Esame di Ricerca Operativa del 09/01/15. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:

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1 Esame di Ricerca Operativa del 0/0/ (Cognome) (Nome) (Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: min 7 y +y + y + y +y +7 y y +y y y y = y y + y + y y +y = y 0 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso duale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice entrante uscente Esercizio. Un industria di lavorazione del marmo ha due stabilimenti dove produce lastre di marmo di tre diverse qualità: bassa, media e alta. Per contratto, l industria deve fornire a una ditta esterna almeno 0, 0 e 0 tonnellate di marmo di bassa, media e alta qualità, rispettivamente. La seguente tabella riporta le caratteristiche di produzione nei due diversi stabilimenti: Stabilimento costo giornaliero (euro) produzione (tonnellate/giorno) bassa media alta 0 00 Determinare quanti giorni di lavoro sono necessari nei due stabilimenti per minimizzare i costi. variabili decisionali: modello: c= COMANDI DI MATLAB A= b= Aeq= lb= beq= ub=

2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,7) -7 (0,) (0,0) (8,) - (,) (,) (,) 7 0 (8,) (,) (0,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) x = (,) (,) (,7) (,) (,7) (,7) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,7) (,) Archi di U (,7) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete

3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter 7 π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo 7 insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo 7 sulla seguente rete. 7 0 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio 7. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x 0 x + x x 0, x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I (P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

4 Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x. Esercizio. Trovare massimi e minimi della funzione f(x,x ) = x +x sull insieme {x R : x +x 0, x +x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { max 0 x x x x x P e i vertici di P sono (,), (,), (, ) e (, ). Fare un passo del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto possibile (, )

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: min 7 y +y + y + y +y +7 y y +y y y y = y y + y + y y +y = y 0 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, ) SI NO {, } y = ( ), 0, 0,, 0, 0 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso duale per il problema dell esercizio. iterazione {, } Base x y Indice Rapporti Indice entrante uscente ( 7 ), NO NO (0, 0, 0, 0, 0, ) iterazione {, } ( 7, ) (0,, 0,, 0, 0) Esercizio. variabili decisionali: x = giorni di lavoro nello stabilimento x = giorni di lavoro nello stabilimento modello: min0x +00x x +x 0 x +x 0 x +x 0 x,x 0. 7, c=[ 0 ; 00] COMANDI DI MATLAB A=[ - - ; - - ; - - ] b=[ -0 ; -0 ; -0 ] Aeq=[] lb=[0; 0] beq=[] ub=[] Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,7) -7 (0,) (0,0) (8,) - (,) (,) (,) 7 0 (8,) (,) (0,) (,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) x = (0, 8,,, 0,, 0, 0,, 0, 0) NO SI (,) (,) (,7) (,) (,7) (,7) (,) π = (0, 0,, 7,, 8, 8) NO NO

6 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,7) (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) Archi di U (,7) (,7) x (, 0,, 0, 7,,, 0,,, 0) (0,,, 0,,,, 0,,, 0) π (0, 0,, 8,, 7, 8) (0, 7, 0, 8,, 7, ) Arco entrante (,) (,7) ϑ +, ϑ,, Arco uscente (,) (,7) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter iter iter iter iter 7 π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato 7 nodo nodo nodo nodo nodo + nodo insieme Q,,,,,, 7,, 7, 7 b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo 7 sulla seguente rete. 7 0

7 cammino aumentante δ x v (0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) (,, 0, 0,, 0,, 0, 0,, 0) (,, 0, 0,, 0,, 0, 0,, 0) Taglio di capacità minima: N s = {,,,} N t = {,,7} Esercizio 7. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x 0 x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento = 7, ) b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v I (P) = sol. ammissibile = (,) v S (P) = 8 c) Calcolare un taglio di Gomory. r = 0x +x r = x +x Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P) = 7 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

8 7,8 P x = 0 x = 8,8 P, il albero di costo minimo è il ciclo, aggiorno v S (P) = 8 7, P, x = 0 x =,8 7,8 P, P, x = 0 x = 08,8 P,7 P,8 Esercizio. Trovare massimi e minimi della funzione f(x,x ) = x +x sull insieme {x R : x +x 0, x +x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale ( (0, 0) (0,0) NO NO SI SI NO ), (0, ) NO NO NO NO SI ( ), (negativo, negativo) NO SI NO NO NO ( ) + +, (negativo, negativo) SI SI NO NO NO Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { max 0 x x x x x P dove P è il poliedro di vertici (,), (,), (, ) e (, ). Fare una iterazione del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto ( ) ( ) possibile / / 7 (, ) (, ) / /, 8 (, ) 7 7