AA Prova del 4 Dicembre 2012 Compito A

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1 Prova del 4 Dicembre 2012 Compito A A.1). (14 punti) Un agenzia viaggi sta organizzando una visita guidata a Berlino: per questo motivo ha selezionato 11 escursioni, tra tante che erano possibili. Scrivere una formulazione per minimizzare il numero di giorni di permanenza a Berlino, sapendo che: l escursione i ha una durata di d i ore, dove d = (3.2, 2.5, 4.5, 3, 4, 2.8, 4, 1.6, 2, 1.2, 3); alcune escursioni non possono essere fatte nella stessa giornata: le escursioni h e k sono incompatibili se sono collegate da un arco (v h, v k ) del grafo G = (V, E) in cui V = {v 1,..., v 11 } e E = {(v 1, v 3 ), (v 1, v 8 ), (v 2, v 7 ), (v 2, v 9 ), (v 2, v 10 ), (v 3, v 4 ), (v 3, v 5 ), (v 3, v 6 ), (v 3, v 8 ), (v 7, v 9 ), (v 7, v 10 ), (v 9, v 10 )}: ogni escursione deve essere prevista in uno (solo) dei giorni della visita; il soggiorno a Berlino deve durare almeno 3 giorni; ogni giornata deve avere escursioni per non più di 7 ore complessive, tranne il terzo giorno, in cui le ore dedicate alle escursioni non possono essere più di 4; nei primi due giorni di visita si deve fare una sola escursione tra la 5 e la 11; se l escursione 7 è prevista il primo giorno, allora la 3 non può essere fatta il secondo giorno. A.2). (10 punti) Si consideri il seguente problema P : min{cx : Ax 1, 0 x 1 e intero}, dove c = (2, 6, 3, 8, 5, 4, 9, 1) e A = Di che problema si tratta? Scrivere l enunciato del problema nel formato Dato... Trovare... Tale che..., elencando esplicitamente tutti i dati che vengono forniti sopra. Definire tutto ciò che serve per mettere a punto un algoritmo Greedy di tipo dinamico, giustificando le scelte. Applicare l algoritmo e sia S la soluzione risultante. Verificare se S è una soluzione ammissibile, e, se possibile, verificare se è ottima. Commentare. A.3). (6 punti) Sia consideri un problema di Knapsack in forma decisionale, definito su n oggetti e zaino di capacità b. Calcolare la lunghezza dell input L(X) per il problema dato, ossia il numero di bit che compongono l input; Che relazione lega n e b a L(X)?

2 Prova del 4 Dicembre 2012 Compito B B.1). (14 punti) A pochi giorni dalla sua inaugurazione, un nuovo supermercato ha il problema di sistemare i suoi 1000 prodotti in scaffali tutti uguali fra loro per altezza e lunghezza (5 metri). Scrivere una formulazione per minimizzare il numero di scaffali necessari per contenere tutti i prodotti, sapendo che: il prodotto i occuperà lo scaffale per l intera altezza, e per l i metri di lunghezza, per i = 1,..., 1000; per motivi organizzativi e/o igienici alcuni prodotti non possono essere assegnati allo stesso scaffale o a scaffali che si affacciano sullo stesso corridoio (sul corridoio 1si affacciano gli scaffali 1 e 2, sul corridoio 2 si affacciano gli scaffali 3 e 4, e così via): i prodotti h e k sono incompatibili se la coppia (h, k) è presente in un elenco E stilato dal gestore del supermercato ogni prodotto deve trovare posto in un solo scaffale; la lunghezza totale dei prodotti assegnati a uno stesso scaffale non può superare la lunghezza massima dello scaffale stesso; si devono utilizzare almeno 6 scaffali; nei primi due scaffali ci deve essere uno solo tra i prodotti 6, 60, e 121; se il prodotto 12 viene assegnato allo scaffale 5 allora il prodotto 103 non deve essere assegnato a nessuno degli scaffali che si affacciano sul corridoio 2. B.2). (10 punti) Si consideri un problema di tsp su un grafo G = (V, E) di n = 8 nodi, in cui la lunghezza l i,j del generico arco (v i, v j ) E è rappresentata dall elemento in riga i e colonna j della seguente matrice: L = E necessario completare la matrice con dei valori numerici negli elementi sulla diagonale, nell ipotesi che il grafo non contenga gli archi corrispondenti? Se sì, quali? Giustificare la risposta. Sia S una soluzione ammissibile. Quali operazioni possono essere consentite per ottenere l intorno I(S)? E quanto vale I(S)? Come si chiama l algoritmo di Ricerca Locale che deriva dalla definizione di intorno appena scelta? Sia S 0 il ciclo che visita, nell ordine, i nodi ( 7). Mostrare lo svolgimento di due iterazioni dell algoritmo di Ricerca Locale definito al punto precedente, a partire dalla soluzione S 0. Si può affermare a priori e con certezza che la soluzione S determinata dall algoritmo: è ammissibile? è 2-approssimata? è ottima? Motivare le risposte. B.3). (6 punti) Si consideri un problema P definito su un grafo con n nodi, per la cui risoluzione si ha a disposizione un algoritmo A di complessità O(n 3 ). Si supponga inoltre di avere a disposizione un calcolatore che effettua di operazioni elementari al secondo. Se lanciamo il nostro algoritmo alle 10:00 siamo sicuri di ottenere la soluzione al problema P per un grafo con n = 4000 nodi entro le 17:00? Giustificare adeguatamente la risposta.

3 Prova del 4 Dicembre 2012 Compito C C.1). (14 punti) Un vivaio sta decidendo per una risistemazione dei suoi filari delle piante in vasi da 18 e di quelle in vasi da 26 cm. Il vivaio commercia 350 varietà, e il numero delle piante della varietà i è indicato con n i, per i = 1,..., 350. Scrivere una formulazione che aiuti il proprietario del vivaio a minimizzare il numero di filari, sapendo che: differenti esigenze di esposizione e innaffiamento fanno sì che alcune varietà non possano essere assegnate allo stesso filare: il proprietario del vivaio ha elaborato una matrice quadrata M = [m i,j ] in cui il generico elemento m i,j vale 1 se e solo se la varietà i non deve stare nello stesso filare della varietà j. ogni varietà deve trovare posto in esattamente un filare; devono esserci almeno 3 filari; ogni filare può ospitare al massimo 45 vasi (da 18 o da 26 cm indifferentemente); le prime 100 varietà devono essere assegnate a filari esposti al sole, che sono quelli indicati dagli indici da 1 a 20; al filare 22 deve essere assegnata una sola tra le varietà 40 e 60; a causa del volume delle piante delle varietà 36 e 82, e della posizione del filare 11, se la varietà 82 è assegnata al filare 11 allora la varietà 36 non può essere assegnata al filare 12. C.2). (10 punti) Si consideri il seguente problema P : max{cx : wx b, 0 x 1 e intero}, dove c = (3, 7, 4, 6, 1, 8), w = (7, 5, 3, 2, 5, 1), e b = 16. Di che problema si tratta? Scrivere l enunciato del problema nel formato Dato... Trovare... Tale che..., elencando esplicitamente tutti i dati che vengono forniti sopra. Determinare una soluzione ottima S e il suo valore c(s ) senza usare, se possibile, un algoritmo di Ricerca Esaustiva. Motivare le scelte. Si può affermare a priori e con certezza che S è ammissibile? Determinare nel modo più efficiente possibile una soluzione S 1 ottima e il suo valore c(s 1) nel caso in cui b = b 1 = 12, e nel caso in cui b = b 2 = 17. Spiegare adeguatamente. C.3). (6 punti) Si considerino i punti A = (5, 10, 3), B = (6, 7, 6), (1, 7, 9) dello spazio R 3. Che cosa si intende per combinazione convessa? Verificare analiticamente se il punto D = (9, 2, 8) si può ottenere come combinazione convessa dei punti dati. In caso di risposta positiva, dire quanti sono i parametri λ i da determinare e quale è il valore di ciascuno di essi, altrimenti dire se è possibile sapere a quale dei 3 punti dati D è più vicino.

4 Prova del 4 Dicembre 2012 Compito D D.1). (14 punti) Il docente di un Master vuole organizzare un esercitazione. Per questo motivo ha bisogno di dividere i suoi 100 studenti in squadre omogenee dal punto di vista delle competenze sull argomento. Scrivere una formulazione per minimizzare il numero di squadre, sapendo che: c i indica le competenze dello studente i sull argomento dell esercitazione, per i = 1,..., 100; è opportuno che alcuni studenti, molto affiatati tra loro, vengano assegnati a squadre diverse; il docente ha già pronto un elenco E delle coppie (i, j) degli studenti che vanno separati; ogni studente deve far parte di una (sola) squadra; ogni squadra deve essere formata da almeno 14 e da non più di 25 studenti, tranne la terza che, per il ruolo che dovrà svolgere, deve essere formata da 6 studenti; devono esserci almeno 4 squadre; lo studente 5 e il 27 devono stare in una stessa squadra; se lo studente 15 viene assegnato alla prima squadra, lo studente 33 non può essere essere asseganto alla seconda. D.2). (10 punti) Si consideri un problema di tsp su un grafo G = (V, E) di n = 8 nodi, in cui la lunghezza l i,j del generico arco (v i, v j ) E è rappresentata dall elemento in riga i e colonna j della seguente matrice: L = E necessario completare la matrice con dei valori numerici negli elementi della diagonale nell ipotesi che il grafo non contenga gli archi corrispondenti? Se sì, quali? Giustificare la risposta. Si applichi l algoritmo di Chrisotfides a partire, però da un albero ricoprente T che non abbia necessariamente costo minimo, e che abbia al più 5 nodi a grado dispari. Sia C la soluzione determinata e sia l(c) il suo costo. Indichiamo con C una soluzione ottima, e con l(c ) il suo costo. Possiamo affermare a priori e con certezza che: C è ammissibile? C è 2-approssimata? C è ottima? l(t ) l(c )? D.3). (6 punti) Si consider il seguente problema di Knapsack max{ 8 i=1 c ix i ; 8 i=1 w ix i 46; 0 x 1 e intero}, dove c = (3, 2, 5, 7, 4, 2, 1, 2). Scrivere il problema in forma di decisione. Si può affermare che 0 è un Lower Bound per il problema e che 8 i=1 c i è un Upper Bound per il problema? Determinare il Lower Bound e l Upper Bound che si ottengono dopo 3 passi di Ricerca Binaria, se le risposte ottenute sono, nell ordine, si, no, no.

5 Prova del 12 Febbraio ). (12 punti) Scrivere una formulazione per decidere l istante di inizio di n = 7 attività A, B,..., G nell ottica di minimizzare l istante in cui tutte le attività sono state completate, sapendo che: la loro durata, nell ordine, è (5, 7, 3, 4, 2, 2, 6); tra alcune attività vi sono dei vincoli di precedenza, che sono riassunti nel grafo orientato G = (V, W ), dove V = {A,..., G}, W = {(A, E), (E, B), (E, C), (E, D), (G, B)}, e un arco orientato (h, k) indica che l attività h deve precedere l attività k; le attività non si devono sovrapporre nel tempo, ad eccezione delle attività B e C che possono essere svolte contemporaneamente; l attività E deve essere eseguita per seconda; se l attività B precede la C o la C precede la D, allora la F deve seguire la E. 2). (12 punti) Determinare la soluzione ottima del seguente PLI applicando il Branch&Bound commentando bene ogni scelta, l ordine con cui vengono affrontati i vari problemi, le modalità per l aggiornamento dei Lower e Upper Bound dei problemi, e i motivi che permettono di chiudere i problemi generati. max z = 5x 1 + x 2 3x 1 + 2x 2 8 5x 1 + 2x x 1 + x 2 22 x 1 4x 2 4 x 1, x 2 0 e intere 3). (6 punti) Si hanno a disposizione due calcolatori, P C 1 e P C 2, che è volte più veloce di P C 1, e un algoritmo A di complessità O(n 2 ) per la risoluzione di un problema P su un grafo G con n nodi. Si immagini di applicare l algoritmo A all istanza G 1 con n 1 nodi su P C 1 e all istanza G 2 con n 2 nodi su P C 2. Quanto deve valere il rapporto n2 n 1 affinché i due calcolatori completino l esecuzione dell algoritmo contemporaneamente se hanno incominciato la sua esecuzione nello stesso istante?

6 Prova del 5 Luglio ). (12 punti) Sette carichi diversi, divisibili, ciascuno di peso p i kg dove p = [60, 120, 135, 80, 75, 140, 30] devono essere stipati in alcuni container. Ogni container ha una capacità massima C = 180 kg e costo Q = 1000 euro. Ogni kg del generico carico i caricato in un container produce un guadagno pari a g i, diverso a seconda del tipo di carico, come indicato dal vettore g = [20, 30, 10, 10, 15, 40, 50]. Scrivere una formulazione di Programmazione Lineare Intera per il problema sopra descritto nell ottica di massimizzare la differenza tra i guadagni determinati dai kg di ogni carico stipati nei container ed il costo di acquisto dei container, sapendo che in ciascun container non possono essere stipati più di due carichi diversi tra loro. 2). (10 punti) Si consideri il seguente problema P max z = 8x 1 + 3x 2 5x 3 + 2x 4 6x 1 + 4x 2 + 4x 3 x x 1 e intero Calcolare il valore del Bound B che si ottiene con il Rilassamento Lagrangiano, Indicando con z il valore di z all ottimo, si può affermare che B z? Spiegare. Quali delle seguenti affermazioni sono vere? Giustificare le risposte date. a) Il problema P può essere risolto applicando l algoritmo di Programmazione Dinamica per Knapsack così come è; b) Il problema P può essere risolto applicando l algoritmo di Programmazione Dinamica per Knapsack solo se si apporta qualche modifica all algoritmo e/o qualche *opportuna* modifica alla formulazione (in tal caso spiegare quali modifiche); b) Il problema P non può essere risolto applicando l algoritmo di Programmazione Dinamica per Knapsack neanche se si apporta qualche modifica. Calcolare (se possibile) il valore del Duality Gap. 3). (8 punti) Determinare una soluzione approssimata (grado di approssimazione scelto a piacere) per un problema di TSP definito su un grafo completo di 7 nodi in cui ciascun arco orientato (i, j) ha costo 2i + j. Commentare bene.

7 Prova del 17 Luglio ). (12 punti) Si considerino 7 attività, la i-esima delle quali ha durata d i, dove d = (13, 61, 24, 18, 47, 21, 13) e sia dato il grafo orientato G = (V, E) dove V = {v 1,..., v 7 } e E = {(v 1, v 3 ), (v 2, v 3 ), (v 4, v 6 ), (v 6, v 5 ), (v 7, v 3 )} (la notazione (v i, v j ) indica l arco orientato da v j a v j ). Si sa inoltre che: solo l attività 4 può (e non deve necessariamente) essere svolta in parallelo a tutte le altre, tranne la 6; il generico arco (v i, v j ) del grafo G indica che l attività i deve precedere l attività j; l attività 3 deve essere la terza nell ordine; l attività 4 deve incominciare al minuto 45 o al minuto 106; se l attività 3 precede la 6, allora l attività 5 deve precedere la 1. Scrivere una formulazione pli per determinare l istante di inizio di ciascuna attività, nell ottica di voler minimizzare l istante in cui vengono completati tutti i lavori. 2). (12 punti) Sia dato il seguente problema max z = 28x x 2 15x x 4 25x 5 s.t. 11x x x 3 8x x x x x 3 37x x 2 e intero Descrivere tutto quello che serve per poter mettere a punto un algoritmo Greedy per la sua risoluzione. Si può affermare a priori che la soluzione che l algoritmo determinerà è ottima per il problema? Perché?... è una soluzione 3/2-approssimata per il problema? Perché?... è ammissibile per il problema? Perché?... non è detto che sia ammissibile per il problema? Perché? Applicare l algoritmo Greedy come impostato nella risposta al primo punto e determinare una soluzione S al problema. 3). (6 punti) Determinare tre diversi Lower Bound (non banali) per il problema del Minimo Node Cover sul grafo G = (V, E) di 16 nodi in cui gli archi sono tutti e soli quelli contenuti nei seguenti grafi: un cammino che collega, nell ordine, i nodi v 12, v 5, v 16, v 4, v 10, v 6, una stella di centro v 13 e che comprende i nodi v 6, v 8, v 1, v 11, v 14, v 15, un ciclo che attraversa, nell ordine, i nodi v 4, v 3, v 2, v 9, il cammino v 2, v 7 e il cammino v 9, v 10. Commentare bene.

8 Prova dell 11 Settembre ). (10 punti) Scrivere per esteso una formulazione pli per determinare un sottoinsieme indipendente di nodi che abbia massima cardinalità nel grafo G = ({v 1,..., v 8 }; E) sapendo che E = E 1 E 2 {(v 2, v 6 )} dove E 1 è l insieme degli archi del sottografo completo definito sui nodi {v 1, v 3, v 6 }, e E 2 è l insieme degli archi del sottografo completo definito sui nodi {v 2, v 4, v 5, v 7, v 8 } (si definisce indipendente un sottoinsieme di nodi nessuno dei quali è collegato a un altro nodo del sottoinsieme). 2). (14 punti) Sia consideri un grafo G = (V, E) definito su V = 10 nodi, pesato sugli archi. Il generico arco (i, j) ha lunghezza d i,j, indicata dal corrispondente elemento della matrice simmetrica (viene indicata solo la parte triangolare superiore, e in tale zona la mancanza di un elemento indica che l arco corrispondente non fa parte del grafo). v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v v v v v v v v 8 4 v 9 4 v 10 Scrivere l enunciato del problema di Partizione Uniforme di Grafi (ugp) Definire con chiarezza tutto quello che è necessario per applicare un algoritmo di Ricerca Locale all istanza di ugp definita sul grafo G dato considerando come soluzione iniziale la partizione S 0 che separa i nodi di indice dispari da quelli di indice pari. Applicare, se possibile, 2 iterazioni dell algoritmo di Ricerca Locale appena definito, ottenendo le soluzioni S 1 e S 2. Indicando con c(s) il costo di una generica soluzione S, possiamo affermare che si verifica sempre c(s 0 ) < c(s 1 ) < c(s 2 )? Giustificare la risposta. Se, invece, non è stato possibile applicare 2 iterazioni dell algoritmo di Ricerca Locale definito sopra, spiegare il motivo di tale impossibilità, e scrivere che relazione lega i costi delle soluzioni S 0 e S 1. 3). (6 punti) Il programma P i risolve un problema π i su un grafo G i con n i nodi, per i = 1, 2. I due programmi vengono mandati in esecuzione alla stessa ora su due computer identici. P 1 è basato su un algoritmo di complessità computazionale O(n 3 ), mentre P 2 è basato su un algoritmo O(n 4 ). Se n 1 = 250 quanto deve valere n 2 perché i due programmi terminino nello stesso istante?

9 cfu Prova del 25 Settembre ). (14 punti) I nodi di un grafo completo K 24 rappresentano gli edifici di un piccolo paese. Il peso d i,j assegnato al generico arco (v i, v j ) rappresenta la lunghezza del percorso tra gli edifici corrispondenti ai suoi estremi. L amministrazione comunale ha individuato un insieme S = {v 3, v 7, v 9, v 10, v 19, v 20, v 23 } di nodi/edifici in cui sistemare uno studio medico con annesso servizio di Pronto Soccorso, la sede dei Vigili Urbani, e un piccolo ufficio postale. Sapendo che: le tre attività citate devono tutte trovare una sede, distinta dalle altre; la distanza dello studio medico dal nodo v 6 (che è l abitazione del medico) deve essere inferiore a 5500 (metri); se i Vigili Urbani vengono assegnati all edificio v 3, allora lo studio medico non deve trovarsi nell edificio v 19 ; Scrivere una formulazione per decidere in quale edificio, tra quelli di S, sistemare le tre attività citate in modo tale che sia minimizzata la somma delle distanze tra ogni nodo e quei nodi di S che ospitano tali attività. 2). (10 punti) Si consideri il problema min{cx : Ax 1, 0 x 1 e intero}, dove c = (3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 9, 2, 8) e A è la matrice indicata di seguito Di che problema si tratta? Scrivere l enunciato nel formato Dato... Trovare... Tale che.... Descrivere con precisione tutto quello che serve per poter definire un algoritmo Greedy. Applicare tale algoritmo per risolvere il problema dato, e indicare con S la soluzione determinata. Verificare se S è ammissibile. Se applicassimo un algoritmo di Ricerca Locale a partire da S possiamo affermare con certezza che troveremmo una soluzione S migliore di S? 3). (6 punti) Di un problema di minimizzazione P così definito z = min{cx : Ax b, x 0} si sa che il valore della soluzione ottima è compreso tra 40 e 104. Scrivere l enunciato del corrispondente problema di decisione D. Abbiamo a disposizione un software S che è in grado di risolvere D. Di quali dati ha bisogno tale software? Si può utilizzare S per determinare due valori l e u tali che l z u e u l < 16? Se sì, determinare quante volte mandiamo in esecuzione S, e con quali valori di input; altrimenti commentare perché S non serve al nostro scopo.