Esame di Ricerca Operativa. max 14 x x 2 5 x 1 3 x x 1 3 x x x 2 16 x x x 1 x 2 15 x x 2 41

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1 Esame di Ricerca Operativa (Cognome) (Nome) (Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x + 8 x x 3 x x 3 x x + 3 x x + x x x x + x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {3,} Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante iterazione Esercizio 3. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). (8,) (,) (,) (3,) (8,) (,) (,0) (0,) 3 (3,0) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,3) (3,) (,) (,3) (,) (,) x = (,) (,) (3,) (,) (,) (,) π = (0,

2 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio 3. iterazione iterazione Archi di T (,) (3,) (,) (,3) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete nodo visitato iter iter iter 3 iter iter iter π p π p π p π p π p π p nodo nodo 3 nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete

3 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio. Una ditta produce tre tipi di piastrelle (P, P, P3) utilizzando tre diversi materiali (M, M, M3). La seguente tabella riporta le quantità (in Kg) di ciascuna materia prima richiesta per produrre una piastrella e la quantità massima (in Kg) di ciascuna materia prima che si può acquistare mensilmente: M M M3 P P P quantità massima Nella seguente tabella sono riportate, per ogni piastrella, le ore necessarie per la produzione, i prezzi di vendita (in Euro) e le quantità minime da produrre: P P P3 ore lavorative prezzo di vendita 0 quantità minime Determinare la produzione mensile in modo da massimizzare il ricavo, tenendo conto che il numero di ore impiegate per la lavorazione della piastrella P non deve superare il 30% del totale delle ore necessarie per la lavorazione di tutte le piastrelle fabbricate (si supponga di vendere tutte le piastrelle fabbricate). variabili decisionali: modello: c= COMANDI DI MATLAB A= b= Aeq= lb= beq= ub=

4 Esercizio. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti (ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni 3 Valori Volumi 3 a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = v I (P ) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol ottima del rilassamento = v S (P ) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. Esercizio 8. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + 8 x x + 3 x 3 x + x x i Z + a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P ) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando un algoritmo greedy. sol. ammissibile = v I (P ) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x + 8 x x 3 x x 3 x x + 3 x x + x x x x + x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, ) SI NO {, } y = ( ), 0, 0, 0,, 0 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. Base x y Indice Rapporti Indice ( uscente entrante iterazione {3, } (, ) 0, 0, 8 ), 8, 0, 0 3, iterazione {, } (, ) ( 0, 0, 0, ), 8, 0 NO NO Esercizio 3. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). (8,) (,) (,) (3,) (8,) (,) (,0) (0,) 3 (3,0) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,3) (3,) (,) (,3) (,) (,) x = (0,, 0, 0,, 0,,, ) NO SI (,) (,) (3,) (,) (,) (,) π = (0,,, 9,, ) SI NO

6 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio 3. iterazione iterazione Archi di T (,) (3,) (,) (,3) (,) (,) (,) (3,) (,) (,) Archi di U (,) x (, 0,, 0,,, 0, 0, ) (, 0,, 0,,, 0, 0, ) π (0,,, 8,, ) (0,,,, 8, 8) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ +, 0, Arco uscente (,3) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter 3 iter iter iter π p π p π p π p π p π p nodo visitato 3 nodo nodo 3 nodo nodo nodo insieme Q, 3 3,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (0, 0,, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, ) (0, 0,, 0, 0, 0,, 0,,, ) Taglio di capacità minima: N s = {,, 3, } N t = {,, }

7 Esercizio. Una ditta produce tre tipi di piastrelle (P, P, P3) utilizzando tre diversi materiali (M, M, M3). La seguente tabella riporta le quantità (in Kg) di ciascuna materia prima richiesta per produrre una piastrella e la quantità massima (in Kg) di ciascuna materia prima che si può acquistare mensilmente: M M M3 P P P quantità massima Nella seguente tabella sono riportate, per ogni piastrella, le ore necessarie per la produzione, i prezzi di vendita (in Euro) e le quantità minime da produrre: P P P3 ore lavorative prezzo di vendita 0 quantità minime Determinare la produzione mensile in modo da massimizzare il ricavo, tenendo conto che il numero di ore impiegate per la lavorazione della piastrella P non deve superare il 30 % del totale delle ore necessarie per la lavorazione di tutte le piastrelle fabbricate (si supponga di vendere tutte le piastrelle fabbricate). variabili decisionali: x i = numero di piastrelle di tipo i prodotte, con i =,, 3. modello: max x + 0 x + x 3 0. x + 0. x x x + 0. x + 0. x x x + 0. x x 0.3 (x x + 0. x 3 ) x A 000 x B 000 x C 00 c=-[;0;] COMANDI DI MATLAB A=[ ; ; ; ] Aeq=[] lb=[000; 000; 00] b=[3000;00;000;0] beq=[] ub=[]

8 Esercizio. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti (ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni 3 Valori Volumi 3 a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando un algoritmo greedy. sol. ammissibile = (, 0,, 0) v I (P ) = 8 b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo 0 x i. sol. ottima del rilassamento = (, 3 ),, 0 v S (P ) = 3 c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. 8,3 P x = 0 x = 8,3 P, 8,3 P, x = 0 x = x = 0 x 3 = 8,8 8,9 8,3 3,3 P, P, P,3 P, la sol. ottima del rilassamento è (0,,, 0).Aggiorno v I (P ) = 3 soluzione ottima = (0,,, 0) valore ottimo = 3 Esercizio 8. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + 8 x x + 3 x 3 x + x x i Z + a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( ) sol. ottima del rilassamento = 3, 0 b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando un algoritmo greedy. v S (P ) = 8 sol. ammissibile = (3, 0) v I (P ) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x 3 r = 3 x + x