RICERCA OPERATIVA (a.a. 2016/17) Nome: Cognome: Matricola:

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1 Appello Straordinario 8// RICERCA OPERATIVA (a.a. /7) Nome: Cognome: Matricola: ) Si risolva il problema del flusso massimo dal nodo al nodo relativamente all istanza in figura, utilizzando l algoritmo di Edmonds&Karp. Ad ogni iterazione indicare il flusso x, il suo valore v, il cammino aumentante utilizzato e la sua capacità θ. Al termine si indichi il taglio di capacità minima determinato dall algoritmo, giustificando la risposta. Si discuta inoltre come cambierebbero le risposte fornite se l arco (, ) avesse capacità 7 anziché Le iterazioni sono mostrate in figura, dall alto in basso e da sinistra a destra. Il secondo numero sugli archi è il valore del flusso. Gli archi in neretto indicano il cammino aumentante selezionato. Nella figura corrispondente all ultima iterazione, la linea tratteggiata indica il taglio di capacità minima (pari al valore v del flusso) (N s,n t ) ({,,},{,,}) individuato dall algoritmo; infatti, l ultima visita a partire da s si ferma dopo aver visitato i nodi e. 7,,,,,, v θ,,,, 7,,, v θ,,,, 7,,, v θ 7,,, 8,7, 7,,, 7,7 v θ Se la capacità dell arco (, ) fosse stata pari a 7, tutte le iterazioni sarebbero rimaste le stesse tranne proprio l ultima, in cui la visita si sarebbe fermata dopo aver visitato il solo nodo. In questo caso l algoritmo avrebbe quindi individuato il taglio (N s,n t ) ({,},{,,,}), che avrebbe avuto anch esso capacità u(n s,n t ) v. Si noti che il taglio (N s,n t ) sarebbe rimasto anchésso un taglio di capacità minima, ma non quello determinato dall algoritmo.

2 Appello Straordinario 8// ) Si risolva il problema di flusso di costo minimo relativamente all istanza in figura utilizzando l algoritmo di cancellazione dei cicli a partire dal flusso indicato; i tre numeri su ogni arco (i,j) sono, nell ordine, c ij, u ij ed x ij. Per ogni iterazione si mostri la soluzione corrente col suo costo ed il ciclo individuato con il suo verso, costo e capacità (oppure si spieghi perché per l istanza in figura non è necessario indicarne la capacità). Al termine si dimostri che la soluzione è ottima. - -,,,,,,,,,,,,,, - Non è necessario indicare la capacità del ciclo perché il problema è equivalente ad un assegnamento di costo minimo: tutti gli archi hanno capacità, quindi l algoritmo costruirà solamente soluzioni in cui il flusso su ogni arco è zero oppure uno e ciascun ciclo aumentante selezionato avrà capacità pari a. L algoritmo esegue due iterazioni, rappresentate nelle due figure in alto, determinando il flusso mostrato nella figura in basso a sinistra. La figura in basso a destra mostra il corrispondente grafo residuo ed un suo albero dei cammini minimi (archi in neretto) con insieme di radici N, con le relative etichette che soddisfano le condizioni di Bellman: questo dimostra che non esistono cicli (alternanti) aumentanti di costo negativo, e quindi che il flusso (accoppiamento) è ottimo. cx, c(c) - cx, c(c) cx

3 Appello Straordinario 8// ) Si risolva geometricamente, per mezzo dell algoritmo del Simplesso Primale, il problema di PL in figura a partire dalla base B {,}; si noti che c è collineare ad A e perpendicolare ad A, mentre A ed A sono collineari. Per ogni iterazione si forniscano la base, la soluzione primale di base x e la direzione di spostamento ξ (riportandoli direttamente sulla figura), il segno delle variabili duali in base, e gli indici uscente ed entrante, giustificando le risposte. Al termine, se il problema ammette ottimo finito, si discuta l unicità della soluzione ottima sia del primale che del duale. A x ξ A c A ξ x x x it. ) B {,}. y < e y < poiché c appartiene al cono generato da A e A, come mostrato in a): quindi, h per la regola anticiclo di Bland. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in corrispondenza del vincolo : quindi, k. it. ) B {,}, y < e y > poiché c appartiene (è interno) al cono generato da A ed A, come mostrato in b); quindi, h. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in corrispondenza del vincolo : quindi k. it. ) B {,}, y > e y < poiché c è interno al cono generato da A e A, come mostrato in c); quindi, h. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in corrispondenza al vincolo : quindi k. it. ) B {,}, y e y > poiché c è collineare ad A, come mostrato in d). La base è quindi sia primale che duale ammissibile, e l algoritmo termina avendo determinato una soluzione ottima per entrambi i problemi. ξ A A a) b) c) -A c A c A A c A d) c A A A -A A -A -A Per discutere l unicità delle soluzioni consideriamo la degenerazione della base ottima ed utilizziamo il teorema degli scarti complementari. Poiché la base è duale degenere (y anche se B), la soluzione ottima del primale può essere non unica. È facile vedere che in effetti questo è il caso: tutti i punti della faccetta del poliedro corrispondente al vincolo A (il segmento di cui x è un estremo) sono soluzioni primali ottime, avendo tutti lo stesso valore della funzione obiettivo di x (c è collineare ad A ). Per discutere l unicità della soluzione duale possiamo adesso selezionare adeguatamente una soluzione ottima del primale, in particolare una qualsiasi all interno della faccia ottima. In tale soluzione, l unico vincolo attivo è A ; pertanto, per il teorema degli scarti complementari in ciascuna soluzione ottima del duale deve risultare y i per ogni i. È quindi immediato verificare che la soluzione duale di base determinata dall algoritmo è l unica soluzione ottima del duale.

4 Appello Straordinario 8// ) Si risolva il problema di PL dato applicando l algoritmo del Simplesso Duale, per via algebrica, a partire dalla base B {,}. Per ogni iterazione si indichino: la base, la matrice di base e la sua inversa, la coppia di soluzioni di base, l indice entrante k, il vettore η B, il passo θ e l indice uscente h, giustificando le risposte. In caso di ottimo finito, si discuta se la soluzione ottima duale individuata sia unica, giustificando la risposta. it. ) B {,}: A B it. ) B {,}: A B A N x [, A B [ ȳ B ca B [ [ A N x [, x A B b B max x + x x + x x x x x x + x [ [, [, ȳ N, ȳ [, [ b N, k min{ i N : A i x > b i } min{, } [regola anticiclo di Bland, η B A k A B [ [ [, θ min{ ȳ i /η i : i B, η i > }, h min{ i B : η i >, θ ȳi /η i } it. ) B {,}: A B [, A B [ ȳ B [ [ [ [ 8 η B [ [ [, x [ [, [, ȳ [, b N, k min{, } [regola anticiclo di Bland [, θ, h, A B [ ȳ B [ [ A N x [, x [ [, [, ȳ [, [ b N, STOP. B {,} è una base ottima: x [, è una soluzione ottima per il problema primale, mentre ȳ [,,,, è una soluzione ottima per il problema duale. Per discutere se ȳ sia oppure no unica, notiamo che la soluzione ottima primale x è degenere: infatti, I( x) {,, }. Utilizzando il teorema degli scarti complementari possiamo quindi affermare che tutte le soluzioni ottime del duale devono soddisfare y + y + y y y y, y, y Ponendo y α otteniamo quindi che possono essere ottime solamente le soluzioni nella forma [+α,α,,+α,. Tali soluzioni sono in effetti ammissibili per qualsiasi α, e pertanto il duale ha infinite soluzioni ottime.

5 Appello Straordinario 8// ) Il reparto AI di Snoogle (AIS), il principale motore di ricerca mondiale, ha deciso di mostrare al mondo le meraviglie dei propri sistemi deep learning facendo in modo che diventino imbattibili al famoso gioco strategico a turni in tempo reale (RTS) WarmCraft. Poiché però la rete neurale non riesce a giocare bene, AIS ha deciso di aiutarla un po attraverso modelli di ottimizzazione. Nell ultimo e più difficile stadio del gioco, in ciascuna di n posizioni date sul terreno di gioco può essere costruito un insediamento: o un fortino, che costa f Unità di Risorse (UR), oppure una miniera, che costa m UR. Per ognuna delle posizioni i,...,n è possibile stimare il rendimento per turno, in oro, o i se vi viene costruita una miniera. Per garantire la sicurezza delle miniere dagli attacchi nemici, però, è necessario che ciascuna miniera si trovi vicino ad almeno un fortino. Per ciascuna posizione i si conosce l insieme A(i) delle posizioni j tali che un fortino costruito in j può proteggere una miniera costruita in i. Si aiuti la AIS ad ottenere una buona pubblicià per i propri sistemi deep learning formulando come PLI il problema di decidere se e cosa costruire in ciascuna posizione, sapendo che sono a disposizione in totale U UR e rispettando il vincolo sulla sicurezza delle miniere, in modo da massimizzare il rendimento complessivo delle miniere. Introduciamo n variabili binarie: x i indica che nella posizione i viene costruito un fortino e y i indica che nella posizione i viene costruita una miniera, i,...,n. Una formulazione del problema è: max n i o iy i x i +y i i,...,n () f n i x i +m n i y i U () (i,j) A x j y i i,...,n () x i {,} i,...,n () y i {,} i,...,n () La funzione obiettivo () del problema massimizza il guadagno delle miniere costruite. I vincoli () garantiscono che non vengano costruite due installazioni diverse nella stessa posizione, mentre () è il vincolo di budget che garantisce che ci siano UR sufficienti per la decisione adottata. Il vincolo sulla sicurezza è implementato da (), che richiede che se nella posizione i viene costruita una miniera allora venga costruito anche un fortino in almeno una delle posizioni j abbastanza vicine ad i. Infine, () e () sono i necessari vincoli di integralità (e limiti superiore ed inferiore) su ogni variabile. ()

6 Appello Straordinario 8// ) Si applichi alla seguente istanza del problema dello zaino max 9x + 7x + x + x + x x + x + x + x + x x, x, x, x, x {,} l algoritmo Branch&Bound che usa il rilassamento continuo per determinare la valutazione superiore, l euristica Greedy CUD per determinare la valutazione inferiore, esegue il branching sulla variabile frazionaria, visita depth-first l albero di enumerazione e, tra i figli di uno stesso nodo, visita per primo quello corrispondente a fissare la variabile a. Per ogni nodo dell albero si riportino le soluzioni ottenute dal rilassamento e dall euristica (se vengono eseguiti) con le corrispondenti valutazioni superiore ed inferiore; si indichi poi se viene effettuato branching, e come, o se il nodo viene chiuso e perché. Si esaminino solamente i primi tre livelli (compresa la radice) dell albero di ricerca, ossia si fissino al più due variabili in ciascun sottoproblema; al termine si dica se il problema è stato risolto, oppure quali sono la miglior valutazione superiore ed inferiore disponibili al momento in cui l esplorazione è stata interrotta. Indichiamo con x la soluzione ottenuta dal rilassamento e con x quella ottenuta dall euristica. Indichiamo inoltre con z la valutazione superiore ottenuta ad ogni nodo (ossia z cx ), con z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo (ossia z c x) e con z la migliore delle valutazioni inferiori determinate. Le variabili sono già ordinate CUD (Costo Unitario Decrescente). Nodo radice x [,/,,,, z + /, x [,,,,, z. Poiché z > z, si pone z z. Siccome però z +/ > z, si esegue branching sulla variabile frazionaria x. x x [/,,,,, z +/, x [,,,,, c x. Poiché z > z, si pone z z. Nonostante questo z +/ > z: pertanto si esegue branching sulla variabile frazionaria x. x x Il rilassamento continuo del problema corrispondente non ha soluzioni ammissibili: la capacità residua dello zaino è. Il nodo viene chiuso per inammissibilità ( z z ). x,x x [,,,,, z. Poiché la soluzione ottima del rilassamento continuo è intera, il nodo viene chiuso per ottimalità. Sarebbe stato comunque chiuso dalla valutazione superiore in quanto z z. x x [,,/,,, z +/, x [,,,,, z. Poiché z < z, z non cambia. Siccome z +/ > z, si esegue branching sulla variabile frazionaria x. x,x x [/,,,,, z + /, x [,,,,, z 9. Poiché z 9 < z, z non cambia. Siccome z +/ > z, si esegue branching sulla variabile frazionaria x. x x x [,,,,, z. Poiché la soluzione ottima del rilassamento continuo è intera, il nodo viene chiuso per ottimalità. Sarebbe stato comunque chiuso dalla valutazione superiore in quanto z z. Poiché il massimo numero di livelli dell albero è stato raggiunto, l algoritmo viene interrotto anche se Q non è vuota. L analisidell algoritmob&bassicurache la valutazionesuperioreglobale èpari amax{ z, max { z(p ) : P Q } }, dove Q è l insieme dei predecessori immediati dei nodi in Q. In questo caso Q contiene il solo nodo x,x : pertanto z +/, e siccome z il gap relativo a terminazione è (+/ )/ / %. In effetti con semplici argomentazioni è facile dimostrare che il valore z è ottimo per il problema, e che quindi l algoritmo ha determinato la soluzione ottima, ma l algoritmo è stato interrotto prima di aver ottenuto una certificazione di ottimalità.