COMPITO DI RICERCA OPERATIVA. max 8 5x 1 3x 2 x 3 = 1 + 4x 1 + x 2 x 4 = 1 x 1 + x 2 x 5 = 5 x 1 x 2

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1 COMPITO DI RICERCA OPERATIVA ESERCIZIO. (5 punti) Dato un problema di PL, la sua riformulazione rispetto alla base B = {x 3, x, x 5 } é la seguente: max 8 5x 3x x 3 = + x + x x = x + x x 5 = 5 x x Solo osservando tale riformulazione, dire se sono vere o false le seguenti affermazioni (MOTI- VARE LA RISPOSTA) () la base B é ammissibile per il primale; () dalla riformulazione possiamo concludere che il primale ha regione ammissibile vuota; (3) la base B é ammissibile per il duale; () dalla riformulazione possiamo concludere che il primale ha valore ottimo pari a 8; (5) dalla riformulazione possiamo concludere che il duale ha valore ottimo pari a 8. ESERCIZIO. (5 punti) Sia dato il seguente problema di PL: max x x x + x 3 = x x + x = x x + x 5 = 5 Se ne determini il valore ottimo e tutte le soluzioni ottime. ESERCIZIO 3. ( punti) Il duale di un problema di PL in forma standard é il seguente e ha soluzione ottima min 3u u u + u u u u + u u u 3 u = u =. Si scriva il primale e, utilizzando le condizioni di complementaritá, si ricavi la sua soluzione ottima. ESERCIZIO. (3 punti) Il problema di PL max x + x x x + x 3 = 3 x + x + x = x + x + x 5 = 6

2 COMPITO DI RICERCA OPERATIVA ha la seguente riformulazione rispetto alla base ottima B = {x, x, x }: max x 3 3 x 5 x = 9 x 3 x 5 x = 7 x 3 x = 3 + x 3 x 5 In quale intervallo posso far variare la modifica b del termine noto del primo vincolo senza che cambi la base ottima? ESERCIZIO 5. (5 punti) Sia dato il seguente problema di PLI: max x x x + x 7 x + x x, x 0 x, x I Dopo averlo trasformato in forma standard (con le dovute cautele trattandosi di un problema di PLI), lo si risolva con l algoritmo branch-and-bound. ESERCIZIO 6. ( punti) Sia data la rete con i seguenti valori b i, i =,..., : b = b = 0 b 3 = b = 0 e i seguenti costi unitari di trasporto lungo gli archi: c = 3 c 3 = 5 c = c 3 = 5. Si dimostri, utilizzando il metodo due fasi per i problemi di flusso a costo minimo, che questo problema ha regione ammissibile vuota. ESERCIZIO 7. ( punti) Si enunci il Teorema Fondamentale della Programmazione Lineare e si spieghi come questo viene sfruttato nella definizione di algoritmi di risoluzione per i problemi di PL. ESERCIZIO 8. ( punti) Sia dato un problema di PLI, indicato con P, con regione ammissibile Z a e sia P il suo rilassamento lineare con regione ammissibile S a. Per ciascuna delle seguenti affermazioni dire se é vera o falsa (MOTIVARE LA RISPOSTA): () se S a é un poliedro limitato e ha vertici a coordinate tutte intere, allora il valore ottimo di P é strettamente minore del valore ottimo di P ; () almeno un vertice di S a é a coordinate tutte intere; (3) un taglio valido per il problema P esclude sempre tutte le soluzioni ottime di P ; () se S a é un poliedro limitato, allora Z a contiene un numero finito di punti.

3 COMPITO DI RICERCA OPERATIVA 3 Soluzioni. Dalla riformulazione presentata si può dedurre quanto segue. () FALSO, in quanto x < 0 nella base B. () FALSO. Dalla riformulazione si può ricavare, ad esempio ponendo x =, la soluzione x = 0, x =, x 3 =, x = 0, x 5 =, che non è di base ma è ammissibile, e quindi S a. (3) VERO. γ, γ 5 0, e questo corrisponde ad avere ammissibilità duale. () FALSO; avendo ammissibilità duale ma non primale si può solo concludere z 8. (5) FALSO, altrimenti si concluderebbe z = 8, in contraddizione con il punto ().. Il problema dato è già in forma standard. Applicando il metodo del simplesso si ottiene quanto segue. max z = 0 +x x x 3 = +x x = x +x x 5 = 5 x +x x,..., x 5 0 max z = x +x x 3 = 3 x +x x = x +x x 5 = +x x x,..., x 5 0 max z = 5 x 5 x 3 = +x x 5 x = 3 +x x 5 x = +x x 5 x,..., x 5 0 Le soluzioni ottime si trovano lungo la semiretta (x = 3+t, x = +t, x 3 = +t, x = t, x 5 = 0). 3. Il primale è il duale del duale, quindi esso è max x + x x 3 3x soggetto a x + x x 3 x = 3 x x + x 3 x = x,..., x 0. Avendo l ottimo duale u =, u =, le condizioni di complementarietà permettono di ricavare u + u = 3 > = x = 0, u u =, u + u = > = x 3 = 0, u u = 3. L ottimo primale deve soddisfare le condizioni x x = 3 x x = e quindi l ottimo è x = 0, x =, x 3 = 0, x = 7, con z = x 3x = 0 = 3u u.

4 COMPITO DI RICERCA OPERATIVA. Dalla riformulazione ottima presentata si ricava A B = e quindi, applicando le tecniche note, le condizioni di ammissibilità b 9 b 7 b 3 5. Il problema in forma standard è soggetto a max x x x + x + x 3 = 7 x + x + x = x, x, x 3, x 0, interi. = 7 b 3. La riformulazione ottima per il rilassamento lineare è la seguente. max z = 7 x x 3 x = 7 x x 3 x = +x + x 3 x,..., x 0 Effettuando un branch sulla variabile x si ottengono due nodi. Nodo. x 3 = x x 3 + y =, y 0; Nodo. x = x x 3 y =, y 0. Il nodo è chiaramente privo di soluzioni ammissibili. Calcolando il rilassamento lineare al nodo si ottiene max z = 7 x x 3 x = 7 x x 3 x = +x + x 3 = y = +x + x 3 x,..., x, y 0 max z = 3 y x x = 3 y x = +y x x 3 = +y x x,..., x, y 0 La soluzione ottima è quindi x = 0, x = 3, x 3 =, x =, con valore z = Il problema di prima fase corrisponde al seguente grafo, con c q = c q3 =, c = c 3 = c = c 3 = 0. q

5 COMPITO DI RICERCA OPERATIVA 5 Scegliendo la base iniziale B 0 = {(, q), (q, 3), (3, ), (, 3)} con x q = x q3 =, x 3 = x 3 = 0 si ottengono costi ridotti c = c =, che certificano l ottimalità della base. q Si ha però z = > 0, quindi il problema originale è privo di soluzioni ammissibili. 7. Per l enunciato completo si faccia riferimento agli appunti. L importanza del Teorema Fondamentale della PL, risiede nel fatto che esso garantisce che se S ott, esso contiene almeno una soluzione di base; quindi, senza perdita di ottimalità, la ricerca di una soluzione ottima può limitarsi all insieme finito delle sole soluzioni di base ammissibili(=vertici di S a ) di un problema di PL. Senza questo risultato non sarebbe possibile neanche stabilire la correttezza dell algoritmo del simplesso. 8. Si può dire quanto segue. () FALSO. Con le premesse date, il Teorema Fondamentale della PL garantisce che un ottimo di P si trovi su un vertice di S a, che per ipotesi ha coordinate intere. Allora chiaramente i valori ottimi per P e P coincidono. () FALSO. Si può dare facilmente un controesempio con S a = {x, x 0: x 3, x 3}, Z a = {(, )}. (3) FALSO. Per definizione, ne esclude almeno una. () VERO, essendo Z a discreto e limitato in quanto sottoinsieme di S a.