i completi l'esecuzione dell'algoritmo di programmazione dinamica per questo problema restituendo il valore ottimo e una soluzione ottima del problema

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1 Compito di Ricerca Operativa II Esercizio ( punti). ia dato il problema di flusso massimo sulla rete in figura (le capacit a degli archi sono riportate sopra di essi). 0 8 i consideri il seguente flusso ammissibile per tale rete: x = x = x = x = x =0 x = x = x = x = x = x =: tabilire se tale flusso e ottimo oppure no. Nel primo caso individuare un taglio a costo minimo, nel secondo nel secondo caso determinare un flusso migliore rispetto a quello dato. Esercizio ( punti). ia dato il problema dello zaino con uno zaino di capacit a pari a e con 8oggetti con i seguenti valori e pesi: 8 v i p i 0 8 i calcoli un upper bound per il sottinsieme delle soluzioni ammissibili del problema dello zainoche sicuramente non contengono gli oggetti e e che sicuramente contengono gli oggetti e 8. i ricavi da tale calcolo anche una soluzione ammissibile del problema dello zaino e, se necessario, si effettui anche il branching del sottinsieme della regione ammissibile considerato. Esercizio ( punti). ia dato il problema di trasporto con i costi unitari di trasporto, le disponibilit a (colonna a) dei singoli depositi e le richieste (riga b) dei singoli negozi riportati nella seguente tabella: N N N N a b i individui una base ammissibile iniziale con la regola dell'angolo nord-ovest e si verifichi se e soddisfatta la condizione di ottimalit a per la base trovata. Nel caso la condizione non sia soddisfatta si individui una nuova base non peggiore della precedente tramite le regole viste, altrimenti si discuta se la soluzione ottima trovata e unica oppure no. Esercizio ( punti). ia dato il problema della zaino con capacit a dello zaino pari a 8e con pesi e valori dei oggetti riportati di seguito: v i p i

2 i completi l'esecuzione dell'algoritmo di programmazione dinamica per questo problema restituendo il valore ottimo e una soluzione ottima del problema, tenuto conto che per gli oggetti e si hanno le seguenti tabelle: s f Λ d Λ s f Λ d Λ 0 0 N 0 0 N N N N N Esercizio ( punti). ia dato il grafo bipartito in figura. i determini un matching di cardinalit a massima su tale grafo utilizzando come matching iniziale: (a ;b ) (a ;b ) (a ;b ) (a ;b ) (a ;b ) a b a b a b a b a b a b Esercizio ( punti). ia dato un problema di ottimizzazione il cui modello matematico e il seguente problema di PLI: max cx Ax» b x i f0; g i =;:::;n ato un vettore 0 con tante componenti quanti sono i voncoli Ax» b (e quindi, equivalentemente, le componenti del vettore b), utilizzando la definizione di rilassamento si dimostri che il seguente problema (con un solo vincolo) e un rilassamento di qeullo dato: max cx ( A)x» b x i f0; g i =;:::;n

3 i generi il rilassamento visto sopra per il seguente problema: max x +x +x +x x +x +x +x» 8 x +x + x + x» x + x +x +x» x ;x ;x ;x f0; g A quale dei problemi visti a lezione corrisponde il rilassamento? Esercizio ( punti). ia dato un problema di flusso massimo e il problema di taglio minimo associato. ia U Λ ρ V un sottinsieme di nodi che definisce un taglio minimo della rete e sia (i; j) A un arco della rete facente parte del taglio (cio e i U Λ e j U Λ ) con capacit a c ij > 0. i dica (MOTIVANO LE RIPOTE) se e vero che per ogni (0»» c ij ): a): L'incremento di della capacit a dell'arco (i; j) implica un incremento di del valore ottimo del problema di flusso massimo; b): il decremento di della capacit a dell'arco (i; j) implica un decremento di del valore ottimo del problema di flusso massimo.

4 oluzioni. Applicando l'algoritmo visto a lezione, si ottiene Flusso Grafo ausiliario 0 8 dove (; ; ; ; ;) e un cammino aumentante, " =, e quindi dove non si trova pi u alcun cammino aumentante, e si pu o identificare il taglio U = f; ; g di capacit a c(u) = c + c + c = 0 (pari al flusso massimo ottenuto).. Riordinando gli oggetti secondo rapporti v =p i non crescenti si ottiene la lista i v i 9 9 p i 0 dalla quale sono gi a stati esclusi gli oggetti,,, 8. Un upper bound e dato da UB=8+9+μ 0 9 ν =; da cui si ottiene anche un lower bound LB = dato dalla soluzione ammissibile f; 8; g. Il sottoinsieme considerato d a origine per branch ai due sottoinsiemi (I 0 = f; ; g ;I = f; 8g); (I 0 = f; g ;I = f; ; 8g):. Il problema e bilanciato; applicando il metodo dell'angolo nord-ovest si ottiene a i b j x ij b j μc ij e la positivit a di tutti i costi ridotti indica che questa soluzione e ottima ed unica.

5 . Impostando le equazioni di stato, per risolvere il problema dato occorre ancora conoscere ( ( (+f Λ f Λ (8) = max (); f Λ(8); f Λ ()=max +f Λ(); f Λ(); f Λ (8) = max +f Λ(); f Λ(8); Risolvendo prima per gli f Λ e poi per f Λ si ottiene f Λ (8) = max f; 9g = dλ (8) =, f Λ () = max f; 9g =9 dλ () = N, f Λ (8) = max f0; g dλ (8) = N. Quindi la soluzione ottima e f; g.. opo un ciclo di etichettatura si ottiene la situazione seguente. a b (E;b ) a b (O; a )Λ a b (O; a ) (E;b ) a b a b (O; a ) (E; ) a b Esiste un cammino alternante (a ;b ;a ;b ;a )che permette di aumentare l'accoppiamento a f(a ;b ); (a ;b ); (a ;b ); (a ;b ); (a ;b ); (a ;b )g ; che in un grafo bipartito da + nodi e sicuramente massimo.. iano a = fx: Ax» b; x i f0; gg ed 0 a fx: ( A)x» b; x i f0; gg le regioni di ammissibilit a dei due problemi; x a implica Ax» b, e quindi per 0( A)x» b (stiamo sommando le disuguaglianze dopo averle moltiplicate per coefficienti non negativi). Quindi a 0 a, e max fcx: x 0 a g max fcx: x ag. In particolare, per il problema dato il rilassamento e con max x +x +x +x p x + p x + p x + p x» B x ;:::;x f0; g ; p =( + + ); p =( + + ); p =( + + ); p =( + + ); B =(8 + + ); che corrisponde ad un problema dello zaino.

6 . La seconda affermazione e vera: detto c 0 ij = c ij +, la capacit a del taglio minimo risulta C 0 ( U Λ)= X iu Λ ;j =U Λ c ij = C( U Λ) : La prima affermazione e in generale falsa, in quanto il grafo potrebbe contenere altri tagli di capacit a minima diversi da quello considerato e non contenenti l'arco (i; j) in esame.