RICERCA OPERATIVA (a.a. 2003/04) Nome Cognome:

Transcript

1 o Appello 0//00 RICERCA OPERATIVA (a.a. 00/0) Nome Cognome: Corso di Laurea: I SI M Matricola Corso A B C ) La ditta di trasporti FurgonFast deve suddividere tra tre diversi trasportatori n oggetti da trasportare da una origine o ad una destinazione d del territorio toscano. L oggetto i pesa p i chili, i,..., n; ogni trasportatore possiede un TIR che può trasportare al massimo u chili. Dato che il costo del trasporto dipende dal peso di ciascun TIR, al fine di non creare favoritismi tra i trasportatori, la ditta FurgonFast decide di suddividere gli oggetti tra i tre trasportatori in modo da minimizzare la differenza di peso tra il TIR più carico e quello meno carico. Formulare il problema della ditta FurgonFast come problema di P.L.I. Introduciamo le seguenti n variabili logiche: {, se l oggetto i è affidato al trasportatore j, x ij 0, altrimenti, i,..., n, j,,. Introduciamo anche le variabili w e z per individuare rispettivamente il peso del TIR più leggero e di quello più pesante. I vincoli di semiassegnamento che garantiscono che ogni oggetto è assegnato ad uno solo dei trasportatori sono: I vincoli di capacità dei TIR sono dati da: x i + x i + x i, i,..., n. p i x i u, p i x i u, p i x i u. Affinché le variabili w e z rappresentino all ottimo rispettivamente il peso del TIR più leggero e di quello più pesante, esse devono rispettare i seguenti vincoli: w p i x i z, w p i x i z, w p i x i z. La funzione obiettivo, da minimizzare è data dalla differenza z w, cioè dalla differenza tra il peso massimo e quello minimo. La formulazione del problema della ditta FurgonFast è quindi min z w x i + x i + x i i,..., n p i x ij u j,, p i x ij w 0 j,, p i x ij z 0 j,, x i, x i, x i {0, } i,..., n

2 o Appello 0//00 ) Si consideri il seguente problema di PL, parametrico rispetto al parametro α: max x + x + αx x + x + x x, x, x 0 Assumendo α, si determini una soluzione ottima del problema, utilizzando il Teorema degli scarti complementari. Si indichi quindi per quali valori di α la soluzione trovata resta ottima. Giustificare le risposte. Consideriamo il duale del problema di PL: min y y y y α y 0 Se α, è immediato verificare che la soluzione ottima duale risulta essere ȳ. Dalle condizioni degli scarti complementari relative alla coppia simmetrica, essendo il primo ed il terzo vincolo del duale non attivi, in una qualsiasi soluzione ottima primale deve essere x x 0. Segue che (l unica) soluzione ottima primale, x, è tale che x x 0, mentre x. Al variare di α, x rimane ottima fintanto che ȳ resta una soluzione ottima duale; questo si verifica se e solo se max{/,, α/}, quindi per α.

3 o Appello 0//00 ) Si applichi l algoritmo di Kruskal per determinare un albero di copertura di costo minimo sul grafo in figura. Per ogni iterazione si indichino: l arco in esame; quale fra le operazioni di inserzione e cancellazione viene applicata; nel primo caso, mostrare un taglio e, nel secondo, fornire il ciclo individuato dall algoritmo. Al termine fornire l albero di copertura di costo minimo T (N, A T ). La soluzione è unica? Giustificare la risposta arco operazione taglio ciclo it.) (, ) inserzione ({,,,,, 7}, {}) it.) (, ) inserzione ({,,,,, 7}, {}) it.) (, ) inserzione ({,, }, {,,, 7}) it.) (, ) cancellazione (,,,, ) it.) (, 7) inserzione ({,,,,, }, {7}) it.) (, 7) inserzione ({,,,,, 7}, {}) it.7) (, ) inserzione ({}, {,,,,, 7}) L algoritmo termina all iterazione 7, con l albero T in figura, in quanto A T n. 7 La soluzione trovata non è unica in quanto si possono ottenere soluzioni ottime alternative inserendo l arco (, ) e rimuovendo uno qualsiasi degli altri archi del ciclo (,,,, ); infatti questi archi hanno costo uguale e, conseguentemente, qualsiasi arco del ciclo è di costo minimo.

4 o Appello 0//00 ) Si individui un flusso massimo dal nodo al nodo sulla rete in figura, utilizzando l algoritmo di Edmonds e Karp. Durante la ricerca di un cammino aumentante, si visitino gli archi della stella uscente del nodo correntemente esaminato secondo l ordine crescente dei rispettivi nodi testa (ad es., (,) è visitato prima di (,)). Ad ogni iterazione si fornisca l albero della visita, il cammino aumentante individuato con la relativa capacità, ed il flusso ottenuto con il relativo valore. Al termine, si indichi il taglio di capacità minima restituito dall algoritmo, specificando l insieme dei nodi N s, l insieme dei nodi N t e la capacità del taglio. Per ogni iterazione viene riportato l albero della visita, in cui viene evidenziato il cammino aumentante P individuato; viene inoltre indicato il flusso ottenuto in seguito all invio di flusso lungo P, trascurando per semplicità gli archi a flusso nullo. Iterazione : (x 0, v 0) θ(p, x), v Iterazione : Iterazione : θ(p, x), v Iterazione : θ(p, x), v Non esistendo cammini aumentanti, il flusso corrente x è massimo: N s {, }, N t {,,, }, u(n s, N t ) + v.

5 o Appello 0//00 ) Si consideri il seguente problema di P.L.: max x x + x x x x + x x + x Si applichi l algoritmo del Simplesso Primale, per via algebrica, a partire dalla base B {, }. Per ogni iterazione si indichino: la base, la matrice di base e la sua inversa, la coppia di soluzioni di base, l indice uscente, la direzione di crescita, il passo di spostamento e l indice entrante, giustificando le risposte. it.) B {, }, A B y B [ ca B [ 0 [ / / / / [, A / / B / / [ [ [, x A / / B b B / / 0 [ / /, yn 0, y [ 0 / 0 /,, h min{i B : y i < 0} min{, } [regola anticiclo di Bland, B (h ), [ ξ A / / B u B(h ) / / [ 0 [ / / [, A N ξ [ / / [ / / J {i N : A i ξ > 0} {, }, λ i (b i A i x )/A i ξ, λ 0, λ 0, λ min{λ, λ } 0 [cambio di base degenere, k min{i J : λ i λ} min{, } [regola anticiclo di Bland. [ [ [ [ [ it.) B {, }, A B, A B, x x 0, yb [ 0 [ [, y N 0, y [ 0 0, h, B (h ), [ [ [ [ ξ, A N ξ, J {}, λ λ 0 [cambio di base degenere, k. [ [ [ [ [ it.) B {, }, A B, A B, x x 0 x, yb [ 0 [ [, y N 0, y [ 0 0, h, B (h ), [ [ [ [ ξ, A N ξ., Poiché A N ξ 0, il problema è superiormente illimitato ed il suo duale è vuoto.

6 o Appello 0//00 ) Si risolva graficamente il problema di P.L. indicato in figura, utilizzando l algoritmo del Simplesso Duale a partire dalla base B {, }. Per ogni iterazione si indichino: la base, la soluzione primale di base (in figura), l indice entrante k, i segni delle componenti dei vettori y B e η B, l indice uscente h, giustificando le risposte. A A A x x c A A c A x A it. ) B {, }, k, y η > 0, y η > 0 (in quanto c A appartiene al cono finitamente generato da A e A, come mostrato in figura (a)), h min{, } (regola anticiclo di Bland). it. ) B {, }, k min{, } (regola anticiclo di Bland), y > 0, y 0 (in quanto c A ), η < 0, η > 0 (in quanto A appartiene al cono finitamente generato da A e A, come mostrato in figura (b)), h. it. ) B {, }, k, y, y 0 (in quanto c A ), η < 0, η < 0 (in quanto c appartiene al cono finitamente generato da A e A, come mostrato in figura (c)), STOP. Il problema duale è inferiormente illimitato e conseguentemente il problema primale è vuoto. A c A A A A A A A A A A A (a) (b) (c)