Esame di Ricerca Operativa del 15/01/19. max 6 x 1 x 2 6 x x x 1 +2 x x 1 3 x x 1 4 x x 1 +2 x x 1 x 2 19

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1 Esame di Ricerca Operativa del /0/9 Cognome) Nome) Numero di Matricola) Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale: max x x x + x x + x 8 x x x x x + x x x 9 passo {,} passo Base x Degenere? y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Una ditta produce tre tipi di giubbotti A, B e C. Per due di essi utilizza un materiale tecnico che puó acquistare al prezzo di 0 euro al Kg. Il fornitore puó al massimo fornire 00 kg di tale materiale al mese. La quantitá di materiale richiesta per produrre giubbotto, i costi di manodopera per giubbotto) ed i prezzi di vendita al pubblico per giubbotto) sono indicati nella seguente tabella. Materiale manodopera prezzo A B C 0. 0 Esigenze di mercato impongono che i giubbotti di tipo A prodotti devono essere almeno il doppio di quelli di tipo B e non superiori a quelli di tipo C. Scrivere un modello che determini un piano produttivo che massimizzi i guadagni. variabili decisionali: modello: COMANDI DI MATLAB c= intcon= A= b= Aeq= lb= beq= ub=

2 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti sulla seguente rete su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). -,8) -,9),),) 8,),),),),) -0 -,9) 9,9) iterazione iterazione Archi di T,),),),),),) Archi di U,) x degenere? π degenere? Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x 9 x +9 x 0 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

3 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =

4 Esercizio. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori 8 0 Volumi 0 a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. Esercizio. Trovare massimi e minimi della funzione fx,x ) = x +x sull insieme {x R : x x 0, x +x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale 8 ), 8 ), 8 ), Esercizio 8. Si consideri il seguente problema: { min x + x x x x x P e i vertici di P sono,), 0,),, ) e, ). Fare un passo del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto possibile ),

5 SOLUZIONI Esercizio. iterazione {, } iterazione {, } Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante ), 0 0, 0, 0, ),, 0 ) ),, 0, 0, 0,, 0,,,, 80, 80 Esercizio. COMANDI DI MATLAB c=[-0; -; -] intcon=[ ] A=[ ; - 0; 0 - b=[00; 0; 0] Aeq=[] lb=[0; 0; 0] beq=[] ub=[] Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). -,8) -,9),),) 8,),),),),) -0 -,9) iterazione iterazione Archi di T,),),),),),),),),),),),) Archi di U,) x 0,, 0,, 9,,,, 0, 0, 0) 0,, 0,, 8, 0,,, 0, 0, 0) π 0,,,,, 8, ) 0,,, 8,,, ) Arco entrante,),) ϑ +, ϑ Inf,, Arco uscente,),) Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x 9 x +9 x 0 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = 0, ) v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = 0,) v S P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x +x r = 8x +x 9,9)

6 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo + + nodo + nodo nodo insieme Q,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkersoncon la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. cammino aumentante δ x v - - -, 0, 0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0) - - -,, 0,, 0,, 0, 0,, 0, 0) ,,,, 0,,, 0,,, 0) Taglio di capacità minima: N s = {,,,,,} N t = {} Esercizio. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti ogni bene può essere inserito al massimo una volta).

7 Beni Valori 8 0 Volumi 0 a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile =,,,,,,0) v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = 0,,,,,, ) 0 v S P) = 9 c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria.,9 P x = 0 x =, P,,8 P, x = 0 x =, P,, P, x = 0 x =, P,, P, soluzione ottima = 0,,,,,0,) valore ottimo = Esercizio. Trovare massimi e minimi della funzione fx,x ) = x +x sull insieme {x R : x x 0, x +x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale 8 ) ), 8,0 NO SI NO NO NO 8 ) ), 0, NO SI NO NO NO 8 ), ) 0, NO NO NO NO SI Esercizio 8. Si consideri il seguente problema: { min x + x x x x x P dove P è il poliedro di vertici,), 0,),, ) e, ). Fare una iterazione del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto, ) ) ) possibile 0 0, ) 0 0,0, )