RICERCA OPERATIVA (a.a. 2016/17) Nome: Cognome: Matricola:

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1 o Appello 3/9/27 RICERCA OPERATIVA (a.a. 2/7) Nome: Cognome: Matricola: ) Si individui un flusso massimo dall insieme di sorgenti S {, 3} al pozzo sulla rete in figura, utilizzando l algoritmo di Edmonds e Karp a partire dal flusso indicato di valore v. Nella visita degli archi di una stella uscente si utilizzi l ordinamento crescente dei rispettivi nodi testa (ad esempio, (,2) è visitato prima di (,3)), e si usi lo stesso ordinamento per le sorgenti. Ad ogni iterazione si fornisca l albero della visita, il cammino aumentante individuato con la relativa capacità, ed il flusso ottenuto con il relativo valore. Al termine, si indichi il taglio (N s,n t ) restituito 7,,,,, u ij, x ij, 2,,,2 i j dall algoritmo e la sua capacità, giustificando la risposta. Si discuta infine l unicità del taglio di capacità minima determinato. Le iterazioni sono rappresentate di seguito, dall alto in basso. Per ogni iterazione, a sinistra è mostrato l albero (foresta) della visita ed il cammino aumentante P individuato (archi evidenziati); a destra viene invece indicato il flusso ottenuto in seguito all invio, lungo P, di una quantità di flusso pari alla capacità θ(p,x), con il relativo valore v. Al termine è riportato il taglio (N s,n t ) ({,3},{2,,,}) determinato dall algoritmo. I nodi in N s sono quelli esplorati durante l ultima visita del grafo residuo (ovvero, la visita in cui si dimostra la non esistenza di un cammino aumentante). Il relativo albero (foresta) della visita è illustrato nell ultima figura in basso a sinistra. Il taglio è di capacità minima: infatti u(n s,n t ) u 2 +u +u v., 2, 2 it. ) θ(p,x) 9 v 2 2 it. 2) θ(p,x) 9 v it. 3) θ(p, x) 2 v 2 it. ) Il taglio determinato non è l unico di capacità minima. Infatti, anche il taglio (N s,n t) ({,3,},{2,,}) ha capacità u(n s,n t ) u 2 +u 32 +u +u v.

2 o Appello 3/9/27 2 2) Si enuncino le condizioni sotto le quali l algoritmo della Cancellazione di Cicli per il problema del Flusso di Costo Minimo è completo, ossia termina sempre. Si dimostri poi formalmente la proprietà enunciata. Le proprietà sufficienti a garantire la terminazione dell algoritmo della Cancellazione di Cicli per il problema del Flusso di Costo Minimo sono che: i) le capacità degli archi siano numeri interi (finiti), ii) i deficits dei nodi siano numeri interi, e iii) i costi degli archi siano numeri interi. La dimostrazione di quanto enunciato richiede innanzi tutto di mostrare che, sotto le prime due ipotesi, tutti i flussi ammissibili x determinati dall algoritmo sono interi. Infatti, il problema di Flusso Massimo che si risolve per determinare se esiste un flusso ammissibile ha come capacità degli archi le capacità originarie sugli archi appartenenti al grafo in input, ed i deficits dei nodi, o il loro opposto, sugli archi che collegano la super-sorgente ai nodi con deficits negativo e su quelli che collegano i nodi con deficits positivo con il super-pozzo. Pertanto il flusso massimo determinato sarà un flusso intero (se si usano gli algoritmi noti, anche se in effetti questa sarebbe un ulteriore richiesta da fare). Se tale flusso dimostra, con il controllo noto (flusso nel taglio super-pozzo/tutti gli altri nodi), che non esiste alcuna soluzione ammissibile, allora l algoritmo termina immediatamente. Altrimenti inizia il main loop dell algoritmo, durante il quale si determinano cicli aumentanti di costo negativo. Durante tale ciclo, tutti i flussi ammissibili x sono interi. Infatti lo è, come appena discusso, quello all inizio della prima iterazione, e si può mostrare facilmente che se all inizio di un iterazione x è intero, allora anche il flusso x ottenuto al termine dell iterazione lo è. Per questo si consideri la capacità del ciclo C (sul quale non si fanno ipotesi, tranne per il fatto che sia aumentante e di costo negativo) utilizzato nell iterazione: θ(c,x) min{ min{ u ij x ij : (i,j) C + }, min{ x ij : (i,j) C } } >, È evidente che, siccome u ij ed x ij sono intere per ogni (i,j) A, allora θ θ(c,x) è un valore intero. Di conseguenza, anche x x(θ) ottenuto dopo l operazione di composizione x x θc x ij +θ se (i,j) C + x ij (θ) x ij θ se (i,j) C x ij altrimenti è un flusso a valori interi. Per induzione, il flusso x è quindi intero ad ogni iterazione. Di conseguenza, per via della proprietà iii), ad ogni iterazione il costo del flusso ammissibile x è un numero intero. Poiché tale numero deve diminuire strettamente ad ogni iterazione, essendo che θ > e c(c) <, se ne deduce che ad ogni iterazione il costo di x è inferiore di almeno un unità al costo del flusso all iterazione precedente. Sotto le ipotesi fatte è ovvio che il costo del flusso x alla prima iterazione (se è ammissibile) sia finito. Inoltre, il fatto che tutte le capacità degli archi siano finite implica che esiste un valore finito M > tale per cui nessun flusso ammissibile può avere costo minore di M. Ad esempio, una stima di M si può avere prendendo il costo c min min{, min{c ij : (i,j) A, c ij < }} dell arco di costo più negativo (o se non ve ne sono), la capacità massima u max max{u ij : (i,j) A} degli archi, e ponendo M mc min u max, come è immediato verificare. È quindi ovvio che l algoritmo non può compiere un numero di iterazioni superiore a c(x ) M, che è un numero finito. Ciò dimostra la correttezza dell algoritmo della Cancellazione di Cicli per il problema del Flusso di Costo Minimo sotto le ipotesi date.

3 o Appello 3/9/27 3 3) Si risolva il problema di PL dato, parametrico in α, per il valore α utilizzando l algoritmo del Simplesso Primale, per via algebrica, a partire dalla base B {,2}. Per ogni iterazione si indichino: la base, la matrice di base e la sua inversa, la coppia di soluzioni di base, l indice uscente, la direzione di crescita, il passo di spostamento e l indice entrante, giustificando le risposte. Si discuta poi la soluzione ottenuta, specificando per quali valori di α la risposta rimane valida. it.) B {,2}, A B y B ca B /2 /2 /2 /2, A B /2 /2 /2 /2 max x x x 2 x + x 2 x 2 2 x + x 2 αx, x A /2 /2 B b B /2 /2 /2 /2, y N, y /2 /2 h min{i B : y i < } min{,2} regola anticiclo di Bland, B(h) ξ A /2 B u B(h), A /2 N ξ /2 /2, J {i N : A /2 i ξ > } {3,} /2 λ i (b i A i x)/a i ξ, λ 3, λ, λ min{λi : i J} min{,} k min{i J : λ i λ} min{3,} 3 regola anticiclo di Bland it.2) B {2,3}, A B y B ca B, A B ξ A B u B(h), x A B b B 2 2 2, y, h 2, B(h), A N ξ J {}, λ λ, k cambio di base degenere, it.3) B {3,}, A B y B ca B ξ A B u B(h), A B, x A B b B 2 2 2, y, h 3, B(h), A N ξ 2, STOP Poiché A N ξ, il problema primale è superiormente illimitato e quindi il problema duale è vuoto. Tale conclusione dipende dal valore di α; poiché il vincolo non è in B la direzione ξ non dipende da α, ma il prodotto scalare A ξ α α invece si. In particolare, per tutti i valori α la direzione ξ continua ad avere prodotto scalare non-positivo con A, e di conseguenza ξ continua ad essere una direzione ammissibile di crescita illimitata per il problema; pertanto, la risposta finale rimane la stessa. Per α > si ha invece A ξ >, e pertanto esiste un massimo passo finito che è possibile compiere lungo la direzione ξ: non è più possibile affermare che il problema sia superiormente illimitato, ossia la risposta precedentemente ottenuta non rimane valida. In effetti è facile vedere che il problema non è superiormente illimitato, in quanto con α > il vincolo implica che cx x /α <. Pertanto, anche senza svolgere ulteriormente l algoritmo si può affermare che per α > il problema ha soluzione ottima finita (non può diventare vuoto perché la soluzione tutta nulla ottenuta alla prima iterazione è ammissibile per il vincolo per qualsiasi valore di α).

4 o Appello 3/9/27 ) Si consideri il problema di PL dato, parametrico in α. Utilizzando il Teorema degli scarti complementari si determini per quali valori di α la soluzione x 2, 2 sia ottima per il problema, giustificando la risposta. Per ciascuno di tali valori si determini l insieme di tutte le soluzioni duali ottime. Considerando la coppia asimmetrica di problemi duali max x x + x 2 x 2 α x 2x 2 2 x + x 2 (P) max{ cx : Ax b } (D) min{ yb : ya c, y } possiamo enunciare il Teorema degli scarti complementari come segue: Teorema. Date due soluzioni x e ȳ ammissibili rispettivamente per (P) e (D), esse sono ottime se e solo se verificano la condizione degli scarti complementari ȳ(b A x). Per l ammissibilità delle soluzioni x e ȳ, la condizione degli scarti complementari è equivalente al sistema di equazioni Per il problema in esame, il duale è ȳ i (b i A i x) i,...,m. (D) min y + αy 2 2y 3 + y y + y 3 y y + y 2 2y 3 + y y, y 2, y 3, y È immediato verificare che la soluzione x 2, 2 è ammissibile per (P) per α 2, e non ammissibile per α < 2. Pertanto, x può essere ottima solo se α 2. L insieme degli indici dei vincoli attivi in x, I( x) {i {,...,m} : A i x b i } dipende da α: in particolare, I( x) {, 3} se α > 2, mentre I( x) {, 2, 3} se α 2, e quindi dobbiamo considerare separatamente i due casi. Per α > 2, una soluzione duale ȳ, tale che ȳa c, che formi con x una coppia di soluzioni complementari deve soddisfare la condizione ȳ 2 ȳ. Affinché ȳ sia ammissibile per (D), essa deve soddisfare il sistema y + y 3 y 2y 3 y, y 3 Le equazioni del sistema hanno l unica soluzione ȳ, ȳ 3,, che rispetta i vincoli di segno. Pertanto, per α > 2 x è una soluzione ottima di (P), e ȳ,,, è l unica soluzione ottima di (D). Per il caso α 2 la condizione degli scarti complementari impone solamente ȳ, e quindi il sistema che ȳ deve soddisfare diventa y + y 3 y + y 2 2y 3 y, y 2, y 3 Posto y 3 β, tale sistema ammette infinite soluzioni della forma β, 3β, β. Tali soluzioni hanno componenti non negative per /3 β. Pertanto, comunque si scelga β in tale intervallo, la soluzione ȳ(β) β, 3β, β, è ammissibile per (D) e rispetta la condizione degli scarti complementari con x. Quindi, anche per α 2 x è una soluzione ottima di (P); in questo caso, l insieme di tutte le soluzioni ottime di (D) è dato da ȳ(β) per ogni β /3,.

5 o Appello 3/9/27 ) La Banca Gatto&Volpe(BGV), dato il prolungato periodo di tassi bassi che deprime la redditività delle tradizionali operazioni di prestito alla clientela, decide di attivare un servizio di consulenza finanziaria. Per questo può offrire ai suoi fortunati correntisti (FC) portafogli composti da al più n strumenti finanziari. Ciascuno strumento s S {,2,...,n}haun costofissodiacquistodi c s Europerilcorrentista,indipendente dallaquantitàacquisita, chelabgv intasca. Inoltre, acquistare x s Euro dello strumento porta un rendimento (atteso) di ρ s x s, di cui la banca trattiene il 2% come commissione di performance. Data una qualsiasi coppia (non ordinata) di strumenti {s,p} S S, con s p, è noto il coefficiente di correlazione Q s,p tra i loro rendimenti. Questo può essere utilizzato come una misura del rischio inerente nell acquistare entrambi gli strumenti, in quanto se uno di due strumenti positivamente correlati è in perdita allora è probabile che lo sia anche l altro, mentre per strumenti negativamente correlati vale l inverso. Dato un qualsiasi FC, la BGV conosce l ammontare A (in Euro) che egli/ella può investire, insieme ad un limite κ >, fissato dall autorità di controllo sulle banche, sulla rischiosità complessiva (somma dei coefficienti di correlazione per le coppie di strumenti effettivamente acquisiti) del portafoglio che può essere rifilato (ops, venduto) a quello specifico FC, dipendente dalla classe di rischio della quale fa parte. Si formuli come PLI il problema di determinare quali strumenti finanziari acquisire, e quanto di ciascuno, in modo da investire tutti i soldi del FC in un portafoglio che rispetti il vincolo di rischiosità e che massimizzi il ricavo totale della BGV. Introduciamo variabili binarie y s che indicano se lo strumento s S viene acquistato, e variabili continue x s che indicano il valore in Euro di quanto ne viene acquistato. Introduciamo inoltre variabili binarie z s,p per ogni coppia non ordinata {s,p} S S con s p; per semplificare la notazione definiamo C {(s,p) S S : s < p} come un equivalente insieme di coppie ordinate, definendo una z s,p per ogni (s,p) C. Un modello di PLI del problema è: max s S (c sy s +(.2ρ s )x s ) () s S (c sy s +x s ) A (2) x s (A c s )y s s S (3) z s,p y s +y p (s,p) C () z s,p y s, z s,p y p (s,p) C () (s,p) C Q s,py s,p κ () y s {,} s S (7) z s,p {,} (s,p) C (8) La funzione obiettivo () conta il ricavo totale della BGV, considerando sia il costo fisso di acquisto per il FC che la commissione di performance sul rendimento degli strumenti, che viene massimizzato. Il vincolo (2) impone di investire tutti i fondi disponibili al FC in questione, tenendo in conto anche di quelli perduti per via del costo fisso di acquisto. Il vincolo (3) impone la condizione logica x s > y s ; in altri termini, se si pone y s, ossia non si paga il costo fisso di acquisto, allora non si può acquistare lo strumento s. Si noti che il lato destro del vincolo tiene conto del fatto che, se lo strumento s viene acquistato, allora la massima quantità che può acquistare è A c s, in quanto almeno c s Euro vengono spesi per i costi fissi. I vincoli () e () impongono la condizione logica y s &&y p z s,p, ossia che z s,p rappresenti l and logico tra y s ed y p. Il vincolo () impone il budget di rischio. Si noti che sono necessari entrambi i vincoli () e () affinché il modello funzioni, per via del fatto che i coefficienti di correlazione Q s,p possono essere negativi. Infatti, se fosse, ad esempio, presente solo il vincolo (), che corrisponde all implicazione y s &&y p z s,p, allora z s,p potrebbe valere anche se y s ed y p fossero entrambi zero; se Q s,p < questo renderebbe più facile rispettare il vincolo (), e quindi il modello (o meglio, il solutore) potrebbe farlo. Infine, gli ultimi sono i vincoli di integralità (e limiti superiori ed inferiori) sulle variabili.

6 o Appello 3/9/27 ) Si applichi alla seguente istanza del problema dello zaino max 8x + 3x 2 + x 3 + 7x + 9x 3x + x 2 + x 3 + x + x x, x 2, x 3, x, x {,} l algoritmo Branch&Bound che usa il rilassamento continuo per determinare la valutazione superiore, l euristica Greedy CUD per determinare la valutazione inferiore, esegue il branching sulla variabile frazionaria e visita depth-first l albero dienumerazione,scegliendoperprimoilfiglioincuilavariabileèfissataa. Siesegual algoritmofinoalmomentoincui si possa certificare di avere ottenuto una soluzione con un errore assoluto pari al massimo a ε /2, sfruttando questa condizione per velocizzare l algoritmo. Per ogni nodo dell albero si riportino le soluzioni ottenute dal rilassamento e dall euristica (se vengono eseguiti) con le corrispondenti valutazioni superiore ed inferiore; si indichi poi se viene effettuato branching, e come, o se il nodo viene chiuso e perché. Al termine si giustifichi formalmente il fatto che la soluzione ottenuta rispetta la condizione richiesta, ossia ha un valore della funzione obiettivo distante dal valore ottimo non più di ε. Indichiamo con x la soluzione ottenuta dal rilassamento e con x quella ottenuta dall euristica. Indichiamo inoltre con z la valutazione superiore ottenuta ad ogni nodo (ossia z cx ), con z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo (ossia z c x) e con z la migliore delle valutazioni inferiori determinate. L ordine CUD degli oggetti dello zaino è:,,, 3, 2. Inizializzazione La coda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radice dell albero delle decisioni, corrispondente a non aver fissato alcuna variabile; inoltre, si pone z. Nodo radice x,,,/,, z cx 8+2/, x,,,,, z c x 7. Poiché 7 z > z, si pone z 7. Poiché z 8+2/ > 7+/2 z +ε, si esegue branching sulla variabile frazionaria x. x x,,/,,, z 8, x,,,,, z 7. Poiché z 7 z, z non cambia. Poiché z 8 > 7+/2 z +ε, si esegue branching sulla variabile frazionaria x 3. x x 3 x,/,,,, z 7+3/, x,,,,, z 7. Poiché z 7 z, z non cambia. Poiché z 7+3/ > 7+/2 z +ε, si esegue branching sulla variabile frazionaria x 2. x x 3 x 2 x,,,,, z 7. Poiché la soluzione ottima del rilassamento è intera, il nodo viene chiuso per ottimalità; comunque, dato che z 7 7+/2z+ε, il nodo sarebbe stato chiuso dalla valutazione superiore. Siccome però z z 7 z, z non cambia. x x 3,x 2 x,,,,/2, z +/2. Poiché z +/2 7+/2 z +ε, il nodo viene chiuso dalla valutazione superiore. x,x 3 x,,,,/2, z +/2. Poiché z +/2 7+/2 z +ε, il nodo viene chiuso dalla valutazione superiore. x x,,,,/3, z 8, x,,,,, z. Poiché z < 7 z, z non cambia. Poiché z 8 > 7+/2 z +ε, si esegue branching sulla variabile frazionaria x. x,x x,,/2,,, z 7. Poiché z 7 7+/2 z +ε, il nodo viene chiuso dalla valutazione superiore. x x Il rilassamento continuo del problema corrispondente non ha soluzioni ammissibili: la capacità residua dello zaino è. Pertantoil nodo viene chiuso per inammissibilità. In altri termini, poichè z 7+/2 z+ε, il nodo viene chiuso dalla valutazione superiore. Poiché Q è vuota, l algoritmo termina. L analisi dell algoritmo B&B assicura che la valutazione superiore globale è pari a max{ z +ε, max { z(p ) : P Q } }, dove Q è l insieme dei predecessori immediati dei nodi in Q. Poiché Q allora anche Q, e di conseguenza z +ε 7+/2 è una valutazione superiore globale valida sull ottimo del problema. Quindi il valore z 7 della miglior soluzione determinata è garantito essere distante al più ε /2 dal valore ottimo del problema. In effetti, esaminando l albero delle decisioni si può affermare che una valutazione superiore valida ancora migliore del valore ottimo del problema è 7; infatti, tutte le volte che un nodo è stato chiuso dalla valutazione superiore utilizzando z +ε 7+/2, sarebbe stato chiuso ugualmente se si fosse utilizzato z 7 (ossia, ε ). Pertanto, la soluzione ottenuta è in effetti ottima per il problema.