AA Appello del 27 Novembre 2009 Compito A

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1 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte; Appello del 27 Novembre 2009 Compito A 1). Scrivere una formulazione per il seguente problema. Una ditta di spedizioni deve spedire via nave dei grossi macchinari industriali. In un container ci possono stare non più di 3 macchinari. A seconda del tipo di macchinario e di dove si trova il container, la ditta deve sostenere un costo per il carico: il costo c i,j per caricare il macchinario i sul container j è sintetizzato nella matrice che segue (in centinaia di euro). Nella stessa matrice, gli elementi c h,k mancanti indicano che non è possibile caricare il macchinario h sul container k. La ditta vuole minimizzare il numero di container da caricare, senza superare la cifra di 1000 euro per caricare i macchinari sui container, senza eccere in numero massimo di macchinari per container, e, ovviamene, spedendo tutti i macchinari. C = , , 4 (Facoltativa) Come cambia la formulazione se la ditta non ha più vincoli sul costo massimo del carico, ma si dichiara disposta ad accettare l eventuale carico del macchinario i sul container j purché c i,j non superi i 350 euro? 2). Si consideri il seguente problema di Knapsack min z = 4x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 2x 4 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + x x 1 e intero Si scriva il Rilassamento Lagrangiano, Si ottiene un Lower Bound o un Upper Bound al problema? Di tipo Primale o Duale? Calcolare il valore del Bound Calcolare il valore del Duality Gap 3). La tabella incompleta che segue è la tabella che si utilizza per lo svolgimento dell algoritmo di Programmazione Dinamica

2 Completare la tabella Scrivere di che tipo di problema si tratta Scrivere l istanza corrispondente Determinare il valore della soluzione ottima e la soluzione ottima. 2

3 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte; Appello del 27 Novembre 2009 Compito B 1). Scrivere in modo chiaro nel formato Dato, Trovare, Tale Che... il problema di Ottimizzazione Combinatoria che dà luogo alla seguente formulazione min z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 x 1 x 3 1 x 1 x 4 + x 5 1 x 1 + x My x 1 + x 2 0 My x 1 + x 2 2 M(1 y) 0 x 1 e intero y {0, 1} Quante sono le soluzioni ammissibili e quante quelle non ammissibili per il solo secondo vincolo? 2). Si consideri il seguente problema P : min z = x 1 x 2 s.t. 3x 1 x 2 2 2x 1 + 9x x 1 + x x 2 4 x 1, x 2 0 Determinare la soluzione ottima e il suo valore con il metodo del Branch & Bound, risolvendo per via grafica i problemi che via via vengono generati Specificare a ogni passo quale è la suddivisione del problema P e l ordine in cui vengono risolti i problemi Spiegare con chiarezza lo svolgimento dell algoritmo, e giustificare tutte le scelte fatte. 3). Sia dato il grafo G = (V, E), in cui V = 9 e E = {(1, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (3, 6), (4, 7), (4, 9), (5, 6), (5, 9)}. Scrivere la formulazione F del problema del Massimo Matching su G Sia F la formulazione che si ottiene da F rilassando il vincolo di interezza. Se risolviamo F all ottimo otterremo un soluzione intera o no? Giustificare la risposta. 3

4 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 Appello del 10 Febbraio ). Il fattorino di un azienda ha una serie di commissioni da fare, e precisamente (tra parentesi, la durata di ciascuna): a) ritirare un documento dall ufficio del personale (5 minuti), b) portarlo alla firma del direttore (15 min), e c) riportarlo all ufficio del personale (10 min); d) andare all ufficio postale a ritirare una raccomandata (35 min); e) colloquio con il titolare di una ditta esterna che sta effettuando una riparazione(40 min), e f) riferire al direttore (15 min); g) andare in officina a piedi (20 min), h)ritirare la macchina aziendale (10 min), e i) tornare in ufficio con la macchina (10 min). Per organizzare la sua giornata, il fattorino sa anche che: il direttore è disponibile dopo le 11:30 del mattino; il responsabile della ditta dei lavori sarà presente solo tra le 8:45 e le 10:00; il ritiro della raccomandata deve essere la seconda commissione della giornata; solo le operazioni g, h, i devono essere consecutive una all altra; l officina è chiusa dalle 13:00 alle 15:30 (quindi, attenzione, h deve terminare entro le ore... o incominciare dopo le... ). Disegnare il grafo delle precedenze Scrivere una formulazione per determinare in che ordine effettuare tali commissioni, e la loro ora di inizio, nell ottica di voler portare a compimento tutte le commissioni prima possibile nella giornata. 2). Si consideri il grafo G = (V, E), dove V = {v 1, v 2,..., v 6 }, e E = {(v 1, v 2 ), (v 1, v 3 ), (v 1, v 5 ), (v 1, v 6 ), (v 2, v 4 ), (v 3, v 4 ), (v 4, v 5 ), (v 4, v 6 )}. Tale grafo contiene i seguenti sottografi: una stella S con 4 nodi, dei cammini (senza nodi ripetuti) con 2, 3, o 4 nodi, dei cicli con 4 nodi. Lo stesso grafo G è sottografo del grafo completo K 6 con 6 nodi, e del grafo bipartito completo K 2,4. Per determinare un Upper Bound per il problema del Massimo Matching su G conviene utilizzare i sottografi contenuti in G o i grafi che lo contengono? Motivare la risposta. Determinare il miglior Upper Bound per il problema del Massimo Matching su G. Scrivere la formulazione per il problema del Minimo Covering by Nodes su G. Che relazione lega i due problemi? Quanto vale il Duality Gap? 3). Si consideri il problema F : min = {cx, Ax 1, 0 x 1 e intero }, dove c = (3, 4, 1, 4, 5, 2, 3) e A è indicata di seguito (un indica uno zero) 0 A= Di che problema si tratta? Definire un Algoritmo Greedy per la sua risoluzione, enunciando bene il Criterio Greedy di selezione e il Meccanismo Di Valutazione. Si è scelto un Criterio Greedy statico o dinamico? Giustificare la risposta. Eseguire l algoritmo sull istanza data. Possiamo affermare con certezza che la soluzione ottenuta è ammissibile e ottima? Motivare la risposta. 1 C A 4

5 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 Appello del 17 Febbraio ). Siete di passaggio a Parigi, vi fermerete 2 giorni (4 mezze giornate). Potete scegliere tra queste 8 attività (ciascuna richiede mezza giornata): 1) visita al Museo della Scienza, 2) visita al Parco della Villette, 3) Museo d Orsay, 4) gita in battello sulla Senna, 5) visita al Panthéon, 6) visita al Museo del Louvre, sezione Egizi, 7) visita al quartiere della Défense, 8) shopping. Dovete scegliere 4 tra queste attività, e anche in quale giorno effettuarle sapendo che: a) non volete visitare più di un museo al giorno; b) se visitate la Défense, allora nello stesso giorno visitate anche il Panthéon; c) la visita al Panthéon è preferita alla gita in battello sulla Senna; d) se andate al Museo d Orsay il primo giorno, allora non andrete al Louvre il secondo giorno. Scrivere una formulazione per il problema descritto, trascurando l espressione della funzione obiettivo, e commentando bene il significato attribuito alle variabili e ai vincoli. 2). Si consideri un problema di TSP definito su un grafo G = (V, E) completo orientato con 7 nodi, in cui il costo dell arco (i, j) è c i,j, per ogni arco (i, j) E. Scrivere una formulazione PLI per il problema. Che cosa si intende, in generale, per Rilassamento Combinatorio, e quale è un esempio di Rilassamento Combinatorio per il problema dato? Vi sono soluzioni ammissibili del Rilassamento Combinatorio che sono soluzioni ammissibili anche per il TSP? Commentare, e, in caso di risposta positiva, mostrare un esempio. Vi sono soluzioni ammissibili del Rilassamento Combinatorio che NON sono soluzioni ammissibili per il TSP? Commentare, e, in caso di risposta positiva, mostrare un esempio. Vi sono soluzioni ammissibili del TSP che NON sono soluzioni ammissibili per il Rilassamento Combinatorio? Commentare, e, in caso di risposta positiva, mostrare un esempio. 3). Si consideri un problema di Knapsack con 6 oggetti, in cui la somma dei valori delle utilità è pari a 32. Scrivere il problema in forma di decisione. Quale è il primo valore da dare a k per applicare l algoritmo di Ricerca Logaritmica, (indichiamolo con k 0 )? Quali sono i successivi 3 valori da dare a k (indichiamoli con k 1, k 2, k 3 ) sapendo che le risposte sono state, nell ordine, si, no, no? Dopo aver ricevuto le risposte indicate al punto precedente, in quale intervallo di valori sappiamo che si trova la funzione obiettivo? 5

6 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte; Appello del 14 Luglio ). Indipendentemente uno dall altro, 8 amici hanno invitato Francesco a unirsi a loro per qualche giorno di viaggio insieme. Francesco ha delle preferenze tra le 8 possibilità (che dipendono dal tipo di viaggio, dalla destinazione, dalla compagnia,... ): tali preferenze sono espresse dal vettore c = (3, 7, 6, 9, 5, 3, 6, 5) di interi non negativi. Scrivere una formulazione che aiuti Francesco a decidere a quali viaggi partecipare nell ottica di massimizzare la preferenza complessiva, sapendo che: i) l i-esimo viaggio prevede la partenza nel giorno p i e il rientro nel giorno r i, dove p = (1, 5, 3, 6, 8, 10, 14, 16) e r = (4, 6, 7, 11, 12, 13, 17, 19); ii) Francesco è disponibile a partire per un nuovo viaggio non prima del secondo giorno dopo un rientro (ovviamente, non si può pensare a una nuova partenza se prima non è si rientrati a casa... ); iii) se Francesco partecipa a entrambi i viaggi 4 e 5 allora non partecipa al viaggio 1. 2). Si consideri un insieme F = {f 1,..., f 9 } di 9 elementi e la famiglia F = {{f 1, f 4, f 6, f 8 }, {f 2, f 4, f 7 }, {f 3, f 9 }, {f 1, f 5 }, {f 3, f 5, f 6, f 9 }, {f 2, f 5, f 7, f 9 }, {f 3, f 5, f 8 }} di sottoinsiemi di F. Scrivere la formulazione pli del Set Covering, sapendo che il costo degli elementi è definito dal vettore c = (3, 8, 5, 2, 4, 7, 7, 4, 6); risolvere il problema applicando un algoritmo di tipo greedy, specificando bene il criterio greedy scelto, il meccanismo di valutazione, e commentando adeguatamente ogni passaggio. 3). Si consideri un tsp definito su un grafo completo non orientato di 9 nodi, in cui la lunghezza dell arco (i, j) è rappresentato dall elemento d i,j della seguente matrice D = Possiamo applicare gli algoritmi approssimati studiati? Perché? Se applichiamo comunque gli algoritmi studiati otteniamo una soluzione ammissibile o no? L approssimazione della soluzione è garantita? 6

7 Applicare l algoritmo 2-approssimato a partire, però, da un albero ricoprente qualsiasi. Sia S la soluzione determinata. S è ammissibile o no? S è anche approssimata o no? Perché? Da tale soluzione S possiamo derivare Upper e Lower Bound per il valore di una soluzione ottima? Spiegare. 7

8 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta, I parte; Appello del 2 Settembre ). Stefano deve (far) fare dei lavori a casa, e per questo motivo deve traslocare tutti i vestiti che gli potrebbero servire per i prossimi tre mesi. Ha a disposizione un grosso borsone, che può contenere cm 3 di cose e può sopportare al massimo 20 kg, e un robusto scatolone, di dimensioni 48 cm 70 cm 50 cm, che può sopportare un peso massimo 15 kg. Le cose che deve traslocare sono 63, in particolare l oggetto i-esimo pesa p i grammi (attenzione!) e occupa un volume pari a v i cm 3, i = 1,..., 63. I vestiti possono essere divisi in gruppi: chiamiamo C l insieme delle camicie, M l insieme delle magliette, G l insieme dei golf, P l insieme dei pantaloni, etc... Scrivere una formulazione che permetta di stabilire quali cose vanno nel borsone e quali nello scatolone, che massimizzi il numero dei vestiti trasportati, che assicuri di prendere almeno una camicia, un golf, una maglietta, etc..., e che prenda una certa camicia (oggetto 21) se prende il golf bordeaux (oggetto 36). Ci sono vincoli impliciti dalla natura del problema, e non esplicitati nel testo? Descriverli. Il valore z della soluzione all ottimo ci permette di sapere se Stefano riuscirà a traslocare tutte le sue cose? Come cambierebbe la formulazione se volessimo massimizzare il peso totale delle cose trasportate? Scrivere una istanza di problema di Set Packing definito su n = 11 elementi e 7 sottoinsiemi scelti a piacere. Applicare 3 iterazioni di un algoritmo di Ricerca Locale, descrivendo con chiarezza ogni passaggio (soluzione iniziale, definizione dell intorno,... ). Si può affermare a priori con certezza che la soluzione ottenuta è migliore di quella iniziale? Si può affermare a priori con certezza che la soluzione ottenuta è ottima? 3). Si consideri il seguente pli: min 5x 1 + 3x 2 + 9x 3 + 8x 4 s.t. 4x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 3x 4 13 x {0, 1} 4 Scriverne il Rilassamento Lagrangiano; determinare un Lower Bound risolvendo il Duale Lagrangiano; definire l algoritmo di Ricerca Esaustiva e determinare una soluzione ottima; calcolare il valore del Duality Gap. 8

9 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta (10 cfu), I parte; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 (5 cfu); Appello del 22 Settembre ). Il proprietario di una ditta deve trasportare 246 scatoloni di merce a dei clienti che ne hanno fatto richiesta. Per fare questo deve noleggiare alcuni furgoni (tutti uguali tra loro). Il noleggio di un furgone costa 400 Euro, ma se si noleggiano quattro o più furgoni si ha uno sconto di 80 Euro (una tantum). Il peso dello scatolone i è p i, per i = 1, , e il carico massimo trasportabile da ogni furgone è P max. Scrivere una formulazione che permetta di stabilire con quali scatoloni caricare i furgoni senza eccedere il carico massimo, nell ottica di minimizzare il costo complessivo di noleggio. 2). Si consideri il grafo G = (V, E) dove V = {v 1, v 2,... v 9 } ed E = {(v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), (v 3, v 4 ), (v 2, v 4 ), (v 4, v 5 ), (v 5, v 6 ), (v 6, v 9 ), (v 4, v 9 ), (v 4, v 8 ), (v 5, v 8 ), (v 6, v 8 ), (v 7, v 8 )}, e si consideri che G ha come sottografi, tra gli altri, un cammino con 3 nodi, un ciclo di 4 nodi, un cammino di 7 nodi, un grafo completo di 3 nodi, una stella con 5 nodi, e che, viceversa, G è contenuto in un grafo completo di 9 nodi. Scrivere la formulazione del problema del Node Cover per il grafo dato. Calcolare un Lower Bound al problema: a tale scopo conviene considerare i sottografi contenuti in G o i grafi in cui G è contenuto? Quale è o quali sono, tra questi, quelli che danno il miglior Lower Bound? Scrivere la formulazione del problema di Massimo Matching per il grafo dato. Calcolare un Upper Bound per il Massimo Matching: a tale scopo conviene considerare i sottografi contenuti in G o i grafi in cui G è contenuto? Quale è o quali sono, tra questi, quelli che danno il miglior Upper Bound? Con tutti i dati calcolati, siete in grado di determinare il Duality Gap? Giustificare la risposta. 3). Definire a piacere un istanza di tsp non orientato con 10 nodi. Quante disuguaglianze occorre calcolare per essere certi che l istanza sia metrica? Applicare uno dei due algoritmi approssimati studiati a partire da un albero ricoprente qualsiasi, e sia S la soluzione determinata- Se indichiamo con ɛ il grado di approssimazione dell algoritmo scelto, possiamo affermare con certezza che una soluzione ottima C verifica costo(c ) ɛ costo(s)? 9