Programmazione Lineare Intera (PLI)

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1 PLI.1 Programmazione Lineare Intera (PLI) z P LI = min c T x Ax b x 0 x intero vincoli di interezza non lineari: es. sin(πx) = 0 Rimuovendo il vincolo di interezza PL (rilassamento continuo di PLI), tale che z P L z P LI (lower bound per z P LI ) Dim. si cerca il minimo in un insieme più grande. x P LI (ottimo di PLI) x P L (ottimo di PL) 2 x P L (arrotondamento di x P L ) P = {x 0 : Ax b} X = {x P : x intero} Se la soluzione ottima x P L di PL è ammissibile per PLI allora ne è la soluzione ottima Dim. z P L z P LI ; x P L ammissibile per PLI z P L = c T x P L z P LI

2 PLI.2 Se la soluzione ottima x di PL è ammissibile per PLI allora ne è la soluzione ottima Dim. z P L z P LI ; x ammissibile per PLI z P L = c T x z P LI Algoritmo ingenuo per PLI: begin determina col simplesso la soluzione ottima x del PL corrispondente al PLI; if PL impossibile then PLI impossibile else if PL illimitato then PLI illimitato (salvo casi particolari) else if x è intero then x = soluzione ottima di PLI else arrotonda ogni x j frazionario all intero più prossimo end. Caso A, soluzioni utili problemi in cui i valori delle variabili nella soluzione ottima sono molto elevati. Es. pezzi da produrre (elevata quantità): PL PLI (arrotondamento) x 1 = x 2 = x 3 = Poche differenze sia dal punto di vista pratico che per il valore della funzione obiettivo

3 PLI.3 Caso B, soluzioni inutili Problemi in cui i valori delle variabili decisionali all ottimo sono molto piccoli numero di edifici da realizzare numero di veicoli da assegnare ad un servizio opportunità di una scelta (variabili booleane)... soluzione intera e continua possono essere molto lontane : x 2 2 ottimo PLI ottimo PL x 1 Caso C, soluzioni non ammissibili 2 ottimo PL ottimo PLI Nessuno dei quattro punti interi più vicini all ottimo della PL è ammissibile per il problema di PLI

4 PLI.4 Formulazioni dei problemi PLI dato un problema PLI esistono molte formulazioni equivalenti z P LI = min{c T x : x X} = min{c T x : Ax b, x 0, x intero} i corrispondenti rilassamenti continui non sono però equivalenti x 2 x P L (ottimo di PL) x P LI (ottimo di PLI) x 1 Esiste una formulazione ideale di PLI? Dato un insieme S R n, si dice convex hull (guscio convesso) di S il più piccolo insieme convesso conv(s) che contiene S conv(x) è un politopo P i cui vertici sono tutti punti interi Ã, b tali che P = {x R n : Ãx b, x 0} = conv(x) min{c T x : x X} = min{c T x : Ãx b, x 0} PLI può essere risolto con l algoritmo del simplesso Purtroppo deteminare conv(x) è spesso molto difficile ed il sistema Ãx b ha generalmente un numero molto grande di vincoli Esistono casi in cui una formulazione (semplice) di PLI coincide con la formulazione ideale?

5 PLI.5 Metodi di Soluzione Esatti Programmazione Dinamica Branch and Bound Cutting Planes Branch and Cut Approssimati Senza garanzia ɛ-approssimati + Deterministici Casualizzati ricerca di ottimi locali Deterministica Casualizzata

6 PLI.6 Problema dello zaino (Knapsack) un contenitore con capacità W n oggetti, w j > 0 peso oggetto j, (j = 1,..., n), p j > 0 profitto oggetto j, (j = 1,..., n) W < n w j, w j W (j = 1,..., n) Determinare un sottoinsieme di oggetti S tale che il loro peso complessivo non superi la capacità del contenitore e che il loro profitto totale sia massimo s.t. max z = p j j S w j j S W Modello PLI x j := 1 se oggetto j inserito nel cont. 0 altrimenti (j = 1,..., n) (KP 01) s.t. max z = n n p j x j (1) w j x j W (2) x j {0, 1} j = 1,..., n (3) (3) può essere sostituito da 0 x j 1 j = 1,..., n (4) x j intera j = 1,..., n (5)

7 PLI.7 Varianti di (KP-01) 1) KP-01 con vincolo di uguaglianza: (2) diventa n 2) KP-01 con funzione obiettivo di minimo w j x j = W ((KP min)) s.t. min z = n n c j x j (6) w j x j B (7) x j {0, 1} j = 1,..., n (8) KP-min si può trasformare in KP-01: y j = 1 x j j = 1,..., n min z = min n c j (1 y j ) = min( n c j n c j y j ) = C max n c j y j ossia s.t. s.t. n n w j (1 y j ) B w j y j n w j B x j {0, 1} j = 1,..., n 3) Multiple-Choice KP: N = {1,..., n} = N 1 N 2... N k non più di un oggetto per sottoinsieme a KP-01 si aggiunge il vincolo j N l x j 1 l = 1,..., k

8 PLI.8 4) KP-bounded: dell oggetto j si possono utilizzare al più l j 1 esemplari (j = 1,..., n) (KP b) s.t. max z = n n p j x j w j x j W 0 x j l j j = 1,..., n x j intera j = 1,..., n 5) KP-unbounded: di ogni oggetto j si possono utilizzare un n. qualsiasi di esemplari KP-b con l j = +, (in realtà l j W w j j = 1,..., n) 6) Subset-Sum Problem: p j = w j (j = 1,..., n) (SSP) s.t. max z = n n w j x j w j x j W x j {0, 1} j = 1,..., n 7) Change-Making Problem: problema del cambiavalute s.t. (CMP) min z = n n x j w j x j = W 0 x j l j intera j = 1,..., n

9 PLI.9 8) Multi-Dimensional KP Il contenitore ha capacità W in peso e V in volume ogni oggetto ha peso w j e volume v j (j = 1,..., n) (MDKP) s.t. max z = n n n p j x j w j x j v j x j W V x j {0, 1} j = 1,..., n in generale: k dimensioni, W i, w ij s.t. n w ij x j W i i = 1,..., k x j {0, 1} j = 1,..., n 9) Multiple KP m contenitori, ciascuno con capacità W i (i = 1,..., m) S i N sottoinsieme di oggetti nel contenitore i s.t. max z = m p j i=1 j S i w j j S i W i i = 1,... m S i S h = i, h = 1,... m, i h

10 PLI.10 Modello PLI y j := 0 oggetto j non utilizzato q se oggetto j inserito nel cont. q (j = 1,..., n) max z = n p j y j NO!!! gli oggetti nel contenitore 2 si pesano 2 volte...! x ij := 1 se oggetto j ins. nel cont. i 0 altrimenti (i = 1,..., m; j = 1,..., n) (MKP) s.t. max z = m n i=1 n m p j x ij w j x ij W i i = 1,..., m i=1 x ij 1 j = 1,..., n x ij {0, 1} i = 1,..., m; j = 1,..., n Condizioni sui dati di ingresso n w j > max{w i, i = 1,..., m} w j max{w i, i = 1,..., m} (j = 1,..., n) min{w i, i = 1,..., m} min{w j, j = 1,..., n}

11 PLI.11 Problema dell Assegnamento (AP) Data una matrice quadrata c di dimensione n, determinare una permutazione f i, con i N = {1, 2,..., n}, che minimizzi il costo dell assegnamento i f i min z = n c i,fi i=1 f i := colonna assegnata alla riga i (i N) le permutazioni possibili sono n! Esempio : Assegnazione di lavori a macchine n lavori (righe), n macchine (colonne); c i,j costo esecuzione lavoro i su macchina j; si cerca l assegnamento che minimizza il costo n = costo =

12 PLI.12 Formulazione PLI di AP x ij := 1 se la colonna j è assegnata alla riga i 0 altrimenti con i vincoli (AP ) min z = n n i=1 c ij x ij (9) n n i=1 x ij = 1 i = 1,..., n (10) x ij = 1 j = 1,..., n (11) x ij {0, 1} i, j = 1,..., n (12) matrice dei coefficienti Totalmente Unimodulare la soluzione del rilassamento continuo è sempre intera AP si può risolvere con PL (anche se è PLI) esistono algoritmi più efficienti (è polinomiale)

13 PLI.13 Fixed Charge n prodotti che potrebbero essere realizzati k j costo fisso (charge) di inizio j-esima produzione c j costo unitario prodotto j-esimo ulteriori vincoli lineari di produzione: Ax b Problema: quali e quanti prodotti si devono realizzare (rispettando i vincoli Ax b) per minimizzare i costi? Modello matematico x j = quantità del j-esimo prodotto funzione obiettivo (j-esimo prodotto): f(x j ) = k j + c j x j se x j > 0 0 se x j = 0 f(x j ) k j x j Funzione obiettivo non lineare!

14 PLI.14 y j = 1 se x j > 0 0 altrimenti Le varabili y j sono definite da una condizone logica implemento la condizione logica con vincoli: M costante positiva grande y j {0, 1} x j My j, j = 1,..., n I due vincoli equivalgono alle condizioni: se x j > 0 allora y j = 1 se x j = 0 allora y j {0, 1} Se la funzione obiettivo minimizza il valore delle y j allora nella soluzione ottima: se x j = 0 allora y j = 0 min n c j x j + n k j y j Ax 0 x j My j, j = 1,..., n y j {0, 1} x j 0, j = 1,..., m

15 PLI.15 Branch-and-Bound P 0 = (z, F (P 0 )) (problema da risolvere); Z(P 0 ) = max{z(y) : y F (P 0 )}. Branch-and-bound: suddivisione di P 0 in sottoproblemi P 1, P 2,..., P n 0 la cui totalità rappresenti P 0 ; sudd. di F (P 0 ) in sottoinsiemi F (P 1 ), F (P 2 ),..., F (P n 0 ) tali che n 0 k=1 F (P k ) = F (P 0 ) (Z(P k ) = max{z(y) : y F (P k )} (k = 1,..., n 0 )). Z(P 0 ) = max{z(p 1 ), Z(P 2 ),..., Z(P n 0 )}. (risolvere P 0 ) (risolvere P k (k = 1,..., n 0 )) (1) determinare la soluzione ottima di P k, oppure (2) dimostrare che F (P k ) =, oppure (3) dimostrare che Z(P k ) Z (Z = miglior soluzione ammiss. di P 0 ottenuta in precedenza). (Preferibilmente, F (P i ) F (P j ) = P i, P j : i j.) Suddivisione ripetuta per ogni sottoproblema non risolto.

16 PLI.16 Algoritmi Branch-and-Bound per PLI (P 0 ) min z 0 = c x Ax = b x 0, intero x = soluzione ottima di P 0 ; x 0 = soluzione ottima del rilassamento continuo di P 0. c x 0 z 0 (= c x ). Se x 0 è intera = x = x 0 ; altrimenti: x 2 min( x 1 x 2 ) x 0 x 1 Branching scelta una componente x 0 j frazionaria, imponiamo due condizioni mutualmente esclusive ed esaustive: x j x 0 j or x j x 0 j + 1 (P 1 ) min z 1 = c x (P 2 ) min z 2 = c x Ax = b Ax = b x 0, intero x 0, intero x j x 0 j x j x 0 j + 1 = z 0 = min(z 1, z 2 ). Es: x 0 1 = 3 2 = x 1 1 or x 1 2: x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1

17 PLI.17 c x 1 z 1 ; c x 2 z 2. Normalmente x 1 e/o x 2 non sono interi = si continua a ramificare, cioè: Da ogni problema P i si creano due nuovi problemi P j, P k a meno che: x i sia intero, oppure il rilassamento continuo di P i sia impossibile. Es: da P 2 : x 2 2 = (P 3 ) P 2 + (P 4 ) P 2 + x 2 1 x 2 2 x 2 x 3 (impossibile) x 1 da P 3 : x 3 1 = (P 5 ) P 3 + (P 6 ) P 3 + x 1 2 x 1 3 x 2 x 5 x 1 soluzione intera: x 1 = 2, x 2 = 1. (impossibile)

18 PLI Rappresentazione mediante albero decisionale binario (L i = lower bound di z i ): x L 3 = 13 4 = 3 x 1 2 L 0 = 4 (min x 1 x 2 ) x 2 1 x L 1 = = z = 3 (intera) L 2 = 7 2 = x 1 3 x 2 2 Terminologia: nodo 0 radice ramo 4, 5, 6 foglie 2 padre di 3 e 4 3, 4 figli di 2 2 progenitore di 3, 4, 5 e 6 3, 4, 5, 6 discendenti di 0 e 2 Continuando fino a quando nessun nodo può più ramificare: Soluzione di P 0 = soluzione della foglia di costo minimo. Problema P k : Bounding L k = c x k z k tutti i nodi discendenti da P k produrranno soluzioni z i z k L k ; z = miglior soluzione intera trovata finora; se L k (= min q intero L k ) z nessun discendente di P k potrà migliorare z si uccide il nodo k. (il nodo 5 uccide il nodo 1)

19 PLI.19 Algoritmo Branch-and-Bound per problema di ott. combinatoria (min) procedure BRANCH AND BOUND: begin Π := {P 0 } (insieme dei problemi attivi); z := +, X := (miglior soluzione ammissibile corrente); while Π do begin scegli un problema P Π per il branching; Π := Π \ {P }; genera i figli P i di P ; calcola i corrispondenti lower bound L i ; (se P i impossibile poni L i = ;) for each figlio P i di P do if L i z then uccidi P i else if L i dà una soluzione ammissibile then begin z := L i ; X := soluzione di P i ; Π := Π \ {P k : L k z } end else Π := Π P i end end. Occorre decidere: come scegliere il problema per il branching; come generare i problemi figli; come calcolare i bound.

20 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.1 Indagine statistica Per un indagine conoscitiva si vogliono contattare telefonicamente almeno: 150 donne sposate; 110 donne non sposate; 120 uomini sposati; 100 uomini non sposati. Il costo operativo di ciascuna telefonata è: 1000 L. se fatta al mattino (< 14 : 00); 1500 L. se fatta al pomeriggio ( 14 : 00). Almeno metà delle telefonate deve essere fatta al mattino. Risponde % mattino % pomeriggio Donna sposata Donna non sposata Uomo sposato Uomo non sposato Nessuno 40 5 minimizzare il costo complessivo delle telefonate

21 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.2 Soluzione TM = numero di telefonate al mattino TP = numero di telefonate al pomeriggio min z = 1000 T M T P con i vinc. 0.3 T M T P T M T P T M T P T M T P 100 T M T P T M, T P 0 INT ERI i coefficienti di un LP devono essere numeri interi moltipl. i primi 4 vincoli per 100 il quinto vincolo può essere riscritto come T M T P 0 min z = 1000 T M T P con i vinc. 30 T M + 30 T P T M + 20 T P T M + 30 T P T M + 15 T P T M T P 0 T M, T P 0

22 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.3 Noleggio PC Un ente pubblico deve prendere in affitto il seguente numero di Personal Computers (PC): GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG DIC nessuno I PC possono essere presi in affitto per Durata costo totale 1 Mese 400 KL 2 Mesi 700 KL 3 Mesi 900 KL Qualche PC (se conveniente) può essere lasciato inutilizzato Si vuole minimizzare il costo complessivo di affitto

23 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.4 Soluzione non basta sapere quanti PC affittare ma anche quando Gen1, Gen2, Gen3 = n. PC affittati a GEN per 1,2,3 mesi... Giu1, Giu2, Giu3 = n. PC affittati a GIU per 1,2,3 mesi min 400 (Gen1 + F eb1 + M ar1 + Apr1 + M ag1 + Giu1) (Gen2 + F eb2 + M ar2 + Apr2 + M ag2 + Giu2) (Gen3 + F eb3 + M ar3 + Apr3 + M ag3 + Giu3) con i vincoli Gen1 + Gen2 + Gen3 9 F eb1 + F eb2 + F eb3 + Gen2 + Gen3 5 M ar1 + M ar2 + M ar3 + F eb2 + F eb3 + Gen3 7 Apr1 + Apr2 + Apr3 + M ar2 + M ar3 + F eb3 9 M ag1 + M ag2 + M ag3 + Apr2 + Apr3 + M ar3 10 Giu1 + Giu2 + Giu3 + M ag2 + M ag3 + Apr3 5 Gen1,..., Giu3 0 INT ERI

24 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.5 Turni di lavoro Un ospedale richiede il seguente numero di INFERMIERI: LUN MAR MER GIO VEN SAB DOM Gli infermieri lavorano 5 giorni consecutivi e quindi hanno 2 giorni di riposo Si vuole minimizzare il numero degli infermieri necessari Soluzione Lu : n. INFERMIERI che iniziano il turno il Lunedì... Do : n. INFERMIERI che iniziano il turno la Domenica min Lu + M a + M e + Gi + V e + Sa + Do Lu + Gi + V e + Sa + Do 17 Lu + M a + V e + Sa + Do 13 Lu + M a + M e + Sa + Do 15 Lu + M a + M e + Gi + Do 19 Lu + Ma + Me + Gi + V e 14 Ma + Me + Gi + V e + Sa 16 M e + Gi + V e + Sa + Do 11 Lu, Ma, Me, Gi, V e, Sa, Do 0 INT ERI

25 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.6 Mix Pubblicità Un Comune ha a disposizione un budget di 150 ML per pubblicizzare una sua iniziativa. È possibile fare due tipi di annunci Tipo costo unitario n. max. di ann. Giornali 1 ML 30 TV locali 10 ML 15 L impatto comunicativo degli annunci sui possibili utenti è: numero di nuovi utenti annunci per annuncio Giornali TV locali Si vuole massimizzare il numero totale di utenti raggiunti ut. ragg. f.o. non lineare annunci

26 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.7 Soluzione G1, G2, G3 = n. di annunci sui giornali nelle 3 fasce T1, T2, T3 = n. di annunci su TV locali nelle 3 fasce max 900 G G G T T T 3 con i vincoli 1 (G1 + G2 + G3) + 10 (T 1 + T 2 + T 3) 150 G1, G2, G3 10 T 1, T 2, T 3 5 G1, G2, G3, T 1, T 2, T 3 0 interi Poichè gli annunci di una fascia rendono più di quelli della fascia successiva e costano uguale, prima di passare alla fascia successiva si utilizzeranno tutti gli annunci delle fasce precedenti la soluzione G1 = 1, G2 = 0, G3 = 10 è ammissibile ma non ottima: G1 = 10, G2 = 1, G3 = 0 ha profitto più alto ed uguale costo

27 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.8 Piano assunzioni Per i primi 5 mesi dell anno sono richieste le seguenti ore lavorative da parte di OPERAI SPECIALIZZATI GEN FEB MAR APR MAG Ciascun O.S. lavora 160 ore mensili ed ha uno stipendio mensile di 1.5 ML. All inizio di Gennaio sono in servizio 5 O.S. L assunzione di nuovi O.S. richiede un periodo di formazione di 1 mese, con stipendio di 1 ML. Durante tale mese per ciascun specializzando sono richieste 50 ore di supervisione da parte di un O.S. Solo l 85% degli specializzandi termina la formazione. Si desidera minimizzare il costo complessivo.

28 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.9 Soluzione X i = numero di specializzandi nel mese i (i = 1,..., 5) Y i = numero di O.S. nel mese i (i = 1,..., 5) min 1 (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ) (Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 + Y 5 ) con i vincoli Y 1 = 5 Y 2 = Y X 1 Y 3 = Y X 2 Y 4 = Y X 3 Y 5 = Y X Y 1 50 X Y 2 50 X Y 3 50 X Y 4 50 X Y 5 50 X X 1,..., X 5, Y 1,..., Y 5 0 INT ERI

29 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.10 Le variabili Y 1 ed X 5 possono essere eliminate Nel modello INTERO i vincoli = diventano (le equazioni Y i Y i X i 1 = 0 non hanno soluzione intera) min 1 (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) (Y 2 + Y 3 + Y 4 + Y 5 ) con i vincoli Y X 1 5 Y 3 Y X 2 0 Y 4 Y X 3 0 Y 5 Y X X Y 2 50 X Y 3 50 X Y 4 50 X Y X 1,..., X 4, Y 2,..., Y 5 0 INT ERI

30 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.11 Localizzazione servizi In una città divisa in 6 quartieri si vogliono aprire al pubblico nuovi centri automatici di prenotazione per assistenza sanitaria. Sono stati individuati 6 possibili siti (1 per quartiere). I tempi di trasferimento (in minuti) fra un quartiere e l altro sono stati così stimati: Quart Quart Il tempo necessario a ciascun utente per raggiungere il centro più vicino non deve superare i 15 minuti. Si vuole minimizzare il n. di centri attivati

31 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.12 Soluzione Per gli utenti di un quartiere sono accettabili le localizzazioni che distano al più 15 minuti NOR x i = 1 se si attiva il sito nel q.i 0 se non si attiva min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 x 1 + x 2 1 x 1 + x 2 + x 6 1 x 3 + x 4 1 x 3 + x 4 + x 5 1 x 4 + x 5 + x 6 1 x 2 + x 5 + x x i 1, INT ERO, i = 1, 2,..., 6 La soluzione ottima è: x 2 = x 4 = 1

32 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.13 Esempio B& B (III.4) max z = x 1 + x 2 6 x x x 1 4 x 2 9 x 1, x 2 0, interi Soluzione a) La regione ammissibile del problema è la seguente: x P soluzione x 1 x 1 = 3, x 2 = 9 4 ; z = 21 4 ; UB = 21 4 = 5.

33 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.14 branching su x 2 x P 2 P soluzione x 1 0 UB = 5 x 2 3 x vuoto P 1 : x 1 = 17 6, x 2 = 2; z = 29 6 ; UB = 29 6 = 4.

34 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.15 branching su x 1 x soluzione P 3 P x 1 UB = 4 0 UB = 5 x vuoto x x 1 2 x 2 2 vuoto P 3 : x 1 = 2, x 2 = 7 4 ; z = 15 4 ; UB = 15 4 = 3.

35 Esercizi Programmazione Lineare Intera EsILP.16 branching su x 2 x P 6 x vuoto x soluzione P UB = 5 x 2 3 x 2 2 UB = vuoto x 1 3 UB = 3 4 x 2 1 z = 3 vuoto x 1 P 5 : x 1 = 2, x 2 = 1 (intera); z = 3. nessun altro nodo attivo soluzione ottima!