5.3 Metodo dei piani di taglio

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1 5.3 Metodo dei piani di taglio (PLI) min s.v. c T x Ax b x interi X Ipotesi: a ij, c j e b i interi Osservazione: La regione ammissibile di un PLI può essere descritta mediante dei vincoli più o meno stringenti E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

2 Formulazioni equivalenti x * PL formulazioni Formulazioni tutte equivalenti con i vincoli di interezza ma i rilassamenti continui, x * PL e z * PL possono essere molto diversi. Formulazione ideale : solo vertici a coordinate intere e quindi z * PL = z* PLI -- basterebbe PL! Guscio convesso conv(x ) = più piccolo insieme convesso regione ammissibile X E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 2

3 limitata o illimitata Proprietà: Per qualsiasi regione ammissibile X di un PLI, una formulazione ideale (descrizione di conv(x ) in termini di un # finito di vincoli lineari) ma può contenere un numero elevatissimo esponenziale di vincoli. La risoluzione di un qualsiasi PLI si può (teoricamente) ricondurre a quella di un solo problema di PL! Ma la formulazione ideale è spesso di dimensione esponenziale e/o molto difficile da determinare E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 3

4 Metodi dei piani di taglio Non è necessaria la descrizione completa di conv(x ), basta nelle vicinanze di una soluzione ottima Idea: Data una formulazione iniziale, aggiungere iterativamente nuovi vincoli finché il rilassamento continuo non fornisce una soluzione ottima intera x * PL Def.: Un taglio è un vincolo non soddisfatto da x * PL ma soddisfatto da tutte le sol. ammissibili (intere) del PLI. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 4

5 Tagli di Gomory Sia x * PL sol. ottima del rilassamento continuo della formulazione corrente min{c T x : Ax = b, x } e x * B[r] una variabile di base frazionaria. La riga corrispondente del tableau ottimo: x B[ r] + j: x j a x = rj j fuori base b r (*) frazionario taglio di Gomory: (a rj - a rj ) x j (b r - b r ) j:x j fuori base E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 5

6 Verifichiamo che la disuguaglianza (a rj - a rj ) x j (b r - b r ) j:x j fuori base è un taglio rispetto a x * PL Elimina sol. ottima frazionaria x * PL del rilassamento continuo Chiaro poiché (b r b r ) > e x j = j t.c.x j fuori base E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 6

7 Non elimina nessuna sol. ammissibile intera Per ogni sol. ammissibile del rilassamento continuo x B[r] + a rj x j x B[r] + a rj x j = b r j F j F e, in particolare, per ogni sol. ammissibile intera x j x B[r] + a rj x j b r (**) j F x j interi Sottraendo (**) da (*) si ottiene che per tutte le sol. ammissibili intere: (a rj - a rj ) x j (b r - b r ) j F E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 7

8 La forma intera e la forma frazionaria x B[r] + a rj x j b r j F (a rj - a rj ) x j (b r - b r ) j F del taglio sono chiaramente equivalenti. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 8

9 Esempio: Tableau ottimo: max z = 8x + 5 x + 6 9x x, interi x s s 2 -z x variabili di scarto sol. di base ottima x * B = è frazionaria E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 9

10 Scegliere un vincolo del tableau in cui la variabile di base è frazionaria: x.25 s +.25 s 2 = 3.75 Taglio di Gomory corrispondente:.75 s +.25 s 2.75 NB: Parte intera e frazionaria di un numero a a = a + f con f < quindi -.25 = e.25 = +.25 E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

11 Introducendo la variabile di scarto s 3 si aggiunge il taglio al tableau: s s 2 s 3 -z x s 3 x -.75s.25s Il nuovo vincolo taglia la sol. ottima frazionaria del rilassamento continuo del PLI Si utilizza l algoritmo del simplesso duale E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

12 -z s s s x s -4 x sol. ammissibile per primale e anche intera Poiché il rilassamento continuo della nuova formulazione ha una sol. ottima intera x * =[5,,,, ] T con z * = 4, x * è ottima anche per il PLI e non bisogna generare altri tagli di Gomory. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 2

13 Il taglio di Gomory.75 s +.25 s 2.75 si può esprimere in funzione delle variabili di decisione mediante sostituzione: s = 6 -x - s 2 = 45-9x - 5 3x E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 3

14 x + 5 = 5 3x taglio di Gomory sol. ottima rilassamento continuo sol. ottima PLI z * PLI = 4 x + = x In questo caso: vincoli originali + taglio formulazione ideale! E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 4

15 Algoritmo dei tagli di Gomory BEGIN Risolvere il rilassamento cont. min{c T x : Ax b, x } e sia x* una soluzione di base ammissibile ottima; WHILE x * non intero DO scegliere una variabile di base con valore frazionario; generare il taglio di Gomory corrispondente; aggiungere il vincolo al tableau continuo; effettuare un iterazione algoritmo del simplesso duale; END-WHILE END Se il PLI ammette una sol. ottima, il metodo dei piani di taglio ne individua una dopo aver inserito un # finito di tagli di Gomory. ma spesso elevatissimo E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 5

16 Esistono altri tipi di tagli generici (diversi da quelli di Gomory) e numerose classi di tagli per problemi specifici I tagli più profondi sono le facce di conv(x)! Studiando la struttura combinatoria di vari problemi (ad es. TSP, set covering, set packing, ) sono state caratterizzate intere classi di facce. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 6

17 La tecnica mista di Branch and Cut tenta di superare i limiti rispettivi dei metodi di B&B e dei piani di taglio: Ad ogni nodo (sottoproblema) del B&B si generano alcuni tagli per tentare di trovare una soluzione intera o migliorare il bound. Quando i nuovi tagli diventano poco efficaci si effettua il branching. Vantaggi: I tagli tendono a rafforzare le formulazioni dei vari sottoproblemi; le lunghe serie di tagli senza significativo rafforzamento possono essere contrastate con operazioni di branching. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 7

18 Esempio: (PLI) min - 3x x +2 x, interi Applicando l algoritmo del simplesso primale al rilassamento contino si ottiene: x x 3 x 4 -z - x x 4 x 3 = 6 3x 2 x 4 = 3x 2 E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 8

19 -z x /2 -/2 x -3/2 x 3 x 4 ½ -z x 3/2 3/2 x x 3 ¼ /6 ¼ x 4 ¼ -/6 ¼ La soluzione ottima x * =[, 3/2,, ] T ha valore z * PL = -3/2 (vertice A). Generare il taglio di Gomory associato alla 2a riga: + ¼ x 3 + ¼ x 4 = 3/2 + x 3 + x 4 3/2 ovvero il vincolo (taglio ). Aggiungendo alla forma frazionaria ¼ x 3 + ¼ x 4 ½ la variabile di surplus x 5 si ottiene: - ¼ x 3 ¼ x 4 + x 5 = -½. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 9

20 3-3x B A C 2 x A = (, 3/2) 3x B = (2/3, ) C = (, ) 2 3 x Rappresentazione grafica E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 2

21 Aggiungendo la riga corrispondente al tableau: -z x 3 ¼ x 4 ¼ x 5 x /6 -/6 3/2 ¼ ¼ -/2 -/4 -/4 x 5 3/2 x x 5 = -/2 + ¼ x 3 + ¼ x 4 = -/2 + ¼ (6 3x 2 ) ¼(3x 2 ) = Per rappresentare i tagli ottenuti nello spazio delle sole variabili originali si procede per sostituzione: la nuova variabile di surplus x 5 è espressa in funzione solo di x e. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 2

22 Applicando il simplesso duale si ottiene il nuovo tableau ottimo: -z x 3 x 4 x 5 x 2/3 -/3 2/3 2-4 x 3 x La soluzione ottima x * = [2/3,, 2,, ] T è ancora frazionaria (vertice B). La forma intera del taglio di Gomory associato alla riga è x x 4 2/3 = che sostituendo x 4 = 3x 2 equivale a -2x + 2 (taglio 2). E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 22

23 Poiché la forma frazionaria del taglio è 2/3x 4 + 2/3x 5 2/3, basta aggiungere la variabile di surplus x 6 e inserire la riga corrispondente nel tableau orlato : -z x 5 x 2/3 -/3 2/3 x 3 x 4 x /3-2/3-2/3 x 6 x x 6 x 6 = -2/3 + 2/3x 4 + 2/3x 5 = -2/3(3 x 2 ) + 2/3( ) = 2x 2 E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 23

24 Applicando il simplesso duale si ottiene il tableau ottimo: x 3 x 5 -z x -/2 x 3-5 3/2-3/2 x 4 x La sol. ottima del rilassamento continuo x * = [,,,,, ] T corrisponde al vertice ammissibile C. NB: La formulazione non è ideale (il polìtopo ha ancora un vertice frazionario), conv(x ) richiederebbe anche il vincolo x + 2 che pero non è indispensabile per questa funzione obiettivo. x 4 E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 24 x 6