Esame di Ricerca Operativa del 16/07/18

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Cecilia Fiorini
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1 Esame di Ricerca Operativa del /0/8 (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Un terreno agricolo è costituito dalla miscela di tre tipi di terra T, T e T. Da un analisi di laboratorio viene rilevata, nei tre tipi di terra, la presenza di sostanze inquinanti, in particolare, amianto (A), ferro (Fe) e piombo (Pb), nelle quantità percentuali indicate nella seguente tabella: A Fe Pb T 0.% % % T 0.% % 0 T % 0 % Si supponga che tutte le sostanze siano misurate in grammi. Viene prelevato dal terreno un campione di 000 grammi. Sapendo che la quantità di ferrodel campione assumevalori che varianotrà l % ed il % del peso del campione e che la quantità di piombo non potrà mai superare l.% del peso del campione, si formuli un problema di programmazione lineare per determinare quale è la quantità massima di amianto che è possibile aspettarsi che sia presente nel campione stesso. variabili decisionali: modello: Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x +x x +x x + x x x x +x x x x x Base Soluzione di base {, } x = {, } y = Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante

2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) - (,) (,) (8,9) - (,) (9,0) (,8) 8 (0,) (0,8) (9,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete

3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 9 x + x 8 x + x 9 x +0 x 8 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory.

4 r = taglio: Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

5 SOLUZIONI Esercizio. Variabili decisionali: x i = quantitá (in grammi) di terra di tipo T i, i =,,, presente nel campione prelevato; Modello: max 00 (0.x +0.x +x ) x +x +x = x +0.0x 0 0.0x +0.0x 0 0.0x +0.0x x i 0, i =,,. Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x +x x +x x + x x x x +x x x x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, ) SI NO {, } y = (, 0,, 0, 0, 0) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {, } (, ) iterazione {, } (, ) Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante ( 0, 0, ), 0, 0, ( 0, 0, 0, 0, ), 0, 0 9, 0 0 9, Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) - (,) (,) (8,9) - (,) (9,0) (,8) 8 (0,) (0,8) (9,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,,, 0,, 0,, 0,, 0, 8) NO NO (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0,,,,,, 0) NO SI Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. (,)

6 iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) (,) x (, 0,, 0,,, 0, 0,, 8, 0) (, 0,, 0,, 0,, 0,,, 0) π (0,,, 0,,, ) (0,,, 0,,, 0) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ,, Arco uscente (,) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo + 9 nodo nodo insieme Q,,,,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete

7 cammino aumentante δ x v - - (0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) (,, 0,, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) (8,, 0,,, 0,, 0, 0,, 0) (8,,,,, 0,, 0,,, ) Taglio di capacità minima: N s = {,,,} N t = {,,} Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 9 x + x 8 x + x 9 x +0 x 8 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento = 0, 9 ) b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v S (P) = 8 sol. ammissibile = (0,) v I (P) = 0 c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x r = x +x Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

8 , P x = 0 x =, P, 8, P, x = 0 x = 0, P,, P, x = 0 x = 0, P,, P,

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