Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2008/09 6 credti (48 ore frontali) Docente: Vincenzo Auletta

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1 Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2008/09 6 credti (48 ore frontali) Docente: Vincenzo Auletta Presentazione del Corso Negli ultimi anni nell ambito della comunità informatica si è assistito ad una crescita esplosiva della ricerca su problemi computazionali all interno di sistemi distribuiti do agenti egoisti. La soluzione a questi problemi deve necessariamente combinare aspetti computazionali con aspetti di teoria dei giochi e di micro-economia. Questa fervente attività ha portato alla nascita di una nuova branca, che è stata definita come Teoria dei Giochi Algoritmica, e che si occupa di studiare problemi tipici della Teoria dei Giochi da un punto di vista più prettamente informatico, con particolare attenzione alle questioni relative alla complessità computazionale e di comunicazione delle soluzioni proposte. Forse la ragione principale che ha portato a questo enorme interesse per questa nuova area è che le moderne reti di computazione, Internet in primis, racchiudono al loro interno questo nuovo paradigma di computazione. Infatti, in queste reti le computazioni sono frutto della cooperazione e della competizione di parti distinte ed autonome, con interessi economici differenti. L approccio classico alla progettazione ed allo sviluppo di applicazioni software (anche distribuite) prevede che ci siano uno o più entità, controllate da una singola autorità, e che il funzionamento di ciascuna entità sia definito da un protocollo progettato in modo da raggiungere un obbiettivo comune e che ciascuna entità segua fedelmente le prescrizioni ricevute. Purtroppo, Internet ed il Web non sono state costruite e non sono gestite avendo in mente un tale approccio centralizzato. Su Internet opera una moltitudine di operatori, ognuno dei quali ha i propri interessi personali ed interagisce con gli altri solo sulla base del suo tornaconto. Preso atto della impossibilità di fissare e controllare le azioni svolte da ogni singolo operatore, la progettazione di un sistema distribuito deve allora focalizzarsi sulle strategie da impiegare per incentivare gli operatori ad operare in modo corretto rispetto all interesse generale, pur senza perdere di vista il proprio interesse. La Teoria dei Giochi può aiutare a capire come tali grandi reti possono operare e quali principi dovrebbero essere utilizzati per gestirle anche in presenza di interessi contrastanti e di comportamenti egoistici. Allo stesso tempo, però, l ampio utilizzo del Web come piattaforma di sviluppo di applicazioni commerciali ha enfatizzato alcuni aspetti ignorati dalla Teoria dei Giochi tradizionale, come ad esempio le questioni relative alla complessità computazionale e di comunicazione delle soluzioni proposte, o alla necessità di implementare soluzioni in assenza di un coordinatore centrato fidato. Libri di testo: N. Nisan, T. Roughgarden, E. Tardos, V. Vazirani. [NRTV] Algorithmic Game Theory, Cambridge Press, M. Osborne, A. Rubinstein. [OR] A Course in Game Theory, MIT Press, R. Vohra [V] Paths, Cycles, and Mechanism Design, note,

2 Programma del corso: Introduzione alla Teoria dei Giochi Descrizione dell ambito della terrai dei giochi. Teoria della scelta razionale e del ragionamento strategico. Definizione di gioco, strategia, costi e benefici. Giochi cooperativi e giochi non cooperativi. Rappresentazione di un gioco in forma estesa e in forma normale. Giochi con informazione completa e con informazione incompleta. Principali concetti di soluzione (strategie dominanti, equilibri Nash puri e misti, equilibri correlati, equilibri subgame perfect in giochi iterati); giochi bayesiani in modelli con informazione incompleta. [NRTV Cap. 1, OR Cap. 1, 2, 3]. Calcolo di Equilibri Calcolo di equilibri Nash puri. Caratterizzazione delle proprietà di una soluzione in Equilibrio Nash. Definizione di best response e di supporto di una strategia. Algoritmo di programmazione lineare per il calcolo di soluzioni in Equilibrio Nash con strategie miste per giochi a due giocatori e a somma zero. Algoritmo di Lemke-Lawson. Complessità del problema del calcolo di soluzioni in equilibrio Nash. Classe PPAD. Calcolo di equilibri correlati. Rappresentazioni succinte di giochi in forma strategica: congestion games, amonymous games, graphical games. Definizione di graphical games. Algoritmo per calcolare soluzioni in Equilibrio Nash in graphical games con topologia ad albero. Algoritmo polinomiale per il calcolo di soluzioni Nash approssimate. [NRTV Cap. 2, 7]. Algorithmic Mechanism Design Introduzione alla Progettazione di Meccanismi; Teoria delle Scelte Sociali, Teorema di Arrow e Teorema di Gibbard-Satterthwaite. Meccanismi con denaro e aste di Vickrey. Meccanismi a rivelazione diretta compatibili agli incentivi. Meccanismi VCG; Implementazione di meccanismi in strategie dominanti. Principio di rivelazione. Caratterizzazione di meccanismi compatibili agli incentivi tramite la condizione di cyclemonotonicity e weak-monotonicity. Meccanismi VCG per massimizzatori affini. Domini a singolo parametro. Meccanismi randomizzati. Implementazioni compatibili agli incentivi rispetto a Bayesian-Nash equilibri. [NRTV Cap. 9, V] Meccanismi di approssimazione efficienti Definizione di meccanismi approssimati; meccanismi di approssimazione compatibili agli incentivi in strategie dominanti per domini ad una dimensione (job scheduling su macchine relate e su macchine non relate); aste combinatoriali per agenti single-minded; rappresentazione ILP del problema della determinazione del vincitore in aste combinatoriali e suo rilassamento LP; riduzione del problema della determinazione del vincitore al calcolo di equilibri Walrasiani e teoremi del welfare; aste iterative e meccanismi di approssimazione per calcolare il social welfare; aste ascendenti; costruzione di meccanismi c-approssimati, randomizzati e compatibili agli incentivi in expectation a partire da algoritmi c-approssimati. [MRTV Cap. 11, solo par. 1, 2, 3, 5 e 7, Cap. 12 solo par. 1, 2 e 3] Meccanismi online Definizione di meccanismi ondine e differenze rispetto al caso offline; meccanismi ondine a rivelazione diretta; principio di rivelazione per meccanismi ondine; meccanismi compatibili agli incentivi per domini online a singolo parametro (aste dinamiche con beni che scadono, aste con forniture limitate); [MRTV Cap. 16, fino a par. 3.2] Inefficienza degli equilibri Introduzione al concetto di efficienza di una soluzione; misure di inefficienza di un equilibrio (price of anarchy e price of stability); selfish routing nonatomico (definizione del

3 problema, paradosso di Braess, risultati di esistenza ed univocità di equilibri Nash, calcolo del price of anarchy); selfish routing atomico (definizione del problema, risultati di non esistenza di equilibri nel caso generale e di esistenza per casi particolari, calcolo del price of anarchy); metodo della funzione potenziale; giochi di network formation (local e global); calcolo del price of stability e del price of anarchy per il local network formation game; calcolo di equilibri Nash in potential games e congestion games; calcolo del price of stability e del price of anarchy per il global connection game [MRTV Cap. 17 fino a par. 2, Cap. 18 fino a par. 4, Cap. 19 fino a par. 3]

4 Dettaglio delle lezioni 1. Introduzione alla Teoria dei Giochi. Teoria della scelta razionale e del ragionamento strategico. Definizione di giochi in forma strategica e loro soluzioni. Esempi di giochi: Dilemma del Prigioniero, Tragedy of Commons, Battle of Sex, Matching Pennies. 2. Concetti di soluzione: soluzioni con strategie dominanti e soluzioni in Equilibrio Nash. Esempi di giochi con un solo Equilibrio Nash, con più di una soluzione in Equilibrio Nash e senza soluzioni in Equilibrio Nash. Calcolo di soluzioni in equilibrio Nash. 3. Soluzioni in Equilibrio Nash con strategie miste. Teorema di Nash. Caratterizzazione delle proprietà di una soluzione in Equilibrio Nash. Definizione di best response e di supporto di una strategia. Algoritmo di programmazione lineare per il calcolo di soluzioni in Equilibrio Nash con strategie miste per giochi a due giocatori e a somma zero.algoritmo di Lemke- Lawson. Complessità del problema del calcolo di soluzioni in equilibrio Nash. Classe PPAD. 4. Rappresentazioni succinte di giochi in forma strategica: congestion games, amonymous games, graphical games. Definizione di graphical games. Algoritmo per calcolare soluzioni in Equilibrio Nash in graphical games con topologia ad albero. Algoritmo polinomiale per il calcolo di soluzioni Nash approssimate. 5. Mechanism design. Differenze tra modello classico della teoria dei giochi e mechanism design. Teoria della scelta sociale. Applicazioni della scelta sociale. Paradosso i Condorcet. Teorema di Arrow. Definizione di funzione sociale compatibile agli incentivi e monotona. Teorema di Gibbard Satterthwaite (solo enunciato). 6. Meccanismi a rivelazione diretta. Meccanismi VCG. Regola di pagamento di Clarke. 7. Giochi con informazione incompleta e valori privati indipendenti. Equilibri ex-post Nash e equilibri con strategie dominanti. Meccanismi indiretti. Implementazione di funzioni di scelta sociale con meccanismi indiretti. Principio di Rivelazione. Caratterizzazione dei meccanismi compatibili agli incentivi. 8. Riduzione del problema della compatibilità agli incentivi al duale di un problema di cammini minimi su una rete. Caratterizzazioni delle funzioni di scelta sociale implementabili in modo compatibile agli incentivi. Proprietà di cycle monotonicity e weak monotonicity (WMON). Interpretazione di WMON. Dimostrazione della necessarietà di WMON. Sufficienza di WMON per domini convessi (solo enunciato). Teorema di Rochet e calcolo dei pagamenti. 9. Funzioni di scelta sociale per cui WMON è sufficiente. Massimizzatori affini e Teorema di Roberts (solo enunciato). Domini a singolo parametro. 10. Meccanismi randomizzati. Definizione di compatibilità agli incentivi universale e in expectation. Meccanismi randomizzati compatibili egli incentivi in expectation per domini single-parameter. Definizione di giochi con informazione parziale. Meccanismi Bayesiani e implementazioni in equilibrio Bayesian-Nash. Teorema di equivalenza del guadagno. 11. Aste combinatoriali. Complessità computazionale del problema delle aste combinatoriali. Meccanismi approssimati per aste con giocatori single-minded. 12. Formulazione di PL del problema della determinazione del vincitore dell asta per valutazioni generali. Calcolo di equilibri di mercato competitivi. Equilibri Walrasiani e loro relazione con le aste combinatoriali. Primo e secondo Teorema del Welfare. 13. Aste iterate con demand query. Aste ascendenti. 14. Meccanismi polinomiali e compatibili agli incentivi per il problema dall asta combinatoriale frazionario. Meccanismi polinomiali randomizzati e compatibili agli incentivi in expectation per aste combinatoriali. Generalizzazione a problemi per cui è possibile fornire un integralità-gap verifier.

5 15. Caratterizzazione di meccanismi compatibili agli incentivi per domini con agenti oneparameter tramite funzioni di allocazione monotone. Funzione di Archer-Tardos per il calcolo dei pagamenti. Lowe bound al costo di una allocazione ottimale. 16. Algoritmi monotoni per il problema dello scheduling su macchine relate: algoritmo randomizzato 2-approssimato di Archer-Tardos; algoritmo deterministico 5-approssimato di Andelman-Azar-Sorani. 17. Meccanismi online e loro differenze rispetto ai meccanismi offline. Modello di meccanismi online a rivelazione diretta. Esempio di meccanismi online: aste con beni con scadenza. Meccanismi online per domini single-value. Algoritmo greedy per aste dinamiche con beni con scadenza. 18. Concetto di efficienza di un equilibrio rispetto ad una funzione di valutazione sociale. Definizione di una misura di efficienza di un equilibrio rispetto ad un concetto di soluzione. Definizione di misure di efficienza degli equilibri: Price of Anarchy e Price of stability. Esempi di applicazione di queste misure di efficienza: problema del selfish routing e problema di network formation. 19. Routing games: definizione del problema e descrizione del problema. Applicazioni dei routing games all analisi del traffico su Internet. Routing games non atomici: definizione di flusso e di flusso in equilibrio. Paradosso di Braess. Esistenza e unicità di un flusso in equilibrio. Caratterizzazione di flussi ottimi. Equivalenza di flussi ottimi rispetto ai costi marginali e flussi in equilibrio. Funzione potenziale per il problema del selfish routing non atomico e sue proprietà. Calcolo del Price of Anarchy per funzioni latenza lineari e polinomiali. Pigou s Bound. 20. Routing games atomici: descrizione del modello e differenze rispetto al modello non atomico. Definizione di flusso in equilibrio. Dimostrazione di non esistenza di flussi in equilibrio per istanze pesate. Esistenza di flussi in equilibrio per istanze non pesate e con funzioni costo lineari. Price of Anarchy per il problema del selfish routing non atomico. 21. Network formation games: Giochi di connessione locale: caratterizzazione di soluzioni ottime, calcolo del Price of Stability e del Price of Anarchy. 22. Netwrok formation games: giochi di connessione globale. Metodo della funzione potenziale per il calcolo di Equilibri Nash puri e limiti superiori al Price of Stability. Potential games e Congestion games. Esistenza di Equilibri Nash puri per potential games. Calcolo del Price of Anarchy per potential games.