Esame di Ricerca Operativa del 17/07/17. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:

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1 Esame di Ricerca Operativa del 7/07/7 (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x +x x + x x x x x x x +x 7 x x x 9 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, 7} y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,7} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Una ditta produce latte liquido e in polvere. Il latte liquido viene venduto in cartocci da l, ciascuno dei quali occupa un volume di 0.00 m. Il profitto ottenuto dalla vendita di l di latte è di.0 Euro. Il latte in polvere viene venduto in barattoli da,. e kg rispettivamente. Il costo che la ditta sostiene per la produzione di kg di latte in polvere è di Euro. La seguente tabella riporta i prezzi di vendita dei barattoli e i volumi occupati: Barattolo Prezzo (Euro) Volume occupato (m ) kg kg 0.00 kg 0.00 La ditta deve soddisfare la domanda di mercato stimata in 00 l di latte liquido e 00 kg di latte in polvere. Il latte prodotto sarà trasportato con un veicolo a temperatura controllata di capacità 8. m. Determinare quante unità dei diversi tipi di latte la ditta deve produrre per massimizzare il profitto e soddisfare le richieste di mercato. variabili decisionali: modello: COMANDI DI MATLAB

2 c= int= A= b= Aeq= lb= beq= ub= Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (9,) -7 (,) (9,) (,) (9,) (0,9) (,8) - (,9) (,7) (,8) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete

3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio 7. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x +8 x x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I (P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio: Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella:

4 città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x. Dire se l algoritmo é terminato. Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione f(x,x ) = x x sull insieme {x R : x (x ) + 0, x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale ( ), (0, 0) (0, ) Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x x + x +9 x x P e i vertici di P sono (,), (,), (0, ) e (, ). Fare un passo del metodo di Frank-Wolfe. Punto Funzione obiettivo Sol. ottima Direzione Passo Nuovo punto problema linearizzato problema linearizzato (, 7 )

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x +x x + x x x x x x x +x 7 x x x 9 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, ) SI NO {, 7} y = ( 0, 0, 0, ), 0, 0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante NO NO iterazione {, 7} (, 9) (0, 0,, 0, 0, 0, ) 7 0,, iterazione {, } (, 8) (0, 0,,, 0, 0, 0), Esercizio. Una ditta produce latte liquido e in polvere. Il latte liquido viene venduto in cartocci da l, ciascuno dei quali occupa un volume di 0.00 m. Il profitto ottenuto dalla vendita di l di latte è di.0 Euro. Il latte in polvere viene venduto in barattoli da,. e kg rispettivamente. Il costo che la ditta sostiene per la produzione di kg di latte in polvere è di Euro. La seguente tabella riporta i prezzi di vendita dei barattoli e i volumi occupati: Barattolo Prezzo (Euro) Volume occupato (m ) kg kg 0.00 kg 0.00 La ditta deve soddisfare la domanda di mercato stimata in 00 l di latte liquido e 00 kg di latte in polvere. Il latte prodotto sarà trasportato con un veicolo a temperatura controllata di capacità 8. m. Determinare quante unità dei diversi tipi di latte la ditta deve produrre per massimizzare il profitto e soddisfare le richieste di mercato (ignorare il vincolo di interezza). variabili decisionali: x = numero di cartocci di latte prodotti x = numero di barattoli di latte da kg x = numero di barattoli di latte da. kg x = numero di barattoli di latte da kg modello: max. x + x + x + x ( x +. x +x ) x 00 x +. x +x x x x x 8. x i 0, i =,,, c=[-.; -; -8.; -7] COMANDI DI MATLAB A=[ ; ] b=[-00; 8.] Aeq=[] lb=[00; 0; 0; 0] beq=[] ub=[] Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità).

6 - (9,) -7 (,) (9,) (,) (9,) (0,9) (,8) - (,9) (,7) (,8) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (, 7, 0, 0, 0,,, 9, 0, ) NO NO (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, 9, 9, 8,, 9) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x (0,, 0,,, 0,, 0, 0, ) (0,, 0,,, 0,, 0, 0, ) π (0,, 9,,, ) (0,, 9,,, 0) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ 7, 0, Arco uscente (,) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo nodo + insieme Q,,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete.

7 cammino aumentante δ x v (0, 9, 0, 0, 0, 9, 0, 0, 0, 0) (0, 9, 7, 0, 0, 9, 0, 0, 7, 0) (, 9, 7,, 0, 9, 0, 0,, 0) Taglio di capacità minima: N s = {,} N t = {,,,} Esercizio 7. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x +8 x x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( 7 sol. ottima del rilassamento =, 9 ) 0 b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v I (P) = sol. ammissibile = (,) v S (P) = 8 c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x +8x r = x +x Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P) = 7 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = 7 c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

8 7,7 P x = 0 x = 7,7 P, 7,7 P, x = 0 x = 8,7 P, 7,7 P, x = 0 x = 7,7 P,,7 P, Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione f(x,x ) = x x sull insieme {x R : x (x ) + 0, x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale ( ), (, 0) NO SI NO NO NO (0, 0) (,0 ) NO SI NO NO NO (0, ) ( ),0 NO NO NO NO SI Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x x + x +9 x x P dove P è il poliedro di vertici (,), (,), (0, ) e (, ). Fare una iterazione del metodo di Frank-Wolfe. Punto Funzione obiettivo Sol. ottima Direzione Passo Nuovo punto ( ) problema linearizzato problema linearizzato, 7 x ( ) +x (0,-), 9 (0, )