legato alla domanda dalla funzione: x = 250 0,5 * p Determinare la quantità da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno. 18 Esempio Classificazione problemi di scelta P = 500 2*x Il guadagno è dato da : Y = (500 2*x)*x *x Y = -2x con vincoli: x>=0 x<=220 Il modello risolto con l analisi ci conduce alla conclusione che sarà necessario vendere 117,5 quintali di concime Numero variabili coinvolte Tipo di variabili (campo di scelta) Numero e tipo dei vincoli a una variabile a due variabili a più di due variabili continuo (uno o più intervalli reali) discreto (insieme di valori) lineari equazione/i non lineari lineari disequazione/i non lineari 19 Tipo di funzione obiettivo lineari non lineari 20 5

6 Classificazione problemi di scelta Problemi di scelta che affronteremo Problemi di scelta In condizioni di certezza In condizioni di incertezza con effetti immediati con effetti differiti con effetti immediati con effetti differiti certezza: : dati e conseguenze determinabili a priori CONDIZIONI CERTEZZA EFFETTI IMMEDIATI EFFETTI DIFFERITI Ad una variabile A più variabili Max.-min(continuidiscreti) Scorte Sc.alternative P.lineare Investimenti Finanziari e Industriali incertezza: : grandezze variabili aleatorie effetti immediati: : decisione effetti differiti: : decisione realizzazione immediata realizzazione differita PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO Nei problemi di R.O. spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni: Costo totale che verrà indicato con C(x) C(x) = Costo fisso + Costo variabile= C f + C v Costo fisso è il costo che non dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti Costo variabile è il costo che dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti In questi problemi dovrà essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo In questi problemi dovrà essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi. In tal caso si parla di problemi DISCRETI. Ricavo è ciò che si ottiene dalla vendita di uno o più prodoti. Lo indicheremo con R(x) = p x cioè il prodotto del prezzo per la quantità venduta Guadagno o Utile. Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi. Si parla di problemi CONTINUI. Verrà indicato con U(x) = R(x) C(x)

7 Problema di scelta in condizioni di certezza con effetti immediati 1 Un commerciante acquista prodotti al costo di 0,7 euro al kg e li rivende a 1,2 euro al kg. Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo può trasportare giornalmente 20 kg di merce. Calcolare la quantità di prodotti da vendere per avere il massimo Utile. E un problema di tipo continuo. x = quantità prodotti venduti (problema continuo) R(x) = 1,2 x C(x) = 6 + 0,7 x U(x) = R(x) - C(x) = 1,2 x (6 + 0,7 x ) = 0,5 x Problema 1 (segue) Riassumendo il modello matematico sarà il seguente: U(x) = 0,5 x - 6 Funzione Obiettivo con vincoli x 0 Vincolo di segno e x 20 Vincoli tecnici In x =12 si il punto di equilibrio Break-even point divide la zona di perdita da quella di utile Per x=20 si ha il MAX utile 26 Problema 2 Problema 2 (segue) Un laboratorio artigianale fabbrica birra. Il prezzo unitario è legato alla quantità x venduta secondo la seguente relazione p= 50 0,1 x. Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 più un costo unitario variabile C u v= 10 euro. Determinare la quantità di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno. X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo) R(x) = (50-0,1x) x C = x Quindi il Modello matematico sarà costituito da: U(x) = -0,1 x x Funzione obiettivo x 0 vincolo di segno (non ci sono vincoli tecnici) In questo esempio la funzione obiettivo è una parabola, pertanto per disegnarla occorre trovarne concavità, vertice e intersezione con gli assi (in particolare con l asse delle x). U(x) = R(x) C(x) = (50-0,1x) x - ( x) Quindi U(x) = -0,1 x x X v = -b/2a = 200 (sostituendo nella funzione) Y v = 3000 Intersezioni con l asse delle x risolvendo l equazione: -0,1 x x = 0 x 1 = 26,8 x 2 = 373,2 28 7

8 Problema 2 (segue) Problema 2 (segue) U t i l e I limiti di produttività (cioè le intersezioni della funzione con l asse delle x) sono dati dai valori di 26,8 e 373,2 litri. Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra. 29 x Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacità produttiva di 300 litri di birra al giorno? Il modello matematico sarà costituito da: U(x) = -0,1 x x Funzione obiettivo x 0 e x 300 vincolo di segno e tecnici Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra U t i l e x 30 Problema 3 Un impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di u.m., un costo di produzione unitario di 50 u.m., una spesa unitaria di vendita pari alla metà del prodotto venduto. Il prezzo di vendita è di 800 u.m. per prodotto. La quantità massima che può essere prodotta è 1000 unità di prodotto. Determinare e disegnare la funzione guadagno mensile. (Esaminare anche con vincolo sulla produzione x 700) Problema 3 (segue) Risposta G(x) = -x 2 / x V(750; ) Il massimo corrisponde sempre a x=

9 Problema 4 Per la produzione di un bene un impresa sostiene una spesa fissa di u.m., un costo unitario di 800 u.m. per ogni unità prodotta e una spesa, stimata pari allo 0,5 del quadrato della quantità prodotta, per la manutenzione degli impianti. La capacità produttiva massima mensile è di unità. Determinare per quale quantità il costo unitario di produzione è minimo. C(x) = 0,5 x x Quindi la funzione di costo unitario è: = C u 2 0,5x + 800x x Il modello matematico sarà costituito da: Funzione obiettivo C u = 0,5x x x 0 e x vincolo di segno e tecnici Problema di scelta in condizioni di certezza con effetti immediati In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere all analisi matematica Nel caso di funzione ad una variabile: Calcolo della derivata prima Porre la derivata prima uguale a zero Studio del segno della derivata prima (primo metodo) o calcolo della derivata seconda (secondo metodo) Risposta : x = 2000 p = 2800 Problema 4 (segue) Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi. Può accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantità venduta o tra costo e quantità venduta. In tal caso si aggira l ostacolo utilizzando differente. una tecnica

10 Problema 5 Un prodotto è fabbricato e venduto in lotti da 200 pezzi ciascuno. Per la lavorazione si sostiene una spesa fissa giornaliera di u.m ed un costo di u.m. 500 al pezzo, ed il numero massimo di lotti prodotti in un giorno è di 6. Il prezzo di vendita è decrescente al crescere del numero di lotti venduti secondo la seguente tabella N. lotti Prezzo al lotto (x1000) Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile 37 Problemi di massimo e minimo discreti L analisi di un problema discreto di questo tipo si può condurre anche utilizzando la cosiddetta ANALISI MARGINALE Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione: f = f (x+1) f (x) tale differenza è detta incremento marginale Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione è crescente, se sono negativi è decrescente. Quando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si è in presenza di un massimo Quando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale. 38 Applichiamo questa tecnica all esempio precedente: N lotti Costi (x1000) Ricavo (x1000) Problema 5 (segue) Costo per lotto = a cui aggiungere il costo fisso Guadagno (x1000) Costo marginale Ricavo marginale Conviene espandere la produzione finché il ricavo marginale supera il costo marginale Max. 39 Problema 6 Una ditta produce beni in unità non divisibili (es. abiti) e deve decidere il numero di beni da produrre mensilmente per ottenere l utile massimo. I dati tecnici sono i seguenti : costo unitario per materia prima e lavorazione u.m , spesa fissa mensile u.m , prezzo di vendita p = x (dove x è il numero dei beni). Calcolare quante unità del bene produrre per ottimizzare l utile netto, sapendo che la massima capacità produttiva è unità al mese

11 Modello matematico: massimizzare y = -15x x x x N Caso discreto: dati molto numerosi V(4.000/3; /3) y(1333)= y(1334)= Risposta : x = Problema 6 (segue) 41 Problemi di massimo e minimo discreti Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni: I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche; in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max. min. approssimando gli eventuali dati non interi Non è possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche; in tal caso si ricorre alle tabelle(come nell esempio) utilizzando l analisi marginale 42 11