Ricerca Operativa. D.U.T. in Ingegneria Informatica D.U.T. in Ingegneria Logistica e della Produzione 18/05/2002

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1 Ricerca Operativa D.U.T. in Ingegneria Informatica D.U.T. in Ingegneria Logistica e della Produzione 8/0/00. Un azienda produttrice di automobili deve pianificare lo smistamento delle vetture in un paese straniero. Le vetture raggiungono il paese via mare e le navi possono attraccare in diversi porti, P, P e P. Per ciascun porto si deve pagare una tassa per ciascuna automobile del carico: nel porto P la tassa ammonta a 0 euro per vettura, nel porto P a 0 euro per vettura, mentre nel porto P la tassa è di 00 euro a vettura. Le automobili devono essere inviate ai centri di smistamento presenti nel paese, S, S, S e S. L invio di un automobile dal porto P costa 0. euro/km, l invio di un automobile dal porto P costa 0. euro/km, mentre dal porto P costa euro/km. Le distanze, in chilometri, tra porti e centri di smistamento sono riportate nella tabella. S S S S P P P La richiesta del centro di smistamento S è di almeno 70 vetture, quella del centro S è di 0 vetture, quella del centro S è di 00 vetture mentre la domanda di S è di 00 vetture. Sapendo che il porto P gestisce al più 0 automobili, il porto P gestisce al più 80 vetture mentre il terzo porto gestisce al più 00 vetture, scrivere il modello in programmazione lineare che pianifichi la distribuzione delle vetture minimizzando i costi.. Risolvere il seguente problema di Programmazione Lineare con l algoritmo del simplesso: min x + x x s.t. x x + x x x + x x, x, x 0.

2 . Risolvere, con l algoritmo del Branch and Bound, il seguente problema dello zaino: max x + 8x + x + x + x s.t. x + 0x + 7x + x + x x, x, x, x, x {0, }.. Risolvere, con l algoritmo di Ford-Fulkerson, il seguente problema di flusso massimo:,, 0,,,,, 0,

3 Soluzioni. Variabili: x ij = numero di vetture inviate dal porto P i al centro di smistamento S j. f.ob.: min 0(x + x + x + x ) + 0(x + x + x + x )+ +00(x + x + x + x ) + 0x + 0x + 0x + 0x + +0x + 0x + 0x + 0x + 0x + x + 0x + 0x Vincoli: x + x + x + x 0 x + x + x + x 80 x + x + x + x 00 x + x + x 70 x + x + x 0 x + x + x 00 x + x + x 00. Introduciamo le variabili di slack: Il tableau iniziale è: x ij Z + i, j min x + x x s.t. x x + x + x = x x + x + x = x, x, x, x, x 0.

4 x x x x x x - 0 x Entra in base la variabile x con costo ridotto -: i rapporti sono (x ) e (x ). Esce la variabile x : il pivot è l elemento (,), in grassetto. Il nuovo tableau è: x x x x x x - 0 x Entra in base la variabile x con costo ridotto - ed esce la variabile x. Il nuovo tableau è: x x x x x x x La soluzione ottima è: x =, x = 0, f.ob. =. Soluzione senza miglioramento nel calcolo del Lower Bound. Le variabili sono già ordinate per valori decrescenti di p i w i : Nodi: p w =, p w =.8, p w =.8, p w =, p w =. P : x =, W = 9 x = 9 0 UB =. =, LB =, variabile critica x (Il Lower Bound può essere migliorato: x =, x = 0, x =, x = 0, x =, LB = )

5 P : x = 0 x =, W = 9 x =, W = x = UB =, LB =, variabile critica x P : x =, W = x = UB =, LB = 8, variabile critica x P : x = x = 0 x =, W = 9 x =, W = x =, UB = LB =, nodo chiuso P : x = 0, x =, W = 8 x =, W = x = 7 UB =.7 =, LB =, nodo chiuso UB LB P : x = 0, x =, W = x =, W = x =, W = x = UB =. =, LB = 0, nodo chiuso UB LB P 7 : x =, x = Non Ammissibile La soluzione ottima è x =, x = 0, x =, x = 0, x =, f.ob =.

6 P [, ] x = 0 x = [, ] [, 8] P P x = 0 x = x = 0 x = [, ] [, ] [, 0] [N.A.] P P P P 7. Il flusso iniziale è v =. Sul primo grafo di scarto si individua il cammino aumentante il cammino, con ɛ = min{,, 7,, } =. 7 Il grafo aggiornato è:, 0,,,,,, 0,

7 Il flusso diventa v = + ɛ =. Sul nuovo grafo di scarto si individua il cammino, con ɛ = min{,,, } =. Il grafo aggiornato, relativo al flusso v = + = 7, è:, 0,,,,,,, Sul nuovo grafo di scarto non è possibile individuare nuovi cammini aumentanti: l algoritmo è terminato. Il flusso massimo è pari a 7. 7