Esame di Ricerca Operativa del 21/07/14. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:

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1 Esame di Ricerca Operativa del /0/ (Cognome) (Nome) (Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: min y y + y + y + y + y y y +y + y +y + y = y y +y + y y = 8 y 0 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso duale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice entrante uscente Esercizio. Una ditta di trasporti sta considerando l acquisto di nuovi veicoli commerciali per trasporto merci, di capacità piccola, media e grande. Il prezzo d acquisto è di 800 Euro per ogni veicolo di capacità piccola, 00 Euro per ogni veicolo di capacità media e 00 Euro per ogni veicolo di capacità grande. La ditta ha a disposizione 000 Euro per tali acquisti. E stato valutato che il profitto annuale netto dovrebbe essere di 000 Euro, 800 Euro e 00 Euro, per i veicoli di capacità piccola, media e grande, rispettivamente. E stato inoltre previsto che vi sarà personale sufficiente per guidare 0 nuovi veicoli, ma solo tra questi hanno la patente per guidare i veicoli di capacità grande. Determinare quanti veicoli commerciali di ciascun tipo si dovrebbero acquistare per massimizzare il profitto. variabili decisionali e modello: c= (per il problema o per il rilassato?) COMANDI DI MATLAB A= b= Aeq= lb= beq= ub=

2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) - (,) (,) (,) - (,9) (,) (,) (,9) (,) (9,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. (,) iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 0 9

3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 8 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 0 x +8 x 8 x + x 8 x +8 x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

4 Esercizio 8. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a 8 metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti (ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori 8 9 Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = v I (P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione f(x,x ) = x x sull insieme {x R : x +x 0, x x + 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale (,) (, -) Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x x x x x P e i vertici di P sono (,), (, ), (,) e (,). Fare un passo del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto possibile (, )

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: min y y + y + y + y + y y y +y + y +y + y = y y +y + y y = 8 y 0 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, ) SI NO {, } y = (0,, 0, 9, 0, 0) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso duale per il problema dell esercizio. iterazione {, } iterazione {, } Base x y Indice Rapporti Indice entrante uscente ( ) ( 9, 0, 0, 0, 0, (, ) ( 0, 0, ), ), 0, 8, 0, 8, 8 Esercizio. Indichiamo con x P, x M ed x G rispettivamente il numero di veicoli commerciali di capacità piccola, media e grande da acquistare. COMANDI DI MATLAB c=[ -000 ; -800 ; -00 ] A=[ ; ] b=[ 000 ; 0 ] Aeq=[] beq=[] lb=[0; 0; 0] ub=[ ; ; ] Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) - (,) (,) (,) - (,9) (,) (,) (,9) (,) (9,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (0,, 0,,, 0, 9, 0,,, ) NO SI (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0,,,,, 9, ) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. (,)

6 iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) (,) x (0, 0,, 0,, 0,, 0,, 0, 0) (0, 0,, 0,, 0,, 0,, 0, 0) π (0, 9,,, 9, 9, 8) (0,,,,, 9, ) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ, 0, 0 Arco uscente (,) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 0 9 iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo nodo + nodo insieme Q,,,,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 8

7 cammino aumentante δ x v - - (0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) (,, 0,, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) (,, 0,,, 0,, 0, 0,, 0) (,,,,, 0,, 0,,, ) 0 Taglio di capacità minima: N s = {,,,,} N t = {,} Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 0 x +8 x 8 x + x 8 x +8 x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( ) sol. ottima del rilassamento = 8,0 b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v S (P) = sol. ammissibile = (,0) v I (P) = 0 c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x Esercizio 8. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a 8 metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti (ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori 8 9 Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = (,,,0,0,,0) v I (P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento =,0,, 9 ),0,,0 v S (P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria.

8 , P x = 0 x =, P,,9 P, x = 0 x =, P,, P, soluzione ottima = (,0,,0,,,0) valore ottimo = Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione f(x,x ) = x x sull insieme {x R : x +x 0, x x + 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale (, ) (,) NO NO SI SI NO (, ) (,) NO NO NO NO SI Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x x x x x P dove P è il poliedro di vertici (,), (, ), (,) e (,). Fare una iterazione del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto (,) ( ) possibile 0 (0,) (, 0) (, ) 0 0