Esame di Ricerca Operativa del 12/07/17

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1 Esame di Ricerca Operativa del /0/ (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Un azienda produttrice di mobili possiede due sedi S e S, che richiedono mensilmente 0 e 0 quintali di legname per il processo produttivo. Il legname è conservato in tre depositi D, D, D, di proprietà dell azienda, nelle quantità di 0, e quintali, rispettivamente. Nella seguente tabella sono riportati i costi di trasporto (in euro per quintale) del legname, dal deposito D i alla sede S j, i =,,, j =,. S S D 0 8 D D 0 Sapendo che il costo di giacenza mensile del legname nei depositi D, D e D é di, e euro a quintale, rispettivamente, si formuli un problema di programmazione lineare per minimizzare il costo complessivo mensile di trasferimento del legname richiesto dalle sedi e di giacenza del legname rimanente nei depositi. variabili decisionali: modello: Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x x x x x + x x +x x x x x +x 0 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y =

2 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) (,) - (,8) (8,) (,) (,) (,) 0 - (,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente (,)

3 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 8 nodo visitato iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 0 0 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =

4 Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x x + x x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio: Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

5 SOLUZIONI Esercizio. Variabili decisionali: x ij = quantitá (in quintali) di legname da trasferire mensilmente dal deposito D i alla sede S j, i =,,, j =,; Il costo di trasferimento del legname è: 0x +8x +x +x +x +0x. Il costo di giacenza del legname rimanente nei depositi è: (0 x x )+( x x )+( x x ). Modello: min (0+x +x +x +8x +x +8x ) x +x 0 x +x x +x x +x +x = 0 x +x +x = 0 x ij 0, i =,,, j =, Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x x x x x + x x +x x x x x +x 0 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, 8) SI NO {, } y = (, 0,, 0, 0, 0, 0) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {, } (, ) Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante ( 0, ), 0, 8, 0, 0, 0,, iterazione {, } (, 8) (8,, 0, 0, 0, 0, 0), Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) (,) - (,8) (8,) (,) (,) (,) -0 - (,) (,)

6 Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (0, 0,,,, 0, 0, 0, 0) NO SI (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0,,,,, ) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) (,) x (, 0,, 0, 8,,, 0, 0) (, 0,, 0,,,, 0, 0) π (0,,,,, ) (0,, 8,, 0, ) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ,, Arco uscente (,) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 8 iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo + + nodo 8 8 nodo nodo + insieme Q,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete.

7 0 0 cammino aumentante δ x v - - (0,, 0, 0, 0, 0, 0,, 0) - - (0,,, 0, 0, 0, 0,, ) (,,, 0,, 0, 0,, ) Taglio di capacità minima: N s = {,,,,} N t = {} Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x x + x x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento = 0, ) b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v S (P) = sol. ammissibile = (0,) v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x r = x +x 0 Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

8 , P x = 0 x = 8, P,, P, x = 0 x =, P, 8, P, x = 0 x = 0, P,, P,