Esame di Ricerca Operativa del 03/07/18. Base x degenere y Indice Rapporti Indice entrante uscente

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1 Esame di Ricerca Operativa del 0/0/8 Cognome) Nome) Numero di Matricola) Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso duale per il problema min y + y + y + y + y +8 y y +y y y y y = 8 y y +y y + y + y = y 0 passo {,} passo Base x degenere y Indice Rapporti Indice entrante uscente Esercizio. Una cooperativa di taxi deve garantire il servizio / ore al giorno. Ogni taxi lavora 8 ore consecutive ogni ore. Il numero minimo di taxi in ogni fascia oraria é dato dalla seguente tabella: Fascia oraria Numero minimo Fascia oraria Numero minimo Formulare un modello che trovi il numero minimo di taxi necesssari ad espletare il servizio variabili decisionali: modello: COMANDI DI MATLAB c= intcon= A= b= Aeq= lb= beq= ub=

2 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti sulla seguente rete su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). -,9) - 9,) 0,),),),9) 8,0) 8,),) - 8,),0) iterazione iterazione Archi di T,),),),),),) Archi di U,) x degenere π degenere Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x x +0 x x + x 0 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo. sol. ottima del rilassamento = v S P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo. sol. ammissibile = v I P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

3 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 9 8 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 0 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =

4 Esercizio. Si consideri il problema di caricare un contenitore di volume pari a decimetri cubici, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori 8 8 Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo. sol. ottima del rilassamento = v S P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. Esercizio. Trovare massimi e minimi della funzione fx,x ) = x +x sull insieme {x R : x +x 0, x +0.)x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale Esercizio 8. Si consideri il seguente problema: { min x x x x 9 x + x x P e i vertici di P sono,),,0),,) e, ). Fare un passo del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto possibile, )

5 SOLUZIONI Esercizio. Base x y Indice Rapporti Indice entrante uscente iterazione {, }, 0) 0,, 0, 0, 0, ) iterazione {, } ) ) 8,, 0, 0, 0, 0, Esercizio. COMANDI DI MATLAB c=[ ] intcon=[ ],, 0 beq=[] Aeq=[] lb=[ ] b=[-;-8;-0;-;-;-] A=[-0000-;--0000;0--000;00--00;000--0;0000--] ub=[] Esercizio. iterazione iterazione Archi di T,),),),),),),),),),),),) Archi di U,),) x 0,,,,, 0,, 0,, 0, 0) 0,,,,, 0,, 0,, 0, 0) degenere SI SI π 0,,,, 9,, 9) 0,,,, 8,, 8) degenere NO NO Arco entrante,),) ϑ +, ϑ, 0, Arco uscente,),) Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x x +0 x x + x 0 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo. ) sol. ottima del rilassamento =,0 b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo. v S P) = sol. ammissibile =,0) v I P) = 8 c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x r = x + x 8 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete.

6 9 8 iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo + + nodo nodo nodo insieme Q,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkersoncon la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 0 cammino aumentante δ x v - - -, 0, 0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0) - - -,, 0,, 0,, 0, 0,, 0, 0) ,,,, 0,,, 0,,, 0) Taglio di capacità minima: N s = {,,,,,} N t = {} Esercizio. Si consideri il problema di caricare un contenitore di volume pari a decimetri cubici, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori 8 8 Volumi

7 a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = 0,0,0,,0,,) v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo. ) sol. ottima del rilassamento =,0,0,,0,, v S P) = 9 c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria.,9 P x = 0 x =, P,,9 P, x = 0 x = x = 0 x =,,,, P, P, P, P, soluzione ottima =,0,0,0,0,,) valore ottimo = Esercizio. Trovare massimi e minimi della funzione fx,x ) = x +x sull insieme {x R : x +x 0, x +0.)x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale, 0) 0,) NO NO SI SI NO ),0, 0) 0, ) 0, ),, ) ) ), ), NO NO NO NO SI NO NO NO NO SI NO NO NO NO SI, 0) SI SI NO NO NO, 0) SI SI NO NO NO Esercizio 8. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto ) possibile / /, ), ) / /, 0 ),) ) ),)